小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)

1、燕尾定理page 10 of 18日如蚱 例题精讲燕尾定理:在三角形 ABC中，AD , BE, CF相交于同一点 O, 那么，S ABO : S ACO = BD :DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于 任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题 证明燕尾定理:如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S : S4 = & : S3 = BD : DC【解析】三角形BED与三角形CED同高，分

2、别以BD、DC为底，所以有S1 : S4 = BD :DC ；三角形ABE与三角形EBD同高，S1：S2=ED:EA；三角形 ACE与三角形CED同高，S4 : S3 =ED : EA ,所以§ : S4 =& :6；综上可得，S ： S4 =& ： S3 =BD : DC .【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 ABC的面积是1, E是AC的中点，点BC上，且BD:DC=1:2, AD与BE交于点F .则四边形 DFEC的面积等于 .方法一：连接CF ,根据燕尾定理，S*=BD=1, 皂巴=些=1,SA acfDC 2& cbf EC

3、设 Sz BDF =1 份，则 Sz DCF = _ 所以 Sa abe Sa abc =10, Sa abd 份,S/XABF = 份，SaaEF = S EFC = 3 份，如图所标所以Sdcef =5sSa ABC1212方法二：连接DE ,由题目条件可得到SA ABD112Sa ade = Sa adc = Sa abc223=3,所以黑Saabd1=?Saade1111111c 1一Sa deb = M-父 Sa bec = M - M M Sa abc =，22 32 3 212而Sa CDESa abc = .所以则四边形3 23DFEC的面积等于512【巩固】如图，已知BD=D

4、C, EC=2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它判断这道题不应该通过面积公式求面积 进行改造，那么我们需要连一条辅助线,（法一）连接CF,因为BD=DC,EC=2AE,三角形 ABC的面积是30,-1e& ABC -15 2根据燕尾定理,Sa abfAESa abfSa CBFEC& ACFBD=1 CDSA BFD= 157.5 =7.5 ,1所以 Saabf Saabc 7.5，4所以阴影部分面积是30107.5=12.5 .

5、（法二）连接DE ,由题目条件可得到-1eSa abe Sa abc 10，3Sa bde = - Sa bec21 2二Sa abc2 3=10 ，一 AF所以AFFDSA ABESA BDE1Sa def - - Sa dea21 1Sa adc2 3111一 x- x- xsAabc =2.5，23 2而$4CDE =2x1xSAABC =10.所以阴影部分的面积为 12.5. CDEABC3 2【巩固】如图，三角形 ABC的面积是200 cm2, E在AC上，点D在BC上，且AE: EC =3:5 , BD:DC = 2:3 , AD与BE交于点F .则四边形 DFEC的面积等于 .【

6、解析】连接CF ,根据燕尾定理,SA ABFSA ACFBDDCSA ABF AESA CBFEC365 一而设 S ABF 6 份,则 SAACF 9 份,SA BCF5=10 份，SAEFC =9 3 5458份,_3SACDF =10 =6 修，2 3456) =8 ( 6) =93 (cm ) 845所以 Sdcfe =200，(6 9 10)(-【巩固】如图，已知BD=3DC, EC =2AE, BE与CD相交于点O,则4ABC被分成的4部分面积各占 4ABC 面积的几分之几？【解析】连接CO,设Saaeo=1份，则其他部分的面积如图所示，所以SAabc =1+2+9+18=30份，

7、所以四部分按从小到大各占MBC面积的工,3=二2一,生=9303060 30 10 3020（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在 4ABC中，CP=1CB, CQ =CA , BQ与AP相交于 23点X ,若4ABC的面积为6 ,则4ABX的面积等于 .C【解析】11S BPQ = - S BCQ = S2 -6 一ABC 1 一一 1 一一一，一 2 一由于 CP = CB , CQ =CA ,所以 SJABQ =- S ABC , 233 _21由蝴蝶7E理知，AX : XP SLIABQ : SIJBPQ =-S ABC : S ABC =4:1 ,3 -6 -所以 SLABX

8、= S_ABP =父S ABC = S ABC = 一 黑 6 = 2.4 .5 -5 25 -5方法二：连接CX设SAcpx =1份，根据燕尾定理标出其他部分面积,所以 SABX =6，（1 1 4 4） 4=2.4BD=2DC, CE=2AE, AD与BE相交于点F ,请写出这4部分【巩固】如图，三角形 ABC的面积是1, 的面积各是多少？【解析】连接CF ,设SAAEF =1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以Q 1 Q 62.8q 2 42SA AEF =一，SA ABF =一 二一，SA BDF =一，SFDCE = =一2121 721217连接CF ,根据燕尾定理

9、,& ABFBD1Sx ABFSA ACFDC2S*A CBFAE 2EC - 3【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC =2:3 , BD: DC =1:2, AD与BE交于点F .四边形DFEC 的面积等于22 cm2,则三角形 ABC的面积./八3份,SA EFC =4=2.42 3【巩固】三角形 ABC中，C是直角，已知 部分）的面积为多少？设SA BDF =1 份,则 S»AD C F2 份,SA ABF =2 份，SA AFC =4份，SA AEF = 4=1.62 3份，如图所标,所以 SEFDC =2+2.4 =4.4 份,SA ABC =2+3+

10、4 =9 份所以 SABC =22-： 4.4 9 =45 （cm2）AC =2, CD =2, CB=3, AM=BM,那么三角形 AMN （阴影【解析】连接BN . ABC的面积为3父2+2=3根据燕尾定理， ACN:ABN =CD: BD=2:1 ;同理CBNiACAN =BM : AM =1:1设 AMN面积为1份，则AHNB的面积也是1份，所以4ANB的面积是1+1 = 2份，而4ACN的 面积就是2 M2 =4份，4CBN也是4份，这样 ABC的面积为4+4+1+1=10份，所以4AMN的 面积为3-10父1 =0.3.【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是2平方厘米，EC = 2

11、DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】设Sa def =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示影=& Sa bcd12512平方厘米.例2如图所示，在四边形 ABCD中, 形BODC的面积为.AB=3BE, AD=3AF,四边形 AEOF的面积是12,那么平行四边连接AO,BD ,根据燕尾定理SA ABO : SA BDO = AF : FD= 1:2, SA aod : SA bod = AE : BE = 2:1，设Sabeo =1 ,则其他图形面积，如图所标，所以Sbodc =2Saeof =2x12=24.例3 ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分

12、别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G ,则四边形 AGCD的面积是 平方厘米.【解析】连接八。、68,设$4 1c=1份，根据燕尾定理得S/agb =1份，SA BGC =1份，贝U S正方形=（1+1+1）乂2=6份，Sadcg =3+1 =4份，所以 Sadcg =122 +6M4 =96 (cm2)例4如图，正方形 ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形 BGHF的 面积是 平方厘米.连接BH,根据沙漏模型得 86:6口=1:2,设$4 bhc=1份，根据燕尾定理Sa CHD =2份,SabhD=2份,12 77因此正方形=（一+2）-1。份，-=/3

13、=6,所以SBFHG=120嗔=14（平万厘米）.【例5】如图所示，在 4ABC中，BE: EC =3:1 , D是AE的中点，那么 AF :FC =【解析】连接CD .由于 SA ABD : SA BED =1：1 ,SA BED : SA BCD =3: 4 ,所以 SA ABD : SA BCD =3: 4 ,根据燕尾定理，AF : FC =SABD : SABCD =3: 4 .AE: EC =3:1 ,求 OB:OE=?【巩固】在 MBC中，BD : DC =3: 2 ,连接OC .因为BD: DC =3: 2 ,根据燕尾定理,3 _saOB : S逸OC = BD : BC =3:

14、 2 ,即 S占OB =2 S为OC ；4又 AE : EC =3:1 ,所以 S幽oc =Soe所以 OB:OE =S.aob:S.aoe =2:1 .3八34八八. 则 S&OB =3$店0© MgS由OE 2 SOE ,【巩固】在 MBC 中，BD:DC=2:1, AE: EC =1:3 ,求 OB:OE =?【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积 比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比.本题的图形一看 就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC

15、.连接OC .因为 BD:DC =2:1 ,根据燕尾定理，Saob : Saoc =BD :BC =2:1 ,即 SAob =2S公°c ；又 AE: EC 1:3 ,所以 Soc =4S&oe .则 Saob =2S&oc =2M4Soe =8S&oe , 所以 OB : OE =Saob : S盘oe =8:1 .例6 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且【解析】AE = AB , CF =BC ,3面积之和为（法1）如图，过 所以AEEB2所以 S，AEG =；L2且 EG = HF3AF与CE相交

16、于G ,若矩形ABCD的面积为120,则AAEG与ACGF的F做CE的平行线交 AB于H ,则EH : HB=CF : FB=1:3 ,2 S- S ABF2 3女=EC所以两三角形面积之和为AG:GF =AE: EH =2 ,即 AG =2GF ,2 3 1c= 一"£ 一黑SJ ABCD =10 .9 4 21=EC ,故 CG =GE ,则 S盘10+5=15.BG .=BF :CF =3:1,S解G : S&CG = BE : AE = 2 :1 ,（法2）如上右图，连接 AC、根据燕尾定理，S ABG : S ACG1 一 一而SaBC=2S ABCD =

17、60 ,所以S ABG3 2 1,1S浅bc =父 60 = 30 ,S BCG,S/ABC3 2 11=_父60=20, 31 _1 _人SaEG SBG 10 , S&FG = S幽CG =5 ,所以两个三角形的面积之和为15.【例7】如右图，三角形 ABC中，BD: DC =4:9 ,CE:EA=4:3 ,求 AF:FB.根据燕尾定理得SA AOB : SAAOC Sa aob : Sa boc根据燕尾定理得SA AOB : SAAOCAAOD/AOC=BD ：CD =4:9 =12: 27 = AE：CE =3: 4 =12:16（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所

18、以 SA AOC : SA BOC =27：16 = AF : FB本题关键是把 4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果 能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC=3:4, AE:CE =5:6 ,求 AF : FB .二BD :CD =3: 4 =15: 20SA AOB : SA BOC=AE :CE =5: 6 =15:18（都有4AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 SAOC : Saboc =20:18 =10:9 =AF：FB【巩固】如图， BD: DC =2:3 , AE:C

19、E =5:3，则 AF : BF =19 5 19page 11 of 18【解析】 根据燕尾定理有 Saabg : SAACG =2:3=10:15, Saabg : Sabcg =5:3 =10:6，所以SA ACG : SABCG= 15: 6 =5: 2 =AF : BF【巩固】如右图，三角形 ABC中，BD:DC=2:3, EA:CE =5: 4 ,求AF :FB .【解析】根据燕尾定理得SaAOB : Saaoc =BD : CD =2:3=10:15SA AOB : SABOC=AE :CE =5: 4 =10:8（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 SA AOC

20、: SA BOC 15:8 AF : FB【点评】本题关键是把 4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果 能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！例8（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，AF:FB = BD: DC=CE: AE = 3: 2,且三角形ABC的面积是1,则三角形 ABE的面积为 形GHI的面积为.,三角形AGE的面积为连接 AH、BI、CG .22 c 2AC ,故 S&BE SABC ；555由于CE: AE=3: 2 ,所以AE根据燕尾定理，S ACG : S abgSCG : S

21、aBG : S占CG =4 : 6: 9 ,=CD : BD =2 :3 , S$cg : SAbg =CE : EA = 3: 2 ,所以4-9贝 U Scg , S占CG ；19192 一那 A S age - - S aGC5 19 95同样分析可得Sch =-，则 EG : EH =务CG : Sach= 4 : 9,19EG : EB = S&cg : S&cb =4:19 ,所以EG:GH : HB =4:5:10 ,同样分析可得 AG:GI :ID =10:5: 4,所以Sbie10S.bae5 21=一10 5 5S.Ghi19S.Bie5 11.一=【巩固】

22、如右图，三角形 ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形GHI的面积是1,求三角形 ABC的面积.page 26 of 18连接 BG, S agc =6 份根据燕尾定理，SAAGC : SABGC =AF ： FB =3: 2 =6: 4 , SAABG : SAAGC = BD : DC =3: 2 =9:6得 Sa bgc =4（份），S.bg =9（份），则 S abc =19 （份），因此SA AGCS ABC619同理连接 AI、CH得SBH =9,包吧=9, S ABC 19 SAABC 19所以 &ghi _19 - 6 -6 -6 0 1Sa A

23、BC _19-19）如图，MBC 中 BD=2DA, 倍.CE=2EB,三角形GHI的面积是1,所以三角形 ABC的面积是19 (2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级AF =2FC ,那么，ABC的面积是阴影三角形面积的如图，连接AI .= 2:1 , S&ci : S小bi =CF : AF =1: 2,根据燕尾定理，Sbci :S.aci =BD :AD所以,S小CI : S咨CI : S凄BI =1: 2 : 4 ,22刃Ba,S春ci =S Abc =_ Sabc 1 2 47ABC面积同理可知 MCG和MBH的面积也都等于 AABC面积的2 ,所以阴影三角形的面积

24、等于7,21的1 2父3 =1 ,所以 MBC的面积是阴影三角形面积的 7倍.如图在MBC中，DC二区二里二;求GHI?!?的值.DB EC FA 2 ABC 的面积【解析】连接 BG,设 Sbgc=1 份，根据燕尾定理 SA agc Sbgc=AF ：FB=2：1, SA abg ： SA agc = BD ： DC =2:1 ,S 2 一得SA agc =2（份），SAabg =4（份），则Sbc = 7（份），因此GC =,同理连接AI、CH得Sa abc 7S abh2 S bic2=, SA ABC7 SA ABC 7所以 &GHI .7 -2 -2 -2 =1SA ABC7

25、7【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化， 但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我 们有对称法作辅助线.【巩固】如图在 ABC中,的值.DC EA FB 1 一 4GHI 的面积二二=一,求-DB EC FA 3 ABC 的面积【解析】连接 BG,设 SAbgc =1 份，根据燕尾定理 Saagc : Sabgc = AF : FB =3:1 , Saabg ：Saagc=BD ： DC =3:1S 3 一得 Sa Agc =3（份），SaABG =9（份），则 2 abc=13（份），因此

26、S*,同理连接 AI、CH 得313Sa abc13Sa abh“cSa bic二13,SA ABCSA ABC所以SAGHI13 - 3 - 3 - 3 _ 4Sa abc _13- 13如右图,三角形ABC 中，AF :FB = BD :DC =CE: AE =4:3 ,且三角形ABC的面积是74,求角形GHI的面积.连接 BG, Sa agc = 12 份根据燕尾定理,Sa agc : Sa bgc=AF :FB =4:3= 12：9 , Sa abg : Saagc二 BD : DC =4:3 =16:12得Sa BGC =9 （份），SAABG =16（份）,则 Sabc=9+12+

27、16=37（份）,因此匡改CSa abc1237同理连接AI、CH得S3SA abc12Sa bic1237Sa abc37所以包包Sa abc37 -12 -12 -123737三角形ABC的面积是74,所以三角形 GHI的面积是74 X=237如图所示,三个三角形的面积分别是3,7,7,【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形, 则阴影四边形的面积是多少？【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为 ABC , BE和CD交于F ,则BF = FE ,再连结DE .所以三角形D

28、EF的面积为3.设三角形ADE的面积为x ,则 x: (3+3)=AD :DB =(x+10):10 ,所以 x=15,四边形的面积为 18.方法二：设Saadf =x,根据燕尾定理SAabf ：Sabfc =Saafe ：Saefc ,得到Saaef =x + 3,再根据向右下飞的燕子，有(x+3+7):7=x:3 ,解得x=7.5四边形的面积为7.5 + 7.5 + 3=18【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中 4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是.【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的 字眼，由此，我们可以推断

29、，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2 0影=(1+3 ):4,解得 与影=2.方法二：回顾下燕尾定理，有2:(即影+4) =1:3,解得S =2.【例10 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多设SABOF =x ,由题意知BD: DC =4:3根据燕尾定理，得33Sa abo : Sa aco = S bdo : Sa cdo = 4:3 ,所以 Sa aco - M(84+x) =63 +x ,443再根据 Saabo : Sabco =Saaoe : Sacoe ,列万程(84 +x) :(40 +3

30、0) =(63 + x -35) :35 解得 x =564SAAOE : 35 =(56 +84) :(40 +30),所以 SAAOE =70所以三角形ABC的面积是84十40十30十35十56+70=315【例11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分 的面积.AA【解析】 令BE与CD的交点为 M, CD与EF的交点为N,连接AM, BN.在 ABC中，根据燕尾定理,SA ABM : SA BCM = AE : CE = 1:1 , S ACM : SABCM = AD : BD =1:1 ,所以Sa abm=Sa acm = Sa

31、bcn二% ABC3由于Sa AEMSaamcSaabmS,所以 BM :ME =2:1在4EBC中，根据燕尾定理,SA BEN : SACEN=BF ：CF=1:1 &cen : SAcbn -ME : MB=1:2设SA CEN =1（份），则$4BEN 二1（份） ，Sa BCN=2（份），SA bce =4（份），所以11Sa bcn = Sa bce = S241> abc , Sa bne = Sa bce4=Saabc，8因为BM : ME =2:1 , F为BC中点,所以所以2SabmnSabne3C11S谬:一, _Sw128)ABC【例12】如右图， ABC中

32、,1一 Saabc81=一 S122s24 SA ABC1 ABC , SabFN = Sz BNC21=Saabc , 85X15 =3.125 (平万厘米)24G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点,AD与BG交于M ,AF与BG交于N ,已知ABM的面积比四边形 FCGN的面积大7.2平方厘米，则AABC的面积是 多少平方厘米？根据燕尾定理,【解析】Sa abm:Sa cbm =AG：GC =1:1 , Sa abm : Sa acm再根据燕尾定理,SA ABN : SACBN AG : GC =1:1 ,所以 SA ABN1=BD : CD 1:3，所以 Sa abm =_ S

33、a abc ；5:SA FBN SACBN : SA FBN =4：3 ,所以AN: NF =4:3 ,那么Sa angSA AFC所以SFCGNq _ 5- 1 qSA AFCSA ABCSA ABC 7 4281根据题意，有1SA ABC5Sa ABC28= 7.2 ，可得SA ABC =336（平方厘米）【巩固】（2007年四中分班考试题）如图， 若MBC的面积为1,那么四边形ABC中，点D是边AC的中点，点E、 CDMF的面积是.F是边BC的三等分点,【解析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出 BN、NM、MD三段的比,CDMF的面积.那么所分成的六小块的面

34、积都可以求出来，其中当然也包括四边形连接CM、CN .,所以SaBM =2S ACM =4S ADM , 那根据燕尾定理，S浅bm : S©cm =BF : CF =2:1 ,而 S ACM = 2S ADM么 BM =4DM ，即 BM =4BD .5那么s BMFBM BFxBD BCS BCD4 2 1-x x-5 3 2-,场边形CDMF二：1152另解：得出S ABM = 2 s ACM=4S©dm后，可得S浅dm一5151 1-x 5 23010则 &g边形 CDMF = S ACF -'S ADM1-31030BD=DE=EC, CF=FG=G

35、A,三角形 ABC被分成9部分,【例13 如图，三角形 ABC的面积是1, 请写出这9部分的面积各是多少？设BG与AD交于点P, BG与AE交于点Q, BF与AD交于点 M, BF与AE交于点N.连接CP,CQ, CM , CN.根据燕尾定理，Sa abp : Sacbp =AG :GC =1: 2,SA ABP:Sa acp =BD : CD =1: 2 ,设SL abp =1（份），则同理可得,Sa ABQ_1 H _Sa abn ，Sa abg23, Sa aqg357 21向理，Sa bpmSH边形 MNED353S»A BDM工，所以 2135 70 42-,酶边形NFCE

36、s四边形PQMN 二一2113 21 4235 701 - ，S四边形GFNQ63 21 642如图，MBC的面积为1,点边形JKIH的面积是多少？D、E是BC边的三等分点，点 FG是AC边的三等分点，那么四连接 CK、CI、CJ .根据燕尾定理，S&ck：S&bk=CD：BD=1：2, S&bk：S&bk=AG：CG=1：2 ,所以 S&CK : S&BK : SBK =1: 2 : 4 ,那么 Sack 12 41c 1c=一 ,S&GK=_S&CK7321类似分析可得S.Agi15又 S型j :S式bj =AF :CF =2

37、:1 , Sbj 6呼=BD :CD =2:1 ,可得 S/j1117那 4 Scgkj =- - =4 2184根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为17,那么四边形 JKIH周围的图形的面积之和为84Scgkj2 S AGI S ABE1721612 -二8415 3 70一 .619,所以四边形JKIH的面积为1_一= 一70 70【例 14】如右图，面积为 1 的 4ABC 中，BD :DE : EC =1:2:1 , CF : FG:GA = 1:2:1 , AH : HI : IB =1:2:1 ,求阴影部分面积.【解析】设IFIG交HF于M, IG交HD于N, DF交EI于P

38、.连接 AM ,AI : AB=3:4, AF:AC=3:4,SAAIF,SA FIM : SAAMF = IH : HA =2，SAFIM: SA AIM_2e一Sa ABC16i 二 FG : GA = 2 ' Sa aim = - Sa aif49SA ABC- AH64：AI =1:31 SaahmSA abc， 64AH : AB =1:4AF : AC =3: 4一SaAHF3 Sa ABC同理SA cfd =Sa bdh = SA abc16 AI : AB =3: 4,AF : AC =3: 4 , IF II BC ,又 IF : BC =3: 4,DE : BC =

39、1: 2 ,16Sa fdh - - Sa abc163 3HM :HF = :=1:4 ,64 16DE : IF =2:3, DP : PF =2:3同理 HN : ND =2:3，= HM : HFSa hmn = - Sahdf =Saabc10160=1:4,，HN :HD7= 2:5同理6个小阴影三角形的面积均为1607160阴影部分面积工6 = 2180160【例15如图，面积为影部分面积.AB、BC、CA的三等分点，求阴中，D、的三角形ABCI分别是E、F、G、H、【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为 M, AF与CD的交点

40、为 N, BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为 Q,连接AM、BN、CP求7边ADMI ：在ABC中，根据燕尾定理,Sa abm : Sa cbm = AI : CI =1:2 Saacm : Sa cbm = AD : BD =1:2设SA ABM=1（份），则Sacbm= 2 （彳 ）,SAACM 二 1（彳），SA ABC 二 4（彳 ,所以 Saabm =Saacm =_ Saabc , 所以 Saadm4=Sa abm3=Sa abc , Sa aim12= SA ABC ,12=（ ） S ABC12 12=-Sa abc ,6同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是1 ABC

41、面积的-6求金边形DNPQE ：在4ABC中，根据燕尾定理1 一Sa abc , 向理 Sa beq21"ABC21Sa ABN :SA acn =BF :CF =1:2 SA acn :$ bcn =AD :BD =1:2,所以SaADN = _ Sa ABN = Sa ABC33 7在 4ABC 中，根据燕尾定理 SAABP : SAACP =BF :CF =1:2, SAABP : SACBP = AI :CI =1:2所以 Sa abp = _ Sa abc5所以Se边形 dnpqe - Sa abp - Sa adn - Sa bep5 21 21Sa abc11SSa abc105同理另外两个五边形面积是ABC面积的1051131051370【例16如图，面积为 心六边形面积.的三角形ABC 中,D、E、F、 G、 H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求中P、S、M、Q,连接 CR【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、在 ABC中根据燕尾定理,SA ABR : SA ACR = BG : CG . = 2 ：1 ,SA ABR : SACBR = AI : CI=1:2所以Sa ABR= 2Sx7