一元二次方程解法教案及练习(含答案)

1、4.1 一元二次方程目标导航：知识要点：i、一元二次方程的概念和一般形式.只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式 .任何一个关于x的一元二次方程都可以化成 ax2 + bx+c= 0 (a、b、c是常数，a *0)这种形式叫做一元二2次方程的一般形式，其中 ax、bx、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数。学习要点：1、了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。2、正确理解和掌握一般形式中的aw0 ,项”和 系数”。基础巩固题1、将方程3x(x -1) = 5( x + 2)化成一元二次

2、方程的一般形式，得；其中二次项系数是; 一次项系数是 ;常数项是 .22、已知关于x的一元二次方程(m+1)x +2x-1 = 0,则m应满足 .；3、一元二次方程：2x2+(k+8)x-(2k-3)=0的各项系数之和为 5,则k =.4、下列方程中，是一元二次方程的是 ()4 2x2 -7 =3y 1R 5x2 -6y -2=0AB7 _ £x2C 3 x _ 2 xD ax2 (b 一 3)x c 5 = 0225 一元二次方程(3x-1 ) (2x+2) = x +1化为一般形式 ax bx c = 0 (aw0)后，a、b、c的值分别为 ( )A. 6, 4, 3 B. 6,

3、 -4, -3 C. 5, 4, -3 D. 5, -4, 33 2x 2a = 06,已知2是关于x的方程2的一个解，则2a-1的值是 （）A. 3B. 4C. 5D. 67、若方程(m 1)x2 + v mx= 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是()A.mw1 B. m> 0 C.m>0 且 mw1 D. m 为任意实数8、如果关于x的一元二次方程(m-2) x2+3x+m2-4=0有一个解是0,求m的值。9、如果方程ax2+bx-6=0与方程ax2+2bx-15=0有一个公共解是 3,求a、b的值。m “110、方程（m+1）x+（m-3）x-1=0；（1）m取何值

4、时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2） m取何值时是一元一次方程；思维拓展题11、当m 时，方程（m2 -1X2 _mx+5 = 0不是一元二次方程。12、用换元法解方程（x2+x）2+（x2 + x） = 6时，如果设x2+x = y,那么原方程可变形为（）A、y2+y 6=0B、y2 y 6= 0C、y?y+6=0D、y?+y+6 = 013、方程：（m-5）（m-3）x m-2+（m-3）x+5=0（1） .m为何值时，此方程为一元二次方程？（2） .m为何值时，此方程为一元一次方程？23214、如果x + x-1=0,那么代数式x + 2x -7的值是多少。中考题型：15.仔细观察

5、下列计算过程：T1 =121,二J=11;同样: 1112 =12321,J12321=111;由此猜想）12345678987654321=。16、（2007湖北武汉）如果 2是一元二次方程 x2=c的一个根，那么常数 c是（）。A、2 B、一 2C、4D、一 4x-35一17、（2007四川成都）已知 x是一元二次方程 x2+3x1 = 0的实数根，那么代数式21x + 2）的3x 6xx2值为答案1、3、-8、-102、m w 13、k = 84、c5、C6、C7、C8、将x = 0代入方程，求出 m = +2 ,然后考虑二次项系数不为0。所以m= -2。，、，一，1， C9、提示：将x

6、= 3代入方程列出关于 a、b的方程组，a=-, b=3。310、m = 1时是一元二次方程，m = 0, m = -1取何值时是一元一次方程。11、m = ±112、A13、m= 4 , m = 514、-615、 11111111116、C117、一34.2 一元二次方程解法(1)目标导航：知识要点：1)方程x2 = a(a )0)的两个根为(2)方程具有(x+ h)2 = k(k为0的形式，就可以运用 求解。学习要点：会用直接开平方法解形如 ax2 =b (aw0,a b >0)的方程；会用直接开平方法解形如 a(x -k)2 =b (aw0,ab>0)的方程；基础

7、巩固题221、万程x -V81 =0的根是 ；方程x2196 = 0的解为。2、方程2(y3)2 =2的解为 _；3、方程x2 6x + 9 =0的解为。4、要到玻璃店配一块面积为1. 21宿的正方形玻璃，那么该玻璃边长为 5、若方程x2 - m = 0有整数根，则 m的值可以是 （只填一个）6、已知2x2 +3x+1的值是10,则代数式4x2 +6x+1的值是7、解方程：3x2+27=0,得 （）Ax=±3 B.x=-3 C.方程无实数根 D方程有无数个实数根8、方程（x-1） 2=4的根是 （）Ax=3,x2- 3 B x1 3,x2- 1 Cx1 5,x2- 5D.x1=5,x

8、2- 329、关于x的一元二次方程(m+1)xm+4x+2 = 0的解为()A.x1=1 ,x2 = -1B.x1=x2=1C.x1= x2=-1D.无解2210、已知m是万程x x1 = 0的一个根，则代数 m m的值等于-()A. 1B.OC.lD.22211、关于x的一兀一次万程（a-1）x +x+a -1=0的一个根是0,则a的值为（）、-1 C2 4x2 -1 = 012、解下列方程：1 x2 -4=0(3) (x+1)2 = 212(4) 1(3x-1)2-8=02(5)(2x -1)2=(3 -x)13、一个长方形操场的面积是7200 m2 ,它的长是宽的2倍，求这个长方形的长和

9、宽。思维拓展题14、已知关于的方程（2k+1） x24kx+ （k1） =0,问：（1） k为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根；（2） k为何值时，此方程是一元二次方程，且不含有一次项？求出这个一元二次方程的根15、右图是一个正方体的展开图，标注了字母 A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式 的值相等，求X的值.自主探究题16、若 a-b+c=0,a w 0,则方程 ax2+bx+c=0 必有一个根是 217、已知a , 3是方程X +2X5 = 0的两个实数根，则 a +3 +2a+2 3的值为走进中考18、（2007重庆）方程（X1f =4的解为 。

10、19、（2007湖南株州）已知X= 1是一兀二次方程222a baX +bX -40 = 0的一个解，且a # b,求的值.2a-2b答案：1、x = ±3 , X = ±142、y = 4 或 23、X = 34、1.1m5、答案不唯一6、197、C8、B9、C10、C11、B12、(1) X = +2 (2) X = ±2 (3) X= V2-1, X = - <2-154(4) x= X = -1 (5) x= X = -23313、解设宽为 xm,长为2xm2x?x= 7200x = ±60 （负的舍去）宽为60m ,长为120m,13，-

11、 一14、(1) k = - , x = -(2) k = 0 , x=±12415、(x 2)2 = 9x = 5, x = -116、-117、1018、x1 = 3 , x2 119、解：把x= 1代入方程，得： a + b = 40,又a #b 22a b(a b)(a _b) a b _所以， =< =20。2a -2b 2(a -b) 24.2 一元二次方程解法(2)目标导航：知识要点：1、二次项系数是1的一元二次方程的配方.2、用配方法解一元二次方程的一般步骤：就是把一个一元二次方程变形为(x+h)2 = k(k >0)型的方程，就可以用直接开平方法求解。学

12、习要点：1的一元二次方程。会用配方法解二次项系数是基础巩固题：2 .1. . x + 5x+=2. x2 x+=c 221/3. x x +=(34. x2+ <12x+=()5. x2-px+=()6、x2 -+2 =(x f。7、已知：x2 + y24x+6y + 13=0,且 x、y 为实数，则 xy=8、已知关于x的方程4x2+4kx+k2=0的一个根是一2,则k=9、已知二次三项式 x2+2mx+4是一个完全平方式，则 m=。10、将方程x2 5x 3=0化成(x+m) 2=n的形式，正确的是()537A. (x- 5) 2=3B. (x2)2=455C. (x - 2 ) 2

13、=3D. (x- 2 ) 2=2811、方程x2+3=4x用配方法解时，应先化成()A、(x-2)2=7;B、(x+2)2=1;C、(x-2)2=1 ;D、(x+2)2=2;12、用配方法解下列方程：，.、2_(1 ) x 5x -3 =02(2 ) x +3x -2=0；(3) x2+10x+10=0(4) x2+2x-3=0(5).x2+4x-12=0(6). y2+2 . 3y-4=013、用配方法解关于 x的方程：x2-2mx=ni- m214、用配方法证明 m28m+20大于0思维拓展题22-15、如果x -2(m+1k+m+5是一个完全平方式则 m=。自主探究题22 l r16、说

14、明：不论x取何值，代数式 x -5x+7的值总大于0。再求出当x取何值时，代数式 x -5x + 7的值最小？最小是多少？走进中考217、(2007四川内江)用配万法解万程x 4x + 2 = 0,下列配万正确的是()A. (x-2)2=2 b. (x+2)2=2 C. (x-2)2 = -2d. (x-2)2=6218、 (2007 北东)解万程：x +4x1=0.答案:252、1, X-1423、194、5、x十二2P x-26、2存-”7、-68、49、±210、B11、C12、略13、x = m + n , x = m- n14、m28m+20= (m-4) 2+42 一.

15、(m-4) > 0,、2 . ( m-4) +4>015、216、x2 -5x+7= (x- 5 ) 2+324 ( x- 5 ) 2>02，U3244523当x= 5时，代数式x -5x +7的值最小，最小是3 .2417、A18、解：配方，得:(x+2) 2=5,解得：x1=-2+ V5, X2=2近4.2 一元二次方程解法（3）目标导航：知识要点：二次项系数不是1的一元二次方程的配方.学习要点：会用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。基础巩固题：.221、x + 8x+= (x+)222、 x + 2x+= (x+)o 3 23 /、23、y - y+=_ ()444

16、、下列用配方法解方程时，有错误的是A. x2 2x99=0化成(x1)2 =1002B. 2t2 -7t -4 =讹成 t 一7=814162o八2 .10C. 3x2 -4x-2=0化成 x- =一、3)9D. m2+8m+9=0化成(m+4)2 =255、用配方法解下列方程时，配方错误的是A x2 +2x99 =0化为(x +1)2 =10022. _C x +6x+9=0化为(x+3) = 156、用配方法解方程： ( )2八，7 281B2x2 7x 4 = 0化为(x )2 = 一416D 3x2 4x 2 = 0化为(x 2)2 = 39(2).-3x2+4x+1=01 2(3)

17、. x 2x -1 = 02221>>(4) . -y -y 2 = 033(5) . 2x2 -4x =0 3(6) .-0.4x2 0.8x 1.2 = 07、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m ?h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h=24t-5t2.经1c 198、已知多项式一x 3x + . 24(1)当x=0、1、2时，分别计算出多项式的值；(2) x取任意值时，此多项式的值是否总是为正数，你能说明其中的道理吗?(3)你知道当x取何值时，多项式的值最小吗？最小值是多少？思维拓展题9、试说明不论 m取何值，关于

18、x的方程(m2 -8m + 17)x2 +2mx + 1 =0都是一元二次方程?(1) .2x2-5x+2=010、能否选取适当的x的值使得代数式 _2x2 +12x-5jT3的值为正？为什么?自主探究题11、已知 a2 +b2 =9ab,且b > a > 0,求 a一b 的值. a - b走进中考12、（2007年甘肃省白银等7市）探究下表中的奥秘，并完成填空:,兀一次方程两个根二次三项式因式分解x2-2x+1=0x1=1 ,x2=1x2-2x+1 =(x-1)(x-1)x2-3x+2=0x1 = 1 ,x2=2x2-3x+2=(x-1 )(x-2)3x2+x-2=02x1=一,

19、 3x2=-13x2+x-2=22、 (x-)3(x+1)2x2+5x+2=01 x1=-2,x2=-22x2+5x+2=2(x+- 2)(x+2)4x2+13x+3=0x1= _x2=_4x2+13x+3=4 (x+_)(x+)将你发现的结论一般化，并写出来.答案:1、 16, 42、1, 13、2y-34、D 5、C 6、略7、24t-5t2=164t=4,t=一58、（1）当 x=0、1、2 时,19 9 34,4,4/、1,、2(2) (x-3) +12(3)当x=3时，多项式的值最小,最小彳1是19、说明 m2-8m+17w010、说明2x2 +12x _5jT3=-2(x-3) 2

20、+18- 5j3<0712 解：填空：1 , 3; 4x2+13x+3=4(x+1)(x+3).44发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2,则ax2+bx+c=a (x- x1)(x-x2).4.2 一元二次方程解法(4)目标导航： 知识要点：一一、二2 ,、2 b±Jb2 4ac 一兀一次万程 ax +bx+c = 0 (a #0),当b 4ac2 0时，它的根 x =,这个公式叫做一兀2a二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法；当b2-4ac<0时，该方程无实数根。学习要点：会用公式法解一元二次方程。基础巩固题1

21、、方程(m+1)x2-2x-1 = 0是一元二次方程，贝U m, 根的判别式 =。2、 方程 2x2 -3x 一4=0 中，a=,b=,c=,b2 -4ac =,方程 的根为x1 =,x 2 =o 23、万程 4x =3(4x3)中，/=,根的情况是 ；,24、用公式法解方程4x -12x=3,得到()_-3-、6_3-6-3-2.33-2 - 3A、2 B、2 C、2 D、225、关于x的万程4x - 2(a-b)x-ab = 0的判别式是()A. 4(a b)2 B. (a b)2 C. (a -b)2 D. (a -b)2 -4ab6、方色(氐 +1 x =(J3x -2 x 十五化简整

22、理后，ax2 +bx+c = 0形式，其中a、b、c分别是()A、2 - .13,1, 2B、.2- .3,1,-、. 2C、石-亚,-3,72D、V3-V2,1,V27、了解一元二次方程根的判别式。 x2+3x+2 = 0 2 x27x = 48、用公式法解下列方程:，一 2(1) 2x2 +x -1 =02(2) x - 2x = 3(3) x(x 6 ) = 6(4) 5x2 _8x 2 = 0(5)x2 (2+“x+Z3 = 09、若关于x的一元二次方程(m-1 )x2+5x+m23m+2 = 0有一个根是0,求m5210、等腰二角形两边之和为10,第二边长是万程 x -2x+1 =

23、0的根，求这个三角形的周长。11、用一块长方形铁片，在它的四个角各自剪去一边长是盖的盒子。已知铁片长是宽的 2倍，做成的盒子的容积是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没 1536cm2,求这个铁片的长和宽。思维拓展题212、解关于 x 的万程 mx (3m - n)x3n = 0(m # 0)自主探究题ab22.一 一 满足 a + abb =0,则b= 走进中考14、(2007四川德阳)阅读材料：设元二次方程ax2 +bx + c = 0的两根为x1 , x2 ,则两根与方程系数之间有，一、一bc 如下关系：Xi +X2 = ，Xi % .根据该材料填空： aa已知x1, x2

24、是方程X2 +6x +3 = 0的两实数根，则 X2 + x1的值为Xi X215、(2007四川乐山)已知x = -1是关于x的方程2x2 + ax a2 = 0的一个根，则a=.答案：1、w -1 , 4m + 82、2, -3, -4 , 41,3+、. 413.41443、0,有两个相等 实数根4、D5、A6、C7、(1) A=1 (2) A=818、略9、m = 210、1111、宽为20 cm,长为40 cm- n12、x = - 一 , x = 3 m13、1 ±<5214、1015、-2 或 14.2 一元二次方程解法(5)目标导航：知识要点：一元二次方程的根的

25、判别式：关于x的一元二次方程 ax2 +bx + c = 0(a=0)的根的判别式是：b2-4ac根的判别式性质是：(1)当b2 4ac>0时，该方程有两个不相等实数根 ；(2)当b2 4ac= 0时，该方程有两个相等实数根；(3)当b2 4ac<0时，该方程没有实数根.学习要点: 利用一元二次方程的根的判别式在不解方程的情况下就能判断一元二次方程根的情况。基础巩固题1、方程3x2 26 + 2 = 0的判别式为 = ,这个方程 实数根。2、若关于x的方程X2 -4x+c=0的判别式 =4,则c=3、若关于x的方程x2 +2x+c =0没有实数根，则c的取值范围为 224、若关于x

26、的万程x (2k1)x + k =0有两个不相等的实数根，则 k的最大整数值为 5、方程x2 -4x+4 =0的根的情况是()A、有两个不相等的实数根B 、有两个实数根C、有一个实数根D、没有实数根6、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()2222A. x +4=0 b . 4x - 4x+1=0 c. x +x+3=0 D. x +2x-1=07、下列方程没有实数根的是() 22A、4(x +2)=3x b 、5(x -1)-x=022C、x -x =100 D 、9x -24x+10=028、右关于x的万程x+2x-k =0有两个相等的实数根，则 k的取值为()A、1

27、 B 、-1 C 、1 D 、-1229、已知a、b、c是A ABC的三条边的长，那么方程cx2+ (a+b) x+c =的根的情况是()。4A、没有实数根B 、有两个相等的实数根C、有两个实数根，但它们不相等D、只有一个实数根10、不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x 2-3x-4=0(2)16y 2+9=24 y(3)5(x 2+1)-7 x=0(4)(2m2 1)x2 - 2mx 1=012、已知方程3x2+kx+12=0有两个等根，且k<0,求方程x2+4x+k=0的解.13、求证：关于y的方程:y 2-(a+2)y+2(a-1)=0一定有两个不相等的实数根。122x Tm

28、 -2)x m =0.14、已知关于x的方4')(1)有两个不相等的实数根，求m的范围；(2)有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根(3)有实数根，求m的最大整数值.思维拓展题215、已知a、b、c为乙ABC的三条边长，求证：关于x的方程：x2 - (a +b)x + C = 0必有两个不相等的实数根。416、当m为何值时，关于x的方程(2m+1)x2 +2m -3 = 4mx(1)有两个实数根？(2)有实数根？自主探究题317、已知 a、b、C是 ABC的三条边，方程(b+c)x2 + J2(ac)x8(ac) = 04有两个相等的实数根，试判断ABC的形状。418、如图，

29、在 RHABC中，AB=BC=12cm点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终 保持DE/ BC, DF/ AC,问点D出发几秒后四边形 DFEC勺面积为20cm2走进中考17、(2007安徽泸州)若关于 z的一元二次方程x2. - 2x + m =0没有实数根，则实数 m的取值范围是()A. m<l B. m>-1 C. m>l D. m<-118、(2007湖北荆门)下列方程中有实数根的是()xxxx 1(A) x2+2x+3= 0(B) x2+1=0(C) x2+3x+1 = 0(D)=x -1 x-119、(2007湖南怀化)已知方程

30、x2 -3x+k =0有两个相等的实数根，则 k=答案：1、0,有两个相等实数根2、33、C >14、05、B6、D7、A8、D9、略10、由> 0 得 k 211、由4 =0得k = ±12 ,因为k y 0所以k =-12。代入解出x= 2或-612、由4 = (a-2 ) 2+8得出> 013、 = (a+b+c) (a+b-c)因为 a+b+c > 0 a+b-c > 0所以 > 0即方程有两个不相等的实数根。14、(1)m>-且 m-,(2) m >- -42415、等腰三角形16、点D出发1秒或5秒后四边形 DFEC勺面积为

31、20cnf17、C18、C919、一44.2 一元二次方程解法(6)目标导航：知识要点：用因式分解法解一元二次方程时，把原方程一定化为左边是两个整式的积，右边是0的等式。学习要点：会用因式分解法(提公因式法、公式法)解一元二次方程。基础巩固题1、方程x2+2x=0的解为 ;2、已知y=x2-2x-3 ,当x=时，y的值是-3。3、方程3x2=x的解是。4、方程(x 3)(x +1) = 0的较小根的的倒数是 5、方程(2 + J3)x2 = x的解是6、观察下列各式：请你将猜想到的规律用自然数n(n之1)表示出来。7、方程(x+3) (x 3) =0的根的情况是(A、无实数卞B、有两个不相等的

32、实数根C、两根互为侄数D两根互为相反数8、用换元法解方程(x 2+x) 2+(x2+x) =6时,A、y2+y 6=0 B 、y2-y- 6=0 C2_11=12一 2一一一22=23323=34)如果设x2+x=y,原方程可变形为()、y2-y+6=0D y2+ y+6=09、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是 ()A、(x+1) (x-3 ) =2 B 、2 (x-2 ) 2=x2-4C、x2+3x-1=0D 、5 (2-x ) 2=310、已知x、y是实数，若xy=0,则下列说法正确的是()(A) x一定是0(B) y一定是0(C) x = 0 或 y = 0(D) x = 0且

33、 y = 02211、关于x的一元二次方程(a 1)x2+x+a2 1 =0的一个根是0,则a的值为 ()一一八_1A.1B. lC. 1 或一1 D. 一212、关于x的方程ax(x -b) -(b -x) =0的解为11A. a,b B. ,b C. -,b D.a,-baa13、方程(3x+1)(x1) = (4x1)(x1)的解是()Ax1-1,x2- 0 Bx1-1,x2 -2 Cx1- 2,x2-1D无解14、解下列方程：(1) (1-x) 2- 9=0(2) x (x-3 ) + 4 (3-x) =0(3) (x+4)2 =5(x+4)(4) (x+3)2 =(1-2x)2(5) x24x+4=0(2x-5)2 -(x+4)2 =0(6) (x + 2)2 10(x+2)+25=02(8) 2 (2x-3) 3 (2x-3) =0思维拓展题15、利用因式分解思想解下列问题：(1)写出一个一元二次方程，使这个方程一个根为 1,另一个根是2的一元二次方程为： (2)写出一个根为-2,另一个根x满