专题：对勾函数

1、精心整理基本不等式与对勾函数对勾函数y = ax+b (a >0,b > 0)的图像与性质 x1f(幻=ax + (a > 0, > 0) x当西>jf苦)s力+ -2拈当且仅 当事再)-J工3r当k < 口.= 八k)=(胃工* $ 工性质：1 .定义域：(-,0)<j (0,z)2 .值域：(口,270b)u(2Jab,+=c)3 .奇偶性：奇函数，函数图像整体呈 两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即f(x) f(-x) =04 .图像在一、三象限当x>0时，由基本不等式知y=ax+b2(当且仅当x =、户取等号)，即f(x)

2、在 x af(x)在x=d时，取最大值-磊b)减区间是(0,凭x= Jb时,取最小值2<'ab由奇函数性质知：当x<0时,5 .单调性：增区间为(；，+8),一、对勾函数的变形形式类型一：函数y =ax+b(a <0,b < 0)的图像与性质x此函数与对勾函数y =(-a)x匕口关于原点对称，故函数图像为x性质：精心整理精心整理斜勾性质:a <0,b >0作图如下:此类函数可变形为f(x)=ax +_ b ,y = ax (ab : 0) xa >0,b c0作图如下ax2 bx c,f (x) (ac 0)xc+b,则f(x)可由对勾函数y

3、= ax+，上下平移得到 xx例1作函数f(x) = x2+x+1的草图 x2.4解：f(x)=-=f (x) = x+1 作图如下:xx类型四：函数 f (x) = x +-a(a A0,k # 0)x k此类函数可变形为f(x)=(x + k+a)-k,则f(x)可由对勾函数y = x+'a左右平移，上 x kx下平移得到例2作函数f (x) =x +的草图x -2.11解：f(x)=x + = f(x)=x2+2 作图如下：x-2x -2例3作函数f(x) =*Q + x的作图：x 2解： f (x)=-3 x = f (x)=-2-1 x = 1 1 x = x 2 1- -

4、1x 2x 2x 2x 2练习：1.求函数f (x) =x + 1在(2,收)上的最低点坐标2x -42.求函数f(x)=x+上的单调区间及对称中心x - 1类型五：函数f(x) = o/(a ¥0,b A0)x2 b此类函数定义域为R,且可变形为f(x)=1=a_ x bb x xxa.若a>0,则f(x)的单调性和对勾函数y = x+B的单调性相反，图像如下: x/11、(-a,a )2. b 2、b精心整理3 .奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即f(x)f(-x)=04 .图像在一、三象限当x>0时，由基本不等式

5、知f(x)fr"六(当且仅当、=而取等号), 2J x即£屋)在* =而时，取最大值 由奇函数性质知: 当x<0时，”*)在乂=-此时，取最小值-a=2 b5 .单调性：减区间为(、；b,+8)，(-叱-Mb )增区间是-b, b例4作函数f(x)=岩的草图解： f ( x) = - f (x)=2=x 1x 11 x xxb.若a M0,作出函数图像：例5作函数f(x) = 匕的草图x 42.类型六：函数 f(x) = ax-bxc(a¥0) x m,.2,. xx此类函数可变形为 f (x) = a(x+m) +s(x+m)+t = a(x + m) +

6、_ + s(at >0), x mx m则f(x)可由对勾函数y=ax+L左右平移，上下平移得到 x2.4例6说明函数f(x) = -_土由对勾函数y = x十2如何变换而来x 1x， 、2 ，、 ，解：f(x)=(x 1)-(x F 1=x 11 -1x 1x 1故此函数f(x)可由对勾函数y=x+2向(填“左”、“右”)平移单位，向(填“上”、 x“下”)平移单位.草图如下：2练习：1.已知x>-1,求函数f(x)=-7x)的最小值x 122.已知x<1,求函数f(x) = x FT0的最大值x -1.一. 一一x m类型七：函数f(x) = 1(a=0)ax bx c例

7、7求函数f (x) = 2 x T在区间(1户)上的最大值x x 2解：当 x=1 时，"1)=0当x,1时,f (x):2(x-1)x -13(x -1) 4(x-1)2 3(x7) 4 x_1).3x -1x-1问：若区间改为4,")则f(x)的最大值为2. Oxz . Q练习：1.求函数f(x) = x2 2x 3在区间0*)上的最大值 x x 2类型八：函数f(x)=：X ,x a此类函数可变形为标准形式：f(x) =x a b-ax a b-a (b-a 0) x ax a例8求函数f (x)=的最小值x -1 4角军：f(x), x -14=.x -1 ,x -1练习：1.求函数f(x)=415的值域2.求函数f(x)=T±2的值域x 3类型九：函数f(x)=-x3(a>0) ,x a此类函数可变形为标准形式：f(x)(Jx2 + a)2 +b - ax2 + a +-,b a (b - a > o).x2 a例9求函数f (x) = =的最小值Vx2 +42_解： f ( x) =' = f (x)=x2 4=Vx2 + 4+ . 1.x2 4练习：1.求函数f (x)=例10已知a >0,求函数y= x2 1 x2 17 x