《空间向量基本定理》参考教案

1、2.3.2空间向量基本定理教案一、教学目标：1 .知识目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论； 了解空间向量基本定理的证明。2 .能力目标：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在 平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。会作空间任一向量的分解图。类比平面向量的基本定理学习空间向量基 本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。3 .情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引 起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新 课程改革的理念之一，加强数学与

2、生活实践的联系。二、教学重难点：1 .教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量 基本定理证明空间直线的平行、共面问题。2 .教学重点：运用空间向量基本定理表示空间任一向量， 并能根据表达式判断向量与基底 的关系。三、教学方法：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、 参与学生活动和讨论的民主式的教学。四、教学过程（一）、引入：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本 定理。用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向 量

3、表示。我们研究一下怎么表示。（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向 量的基底表示）学生：el、e2是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量 a都可以表示为a二入晟+屹晟，其中心力是一对唯一的实数。（二）、推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何?学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量 a、b、c不共面，则空间的任一向量p者B可表示为 xa+yb+zc。师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明老师板演证明：设空间三个不共面的向量 OA=a, OB =b, OC=c, OP = p是空间任一向量，过p 作 PD / OC 交平面 OAB 于 D,贝Op =oD

4、+ Dp , 由空间两直线平行的充要条件知 DP = zc,由平面 向量的基本定理知向量 OD与OA、OB共面， 则OD = xa+yb,所以，存在x,y,z使得OP = xa+yb+ zc o这样的实数x,y,z是否唯一呢？用反证法证明：若另有不同于 x,y,z的实数xi,yi,zi满足OP= xia+yib + zic ,则 x a +y b+ zc= xi a+yi b + zic, 即(x xi) a +(y yi) b+(z zi) c = 0又a、b、c不共面，则x xi=0, y yi=0, z zi=0,所以x,y,z是唯一的实数。这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基

5、本定理。老师介绍相关概念：其中3、，、2叫做空间向量的一个基底，1、，、c都叫做基向量。师：对于空间向量的基底（a、b、4的理解，要明确：空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某 一向量。通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。若3、b、C是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基 底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。如：a+b、a + c、6 + c； 2a+3b、4c、b等构成向量的基底。能否由原来的基向量生成新的基底，

6、 取决于生成的新向量是否共面，即其中的一 个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量 能否构成向量的基底。通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理， 还要让学生学会把 平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成 立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想。特别地，当x=0，则p与b、c共面；若y=0,贝Up与a、c共面；若z=0,则p与a、b共面。当x=0, y=0时，p与c共线；当x=0, z=0时，p与b共线；当y=0, z=0时，p与a共线.说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，

7、 并包含了 低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。 这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发 展）。（三）、类比：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：平向向量中成立的结论空间向量中成立的结论（学生回答）向量b与非零向量a共线u存在唯一实数人使得b =入a向量b与非零向量a共线£存在唯一实数人使得b =入a （用来证明空间向量共线或直线平行）同一平闻的任总两个向量都共面向量a、b是空间/、共线的两个向量，则向量p 与I可重a、b共回u存在唯一头数x,y使得p - xa+y b （用来证明空间向量共面）若 O

8、A, = a , OB = b ,则OA+OB = OC, OC是平行四边若 OA = a , OB = b , OC = c ,（四）、例题：例1、在平行六面体 ABCDAiBiCiDi中，AB = a, AD = b ,AA1 =c, P是CAi的中点，M是CDi的中点，N是CiDi的中点，点Q在CAi上，且 CQ: QAi=4: i,用基底、b、C表示以下向量：（i）Ap ,（2）AN, 分析：所求的向量与基底都共点，符合平行四边形法 则的特征，尽量将所求向量作为平行四边形的对角线。解：（i）由P是CAi的中点，i i得AP= （AA+AC） =- （c + AD+AB）22i ,=-（

9、a +b +c）2(2) AnLaiM + MnLaiM+2cci(c + a) +b+1c = b + c +2a2222法2:AN =AAi +AiN=AAi+AiDi+DiN=c + b+ia4 一 4 一 一 i 一 4 (3) AQ=AC+CQ=AC+CA产AC+(AA1+CA ) =AC+AAi 5555(b + a)+4c 55例2、在例1中，设。是AC的中点，判断AQ和OCi所在直线的位置关系i 一 一 4 一 I 解：由例 I 得：AQ=-(b+a)+- c, OCI = OC+CCI =- AC +AAI 552i ,=-(b +a ) +c2贝U AQ和忘与(b +a)和

10、c共面，又AQ w OC),贝u aq和OCi所在直线不能平行，只能相交。 C4 - 5+ a+ b/V1l5追问：要使AQ和OCi所在直线平行，则。应在AC的什么位置?分析：要使AQ和OCi所在直线平行，则OC1 = XAQ =又 OC1=OC+CC1 ,设 OC/AC = N ( b+a )4 一 5+X.7a+b/V1L5入nu贝c +6 / 61忌+ 1入a+4入c =3+pa + c ,由a、b、c不共面即空间向量基本定理的唯性知： 5 =九=5F=工，所以，OC=1AC4、,444九=1 3学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法, 根据平行线分线段成比例定

11、理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与 平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究， 即将空间任一向量放 在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演 绎推理。请学生板演平面几何证法：易证 AAiQzXCCiR,则 CR=AiQ=1CQ,4又OCACCRCQOC 二 iAC 4（五）、练习：已知向量 a = ei - 2e2 +3e3 , b =2 ei + e2 , c=6ei 2e2 +6e3 ,判断a+ b与c能否共面或共线？ c 3b与b 2a能否共面或共线？a + b =3 ei e2 +3 e3 , c=2 (a + b),贝U a + b 与 c 共线即平行c 3b =6 e1 一 2e2+6e3 6e1 一 3e2 6eg 5e2b 2 a =2 e1 + e2 2 e1 +4 e2 6e3 = 6 e3 +5 e2c 3b与b 2a共线但反向思维发散训练：已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原 子，四个氢原子构成正四面体的顶点， 确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗