完美版圆锥曲线知识点的总结13610

1、实用标准文案圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点 FF2的距离的和等于常数 2a （大于IF1F2I）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c叫椭圆的焦距。若 M为椭圆上任意一点，则有| MF1 | 十 |MF2 |=2a。2222xyyx椭圆的标傕万程为：3+彳=1 （abA0）（焦点在x轴上）或/2 + =1 （aAb0）（焦点在y轴abab上）。注：以上方程中a,b的大小ab0,其中b2 =a2 c2；2222在 %=1和与+xr=1两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看 x2和y2的分 a b a b22母的大小。例如椭圆 x

2、-+2-=1（m0, n 0 , m=n ）当m An时表示焦点在x轴上的椭圆；当 men时 m n表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质22范围：由标准方程 与+4 = 1知|x|Ma, |y|Mb，说明椭圆位于直线 x = a, y=b所围成的矩形里； a b对称性：在曲线方程里，若以-y代替y方程不变，所以若点（x,y）在曲线上时，点（x,-y）也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以 -x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以 -x代替x, -y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中

3、心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x=0,得y =b ,则B1（0, 一b） , B2（0,b）是椭圆与y轴的两个交点。同理令 y =0得x = a ,即A（a,0）,A2（a,0）是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 AA2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在RtAOB2F2中，|OB2 |= b , |OF2 |= c , | B2F2 |=

4、 a ,且 |OF2 |2 m B2F2 |2 -|OB2 |2 ,即 c2 =a2 -b2 ；c离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e =叫椭圆的离心率。a aca0,0ec1,且e越接近1, c就a越接近a,从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之， e越接近于0, c就越接近于0,从而b越接近于a ,这时 椭圆越接近于圆。当且仅当 a=b时，c=0,两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 + y2=a2。2.双曲线(1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(| PF1 | -1 PF2 |= 2a )。注意：式中是差的绝对值，在0 2a |FiF2|时，|PFi | |P

5、F2|二2a不表示任何图形；两定点 Fi, F2叫做双曲线的焦点， 尸尸21叫做 焦距。(2)双曲线的性质22范围：从标准方程 三_ =1 ,看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x = a的外侧。即a2 b22 .2. x a , x之a即双曲线在两条直线 x = a的外侧。22对称性：双曲线 二-J=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 a b 22是双曲线 -4 = 1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a b22顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线，4=1的方程里，对称轴是 x,y轴，所a b22x y以令y =0得x =

6、a ,因此双曲线和x轴有两个交点 A (a,0)A2(a,0),他们是双曲线 =1的顶点。 a b令x =0,没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B?叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b,b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从2 2图上看，双曲线 三-4 =1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 a b等轴双曲线：1）

7、定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a = b；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y = x ； （2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征 a =b,则等轴双曲线可以设为：x2y2=K（九#0），当儿0时交点在x轴, 当九0时焦点在y轴上。2222、一 xy- y x注意 =1与匚 =1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标16 99 16轴也变了。3 .抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点

8、的轨迹叫做抛物线 （定点F不在定直线l上）。定点F叫做 抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线。方程y2 =2 px （p 0 ）叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x轴的正半轴上，焦点坐标是F （卫，0）,它的准线方程是 x = -:22（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2 = -2px, x2 =2py , x2 = -2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程 如下表：标准方程y2 =2px (p0) yy2 = -2 px (p0)x2 ;(p： y= 2p

9、y0)x2 = -2 py (p0)图形l一to-/A口三luxK焦点坐标(-,0)2(-旦0) 2p (0,7)2(0V)准线方程x = -E2x，2Ty4范围x 0x 0y至0y 0时,二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为D E、(,)半径22是、；D2 +E2 4F。配方，将方程. D o E2 l2x +y +Dx+Ey+F=0化为(x+ 一 ) +(y+ 一) = D + E - 4F当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-r-聂当(3)MCI =ru 点 M在圆 C上，| MC| rU点M在圆C内，其中| MC|= J(x0 - a)2 +(y0 -

10、b)2。(4)直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 线与圆相切-有一个公共点；直线与圆相离 U没有公共点。u有两个公共点；直直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)至U直线Ax+By+C=0的距离d =Aa+Bb + C% A2 B2D2+E2-4F V 0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x 0,y 0),则| MC| 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数 e称为离心率。当0 e1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：

11、椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F同)的 点的轨迹1 .到两定点Fi,F 2的距离之差的 绝对值为定值2a(02a1)与定点和直线的距离相等的2.与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹.(0e 2a.点集M |线I MF| 二点M到直 l的距离.ijr.rE1图形tr.MK-XAJ于ftnrr1n方程标准 方程22x yf + 4- = 1( a b 0)a2 b222xy.F 2T =1(a0,b0) aby2 = 2 px参数 方程：x = acos 日 i y = bsinH （参数e为离心角）：x = asecQ :y = btan日（渗数8为

12、离心角）22 .2一河(t)、y = 2pt范围ax a , yRx0中心原点O (0, 0)原点O (0, 0)顶点(a,0), (a,0),(0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴； 实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点Fi(c,0), F 2( c,0)Fi(c,0), F2(c,0)F (- ,0)2准线2* a x= c准线垂直于长轴，且在椭圆外.2* a x= c准线垂直于实轴，且在两顶点的 内侧.x=卫 x2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c (c= Ja2 -b2)222c (c=4a +b)离

13、心率e = c(0 e 0)的焦点坐标是(？,0),准线方程x=-,开口向右；抛物线 y2 =-2px(p0)的焦点坐 22标是(-E,0),准线方程x=E,开口向左；抛物线 x2=2py(p0)的焦点坐标是(0,卫)，准线方程y=-卫 ，开2222口向上；抛物线x2=-2py (p0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下.22(2)抛物线y2 =2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF =*0+上；抛物线y2=-2px(p0)上的点M(x0,y0) 2与焦点F的距离MF =Ex0-p ,顶点到准线的距离-p ,焦点22(3)设抛物线的标准方程为y =2px(p0),则

14、抛物线的焦点到其顶点的距离为 到准线的距离为 p.(4)已知过抛物线y2=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2),+ %AFf -A,.一2 p. 2则弦长 AB =x1 +x2 +p 或 AB =-A(a 为直线 AB的倾斜角)，y1y2 = p , x1x2 =sin久叫做焦半径).五、坐标的变换:(1)坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施 坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程(2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位

15、不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平 移，简称移轴。x = x h x= x - h 或y = yk y=y-k(3)坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是(x,y),在新坐标深x O y 中的坐标是(x,y ).设新坐标系的原点叫做平移(或移轴)公式.(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:方 程焦点焦线对称轴椭圆(x-h)2 +(y-k)2 a2b2( c+h,k)2x= - +h cx=h y=k(x-h)2 Jy-k)222=1ba(h, c+k)2y= - +k cx=h y=k双曲线22(X - h) (y- k) 一 一|

16、a2b2( c+h,k)2 x= a +kcx=h y=k(y-k)2 (x-h)2,12.21ab(h, c+h)2y= +k cx=h y=k抛物线(y-k) 2=2p(x-h)(-+h,k)2x= +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-p +h,k)x= +hy=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,p- +k)y= - +kx=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,-p +k)y= +kx=h六、椭圆的常用结论:1 . 点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的外角.2 .PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两

17、个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与又应准线相离.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切225.若Po(Xo,yo)在椭圆 1 +=1上，则过P0的椭圆的切线方程是 -2 , , 2 = 1 . a ba b226.若Po(Xo,yo)在椭圆xy 十七=1外，则过 吊作椭圆的两条切线切点为P、R,则切点弦PR的直线方程是a bxx yy _12. 2.a b227 .椭圆 与+4=1 (a b0)的左右焦点分别为 R, F2,点P为椭圆上任意一点 /FPF2=,则椭圆的焦点 a b2角形的面积为S/FPF2 =b tan .228 . 椭圆xy十=1 (ab0)的焦半径公

18、式a2b2IMF1尸a e%, |MF2 尸a-e%(弓(-60) , F2(c,0) M (x。).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M N两点，则 MFL NF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Ai、A2为椭圆长轴上的顶点，AiP和AQ交于点M,AP和AiQ交于点N,则MFL NF.22211 . AB是椭圆。+与=1的不平行于对称轴的弦，M（Xo,yo）为AB的中点，则koM，kAB=-2,即a baKb2X。K AB2a y。222212 .若Po（xo,y。）在椭圆 二 +与=1

19、内，则被P。所平分的中点弦的方程是 缪+誓=与+20r ； a ba b a b【推论】:2222221、若Po（xo,y。）在椭圆、十4=1内，则过P。的弦中点的轨迹方程是 与十与=+誓。椭圆与十当=1 a ba b a b a b（ab。）的两个顶点为 A1（-a,0） , A2（a,0）,与y轴平行的直线交椭圆于 R、B时AP1与A2P2交点的轨迹方程22日x y / 2 =1.a b222、过椭圆 +冬=1 （a 0, b 。）上任一点A（Xo,y。）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直a b线BC有定向且kBC = b20 （常数）.a yo223、若P为椭圆 冬=1

20、（ab。）上异于长轴端点的任一点，F1, F 2是焦点，ZPF1F2, ZPF2F1,a ba -c:工P贝 U = tan c。t 一.a c2222x y4、设椭圆 二十-=1 （ab。）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PFF2中，记a b/F1PF2 =a, /PF1F2 =P, /F1F2P =,则有一sinj ,=c = e.sin - sin a22_5、若椭圆 勺+*=1 （ab。）的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当OvewE-1时，可在椭圆上a b求一点P,使得PF1是P到对应准线距离 d与P桎的比例中项.22x y6、P为椭圆 二

21、十1=1 （ab。）上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则a b2a|AF2国PA|十|PF1区2a + |AF1|,当且仅当 A,F2,P三点共线时，等号成立.(x -xn)2 (y - Vc)27、椭圆(一- 十(y ：o) =1与直线Ax+By+C =0有公共点的充要条件是 ab2 2_22_2A a B b _(Axo By。C).22x y8、已知椭圆 F十=1 (ab0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 OP_LOQ. (1) a2 b211112 2 = -2|OP|2 |OQ|2 a2 b2.2. 22. 2(2) |OP|2+|OQ|2的最大值为2ab

22、2 ； (3) Spq的最小值是a b 2 .a2 b2:a2 b29、过椭圆22xy=12. 2ab(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN勺垂直平分线交x轴于P,则明|MN |2210、已知椭圆 与+冬=1 ( a b0)a b,A、已是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与 x轴相交于点P(x0,0),2,2a - b:二 x02,2a - b11、设P点是椭圆b2=1 ( a b0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记NF1PF2=0 ,则小2b2 c c21 PF111PE12) SPaLbtanl22x y_ _12、设A、B是椭圆 二十三=1( a b0)

23、的长轴两端点，P是椭圆上的一点， /PAB=,a b2 2ab | cos- |/PBA = P, /BPA = , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有 |PA|=2一27.(2) a -c costan 二 tan - -1 -e2.(3)2, 22a b2 2b - acot .22F的直线与椭圆相交于A、13、已知椭圆 +，=1( a b0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点a2b2B两点，点C在右准线|上，且BC _L x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、过椭圆焦半径的端点

24、作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .)17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.2、PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.4、以

25、焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)225、若P0(X0,y0)在双曲线 与4=1 (a0,b0)上，则过P0的双曲线的切线方程是 笺*2y = 1.a ba b22x y6、右P0(xo, yo)在双曲线 -2=1 (a0,b0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、心，则切点弦a bP1P2的直线方程是萼华=1.a2b2227、双曲线，与=1 (a0,bo) 的左右焦点分别为 F, F2,点P为双曲线上任意一点 /F1PF2=,则双曲 a b线的焦点角形的面积为S FiPF2 =b2cot-.22x y 8、双曲线-2-yT=1 (a0,b

26、o)的焦半径公式：(F1(y,0) , F2(c,0)当M(x0,y)在右支上时，a b|MF1|=ex0+a, |MF2| = ex。a；当 M (x0, y)在左支上时，|MF1 |= e2+a , | MF2 |= ex0 a。9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于 M N两点，则MFL NF.10、过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点M, A2P和A1Q交于点N,则MF NF.b x0M(x0, y0)为AB的中点，则KOM K AB =

27、 -2，a V。22x y11、AB是双曲线 丁彳=1 (a0,b 0)的不平行于对称轴的弦, a b即Kaba V。2212、若P0&y0)在双曲线 一=1(a0,b0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是2 x 13、右P0(x0,y0)在双曲线 aa b22x y _ x0xyy222a b a b2y ,=1 (a0,b0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是b22x y1、双曲线 22=1(ao,bo)的两个顶点为 A(a,0), A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于Pi、P2时a b22A1P1与A2P2交点的轨迹方程是=十4 =1.a b22x y2、过双曲线 -2 =1 (a0

28、,b。)上任一点 A(x0,y)任意作两条倾斜角互补白直线交双曲线于B,C两点,a b则直线BC有定向且kBC =b2x0 ij 一。(常数)a Vo22(a0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点，/PF1F2=a ,3、若P为双曲线xy 一0=1a2 b2/PF2 F1 = P ,贝U -_ = tan 一co t 一(或 =tan co t 一) c a 22 c a 22PF1F222xy4、设双曲线 -2=1 (a0,b0)的两个焦点为 a2b2F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在4中，记.f1pf2 - :,/PF1F2 = P , /F

29、F2P = ,则有sin 二c:丁 e.-(sin 飞 一sin :) a2 x 5、若双曲线-y- a2 y_ b2=1 (a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1vew J2 + 1时，可在双曲线上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PE的比例中项. 226、P为双曲线 _与=1 (a0,b0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则 a2 b2IAF2I 2a qPA|+IPF1I，当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立227、双曲线 与=1 (a0,b0)与直线 Ax + By+C =0有公共点的充要条件是 A2a2 B

30、2b2 M C2. a2 b2228、已知双曲线 xy=1(ba 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 OP_LOQ.a b(1)11=1_|OP|2 |OQ|2 - a2 b2.2.22.2(2) |OP|2+|OQ|2的最小值为-4a-； (3) SPQ 的最小值是一a-2222b - ab - a22x y9、过双曲线 =1 (a0,b0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN勺垂直平分线交a bx轴于p,则LPLL = e|MN | 22 x10、已知双曲线-2a2y=1 (a0,b 0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0

31、), b2-2a b _则x0 或a2 J a b x0 a2211、设P点是双曲线 勺_%=1 (a0,b0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记/F1PF2=8 ,则 a b2b2C21即严力仁给羯旭功向万.212、设A、B是双曲线今a4=1 (a0,b0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点， NPAB = a,b/PBA = P, /BPA = %2 ,2ab |cos，|c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) |PA|=一2卢222| a -c cos |(2) tan，tan : =1 e2.(3)S PAB至Wcot . b2 a2213、已知双曲线3ab2=1 (a0,b 0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A B两点，点C在右准线l上，且BC_Lx轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在双曲线焦三角形中