三次函数切线专题

1、三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。3 一 2设点P为二次函数f (x) = ax +bx +cx+d(a # 0)图象上任一点，则过点P一定有直线与 y=f(x)的图象相切。若点 P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点 P不是三次函数图象的对称中心，则过点 P有两条不同的切线。证明 设P(x1，yj 过点P的切线可以分为两类。1、 P 为切点k1 = f /(x1) = 3ax12 + 2bx1 + c ,2切线万程为：y-y1 = (3axi2bxi c)(x - x1)P不是切点，过P点作y = f(x)图象的切线，切于另一点Q ( x2, y2)33.2

2、,2y2 - y1ax2 -ax1bx2 -bx1cx2 -cx1k2 =x2 - Xix2 - x122二 ax2ax1x2 ax1 bx1bx2 c又丫 k2 = f/(x2) =3ax2 +2bx2+c(1)222ax 2ax1 x2ax1 bx1 bx2 c = 3ax22bx2c即 (x2 -x1)(2x2 x1 -)=0 a1x2 二 一二 x12b八、一代入(1)式2a得 k2 = 3 axi4bxc4a讨论：当k1 =k2时,2 一321b/口3axi +2bx+c = ax1 十一bx1 一一十c,信 x二42 4a3a，b当xi =一时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切

3、线。3ar b当x # 一时，ki k2 ,所以过点P有两条不同的切线。3a其切线方程为：y - yi =(3axi2 2bxi c)(x - xi)y - yi = (3 axi 2 bx1 - b c)(x - x1)42 4a由上可得下面结论:过三次函数f(x) =ax3 +bx2 +cx+d (a # 0)上异于对称中心的任一点Pi(x1，yi)作y = f (x)图象的切线，切于另一点P2(x2，y2),过P2(x2,y2)作y = f (x)图象的切线切于 P3(x3,y3),如此继续，得到点列_ .1bP4(X4,y4)- Pn(Xn, yn )-,则Xn书= Xn ，且当hT

4、+如时，点趋近二次函数图象的对称中心。2 2a证明：设过Pn(Xn，yn)与y = f(X)图象切于点PnXn书，丫口书)的切线为PnPn ,yn1-yn -2-2k = = aXn 1aXn .Xn aXnbXn 1 bXn C/2又 k = f (Xn 1)= 3aXn 12bXn 1 c22aXnXn aXnb bXn c = 3aXn 1 2bXn 1 cb、_即(Xn 1 -Xn)(2Xn 1 , Xn , -)= 0.1bXn 1 - - Xn -a设xn4+九=一口(xn +入)则九=223a，b, r ,1人，二 数列Xn十7是公比为-万的等比数列，22abb1 nJXn =

5、-丁 (X1)()3a3a22aXn 1o即 lim Xnn )二二3a(2)过三次函数外一点的切线问题。设点P(Xo, y0)为三次函数f (x) = aX3 +bX2 +cX + d(a00)图象外，则过点P一定有直线与y = f (x)图象相切。4 b(1)若Xo =,则过点P恰有一条切线；3abb(2)若xo # ,且g(xo)g()>0,则过点P恰有一条切线； 3a3a一 4b . b .(3)右Xo丰一，且g(Xo)g(-)=0,则过点P有两条不同的切线;3a3ab , 、 ， b、 一(4)右Xo # 一丁，且g(Xo)g(-) <o,则过点P有三条不同的切线。 3a

6、3a其中 g(x)=y0 - f(x) f/(x)(x -Xo).证明 设过点P作直线与y = f(x)图象相切于点 Q(x1,y1),则切线方程为y - y1 =(3ax12 2bxi c)(x-x1),把点P( Xo, yo)代入得： 322axi +(b3ax0)X1 2bxoX1 + yodcxo = 0 ,设 g(x) =2ax3 (b -3ax0)x2 -2bx0x y0 d cx0.g/(x)=6ax2 2(b-3ax0)x-2bx0,22.-： =4(b -3axo)48abxo = 4(3ax° b),b令 g (x) =0，则 x =Xo, x = .3a因为g(

7、x)=0恰有一个实根的充要条件是曲线y = g(x)与x轴只相交一次，即 y = g(x)在r上为单调bbb 函数或两极值同万，所以 x0 =-，或x0丰一，且g(x0)g(-)>0时，过点P恰有一条切线。 3a3a3ag(x) =0有两个不同实根的充要条件是曲线y = g(x)与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b 1 , 、 ， b、x0 # -一，且g(x0)g ()=0时，过点P有两条不同的切线。3a3ag(x) =0有三个不同实根的充要条件是曲线y = g(x)与X轴有三个公共点，即 y = g(x)有一个极大值，b , 、 ， b、一个极小值，且两极值异号。所以x0手一，

8、且g(x0)g() <0时，过点P有三条不同的切线。3a3a例题讲解：例1、已知函数y=x3x,求过点A(1,。)的切线方程。1 3 a 2例 2、(2010 湖北又数)设函数 f(x) = x - x +bx+c ,其中 a>0,曲线 y = f(x)在点 p(0, f(0) 32处的切线方程为y=1(I)确定b、c的值。(n)设曲线y = f(x)在点(x1，f(x1)及(x2, f(x2)处的切线都过点(0,2)证明：当x #x2时,f '(x1)=f '(x2)(m)若过点(0,2)可作曲线y = f(x)的三条不同切线，求 a的取值范围。例 3、已知函数

9、f (x) = lx3+ax2+bx ,且 f'(一1) =0 3(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；令 a = 1,设函数 f(x)在 x1,x2(x1 <x?)处取得极值,记点 M ( x1，f(x1)，n(x2, f 依)，P(m, f(m),x1 <m <x2，请仔细观察曲线f (x)在点P处的切线与线段 MP的位置变化趋势，并解释以下问题：(I)若对任意的m W(x1，x2),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；(II)若存在点Q(n ,f(n), x <n< m,使得线段PQ与曲线f

10、(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出 m的取值 范围(不必给出求解过程)三次函数切线作业1、曲线y=x3+3x在点P(2,14)处的切线方程是。2、已知曲线C： f (x) =x3 x+2 ,则经过点P(1,2)的曲线C的切线方程是。3、已知曲线C： f (x) =x33x2+2x+a的一条切线方程为y=2x,则实数a的值等于4、已知函数f (x尸ax3 4bx2 _3x在x =里处取得极值。(I)求函数f(x)的解析式；(n)求证：对于区间1, 1上任意两个自变量的值 xi,x2,都有了俨尸的卜上；(出)若过点 A (1, m) (mw2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数 m的取值范

11、围. 3.一 25、已知函数.f(x)=2x +ax与g(x)=bx +cx的图象都过点P(2, 0),且在点P处有公共切线.求f(x)和g(x)的表达式及在点 P处的公切线方程；_ mg(x)，一, 、(2)设F(x) =-+ln(x 1),其中m<0,求F(x)的单调区间.8x三次函数切线问题参考答案例 1、解：f '(x )=3x2 -1 ,若A是切点，则切线方程为y -0 =2(x-1户y =2x -2J21 1,则切线方程为x+4y1=0。若 A不是切点，设切点为（t，f 9，则切线方程为y（t31）=e21）（xt）,将A（1,0代入得_ 3_ 2_ 3_ 2222t

12、-3t+12t A-t+1=(t_1卜(2t + 1)=0 ,所以切点为小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线 上，讨论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。例2、（ ）山）加+4郎 /（O）-c * /*（x） = x' -wtb t 孑*又由曲线y /（外在点P（Q, /（0）处的切找方程为¥ = 1,超八0） = I,八0） = 0 .放54Q 一 I（H）+ /匕）=片厂皿,由于点«J。）她的切戊方程为k/。卜八球M7）,而点g力在切鳗上.所以2-s二,（T）,化面得+即，活足的方程为3；乙】

13、o.3232下面用反证法w明假设/ a）=/晶于曲线丫二/（工）在点（3J5）及（勺,/（x3）处的切线都过点Ot 2 *则P（列尊式成工Xf -叫=Xf - 0X1( J)由(3)得覆 + 叼=(7.由Q)-(2)得+ XjXj +x； = a2(4)*4'Zxf -k/=氏 + rm = a -x:(a-x:) = xf -ix： + J =(司+： Jfe* 4才”i(4)出=f.比付与=.七科工所以(8)=/心)（in）由n，知，过点o. 2）可作'1=）的：条切税*等处于方程2一/ =/（OT）2 101有三个相异的实根，即等仰于方程石产-t2t4=0行三个相异的实祗

14、女g=5/-4=+Lg'（）=2r'一口f = 2f（F=）.由于故有322t('XT0)*(o.g)<73尊母）*60一gZ极大值1极小值24r由gQ）的单调性知:要使g=0有三个相异的实根.当且仅当1 /->2出.24，。的取值范围是（26,母）例3、解法一：2(I )依题息，得 f (x) =x +2ax +b由 f '()=1 2a b =0#b =2a -1.1 32从而 f (x) =_x +ax +(2a1)x,故f'(x) =(x+1)(x+2a1). 3令 f '(x) =0,得x = 1或x =1 -2a.当 a&

15、gt;1 时，1 -2a <-1当x变化时，f '(x)与f (x)的变化情况如下表：x(0° ,1 - 2 a)(1-2a,-1)（-1尸）f'(x)+一+f(x)单调递增单调递减单调递增由此得，函数f（x）的单调增区间为（血,1一2a）和（1,收），单调减区间为（12a,1）。当a=1时，12a = 1此时有f'（x） >0恒成立，且仅在x = 1处f'（x）=0 ,故函数f （x）的单调增区间为R 当a<1时，12a >T同理可得，函数 f（x）的单调增区间为（吗1）和（1 2a,）,单调减区间为(-1,1 -2a)综上：

16、当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(/2a)和(1，也)，单调减区间为(1-2a,-1)；当a =1时，函数f(x)的单调增区间为 R；当a<1时，函数f(x)的单调增区间为(_叫_1)和(12a,+g),单调减区间为(1,12a).1 322(n)由 a = 1 得 f(x)= x -x -3x 令 f(x)=x 2x-3 = 0 得 x = 1必=3 3由(1)得f (x)增区间为(_叫_1)和(3,+w),单调减区间为(_1,3),所以函数f (x)在处处=1,x2 = 35 一 一取得极值，故 M( -1,-)N (3,-9)o观察f(x)的图象，有如下现象：当m从-1

17、(不含-1)变化到3时，线段MP的斜率与曲线f (x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp- f '(m)的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于 H, P的公共点与Kmp - f'(m)的m正负有着密切的关联;Kmp f '(m)=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足 Kmp f '(m)的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线f (x)在点P(m, f(m)处的切线斜率f'(m) = m22m 3 ；线段MP的斜率Kmp = m 4m53当 Kmp f '(m)=0 时，解得 m = 1或m=22 2直线MP的方程为y

18、 =(m _4m_5x + m -dm 3322,m -4m -5 m -4m. 令 g(x) = f(x)-(x)33当m=2时，g'(x)=x22x在(1,2)上只有一个零点x=0,可判断f(x)函数在(-1,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减，又g(1) = g(2) =0,所以g(x)在(1,2)上没有零点，即线段MP与曲线f (x)没有异于M, P的公共点。当 m2,31时，g(0)二一中 0 g=-(m-2)2，。所以存在mW (0,2】使彳导g(6)=0即当mw(2,3 时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.(2)类似(1)于中的观察，可得

19、 m的取值范围为(1,3解法二：(1)同解法一.132一一2(2)由 a = 一1 得 f (x) = x -x 3x ,令 f '(x) =x 2x3 = 0 ,得 x1 =1,x2 =33由(1)得的f(x)单调增区间为(q_1)和(3,+/)，单调减区间为(1,3),所以函数在处取得极值。故,522m -4m -5 m -4my 二x -33M( -1,3).N(3, -9)(I )直线MP的方程为22.m -4m-5m -4m由3|132y 二 - x -x3得 x3 -3x2 -(m2线段MP与曲线y =x3-3x2-4m 4)x -m 4m =0f (x)有异于M,P的公共

20、点等价于上述方程在 (1,m)上有根，即函数 g(x) =x3 -3x2 _(m2 -4m +4)x -m2 +4m在(-1,m)上有零点.因为函数g(x)为三次函数，所以g(x)至多有三个零点，两个极值点.又g(1)=g(m) =0 .因此，g(x)在(-1,m)上有零点等价于g(x)在(-1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点，即g'(x) =3x2 6x (m2 -4m+4) =0在(1,m)内有两不相等的实数根.36 12( m2 -4m -4) >022等价于 3( ) (m 一4m 4) 0 3m2 -6m 一(m2 -4m +4) >0m >1J1 T

21、 :二 m :二 5即 m . 2或 m ：二-1，解得 2 :二 m :二 5Jm 1又因为1<mW3,所以m的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r的最小值为2.作业：1、解：由f'(x) =3x2+3,得f'(-2)书，所以所求的切线方程为 y+14 = 15(x + 2),即y = 15x+16 。2、错解：由f'(x)=3x21,得k = f'(1)=2,所以所求的切线方程为y 2=2(x1),即y = 2x。'错因剖析：此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率k与f (1)不一定相等。正解：设经过点P (1,

22、 2)的直线与曲线 C相切于点(x0,y0),则由f'(x) = 3x21,得在点(x0,y°)处的'.、 一 2.一 2、斜率 k = f (xo) =3xo 1 ,有在点(xo, yo)处的切线的方程为 y y0=(3xo 1)(x x0)。又因为点(xo, yo)与点P (1, 2)均在曲线C上， 3I yo x0 - x0 232有42,消去 yo 得 xo xo = (3xo 1)(1 xo ) ,2 - yo = (3xo - 1)(1 - xo )1 .一 1斛付xo =1或x0 =，于是k = 2或一，19所以所求切线方程为丫=2*或丫=x+。4432

23、23、设切点坐标为(xo,yo),则yo= %-3xo+2x0 + a ,又 2 = 3x° 6x0+ 2 ,y°=2xO 得 x0= o或 2。32再消去yo倚a = -xo +3x0 ,于倚a = 0或4。4、( I)f '(x )=3ax2 +2bx 二，依题意 f '(尸'(1 尸。，3a +2b 3=o 即3,3a -2b-3 = o 解得 a=1, b=o. 3 f (x )=x -3x(II) . . f (x )=x3 -3xf '(x J=3x2 -3 =3(x 十。一1 ),当一1<x<1时，f' (x

24、)<o ,故f(x)在区间1, 1上为减函数， fmax (x 尸 f ( )=2 , fmin (x )= f(1 尸-2对于区间 1,1上任意两个自变量的值Xi,Xz,| f (Xi)-f (x2fmax (xfm, (x |) = 4 8分(III) f' (x)=3x2 3=3(x+1)(x 1),.曲线方程为y=x3 3x, .点A (1, m)不在曲线上.设切点为M (xo, y。)，则点M的坐标满足yo = x3 -3xo. 2因f (xo) =3(Xo -1),故切线的斜率为3(x2 1) = x3-3x°-mXo -1整理得 2x3 -3x2 m 3 = o. 过点