二次函数压轴题最短路径问题

1、学习必备欢迎下载最短路径问题和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）.十PB最小.如图所示，在直线l上找一点P使得PA+PB最小.当点P为直线AB与直线l的交点时，PAP , B'【方法归纳】如图所示，在直线l上找一点B使得线段AB最小.过点A作AB±l,垂足为B,则线段AB即为所求.如图所示，在直线l上找一点P使得PA+ PB最小.过点B作关于直线l的对称点B', BB与直线l交于点P,此时PA+PB最小，则点P即为所求.如图所示,BO的对称点 为所求.B耳P .B'在/ AOB的边

2、AO, BO上分别找一点 C, D使得PC+ CD+ PD最小.过点P分别作关于 AO,E, F,连接EF,并与AO, BO分别交于点 C, D,止匕时PC + CD + PD最小，则点C, D即如图所示，在/AO, BO的对称点 F即为所求.AOB的边AO , BO上分别找一点 E, F使得DE+EF十CF最小.分别过点 C,D； C',连接DC',并与AO, BO分别交于点E, F,止匕时DE+ EF + CF最小,D作关于则点E,D'%，CF .C'如图所示，长度不变的线段 CD在直线l上运动，在直线l上找到使得AC+BD最小的CD的位置.分别 过点A,

3、D作AA'/ CD, DA 7/ AC, AA与DA交于点A；再作点B关于直线l的对称点B',连接AB'与直 线l交于点D',此时点D'即为所求.如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线(y=1x2)上的一点，点A (0, 1)在y轴正半轴.点P4在什么位置时PA + PB最小？过点B作直线l: y=- 1的垂线段BH', BH与抛物线交于点 P；止匕时PA+PB 最小，则点P即为所求.1.(13广东)已知二次函数 y= x2- 2mx+ m2 1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点 O (0, 0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m =

4、 2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点 P,使得PC + PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由.(1)由二次函数的图象经过坐标原点 O (0, 0),直接代入求出(2)把m = 2代入求出二次函数解析式，令 x=0,求出y的值, 公式求出顶点坐标即可；(3)根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出令y=0,求出x的值，即可得出P点的坐标.【解题过程】m的值即可；得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标PC+ PD最短，求出CD的直线解析式,(2)(3);二次函数的图象经过坐标原点O (0,

5、0),二代入二次函数 y= x2 2mx+ m2 1,得出：m2 1 = 0,解得：m=±1,;二次函数的解析式为：y= x22x或y=x2 +2x;m = 2, 二二次函数 y=x2- 2mx+ m2 1 得：y=x2-4x + 3= (x2) 2- 1 , :抛物线的顶点为：D (2, 1),当 x=0 时，y=3, ： C 点坐标为：(0, 3), C (0, 3)、D (2, 1);当P、C、D共线时PC+PD最短，【方法一】. C (0, 3)、D (2, 1),设直线CD的解析式为y= kx+ 3,代入得：2k+ 3=- 1,:k= - 2,y= - 2x+ 3,当 y=

6、0 时，2x+3 = 0,解得 x=|,PC+PD 最短时,P点的坐标为：P (1, 0).【方法二】过点D作DEy轴于点E,PO=4,解得：po=3.PC+ PD最短时,3P点的坐标为：P (2, 0).2.(11荷泽)如图，抛物线(1)求抛物线的解析式及顶点y=2x2+bx 2与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点，且A ( 1, 0).D的坐标；(2)判断 ABC的形状，证明你的结论；(3)点M (m, 0)是x轴上的一个动点，当 MC + MD的值最小时，求 m的值.【思路点拨】(1)把点A的坐标代入求出b的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D的坐标；(2)观察发现 A

7、BC是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明.由抛物线的解析式，分别求出点B,C的坐标，再得出AB, AC, BC的长度，易得AC2+BC2 = AB2,得出 ABC是直角三角形；(3)作出点C关于x轴的对称点C；连接C'D交x轴于点M,根据“两点之间，线段最短”可知MC +MD的值最小.求出直线 C'D的解析式，即可得出点 M的坐标，进而求出 m的值.【解题过程】1 c13解：(1) .,点 A ( 1, 0)在抛物线 y = 2x2+bx- 2 上，：2x ( 1 ) 2+bx ( 1) 2 = 0,解彳导 b=-2,:抛物线的解析式为y=?2%一2=； (x。)2顶点D

8、的坐标为 ("I，-，). 2222828(2)当 x=0 时 y=2, ： C (0, 2), OC = 2.当 y=0 时，2x2 3x2=0, ：x1=T, x2 = 4,B (4, 0), ：OA=1, OB=4, AB = 5. AB2= 25, AC2 = OA2+OC2= 5, BC2= OC2 + OB2=20, ： AC2+ BC2=AB2.ABC是直角三角形.(3)作出点C关于x轴的对称点C；则C'(0, 2), OC'=2, 连接CD交x轴于点M ,根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小.【方法一】、，41c-y=-y2x+2

9、.h= 2设直线CD的解析式为y=kx+ n,则'3k十n_ 25，解得:412424:当 y=0 时，一谈十2=0, x = 41.m=41-【方法二】设抛物线的对称轴交x轴于点E. ED/ y 轴，OM OC'=' EM ED 5：/ OC'M = /EDM , /COM = /DEM, . .A COMA DEM .,m2.24一 3=更 一 m41 2m -83. (11福州)已知，如图，二次函数 y=ax2+2ax 3a (a，。图象的顶点为 H,与x轴交于A、B两点(B 在A点右侧)，点H、B关于直线1： y=y3x+J3对称.3于C点，得AC=2A

10、B=2,利用勾股定理求出 HC的长，即可得出点 H的坐标，代入二次函数解析式，求 出a,即可得到二次函数解析式；(3)直线BK/AH易得直线BK的解析式，联立直线1的解析式方程组，即可求出 K的坐标.因为点 H, B关于直线AK对称，所以HN = BN,所以根据“两点之间，线段最短”得出HN+MN的最小值是MB .作点K关于直线AH的对称点Q ,连接QK,交直线AH于E,所以QM = KM ,易得BM十MK的最小值为BQ , 即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，求出 QB的长即可.【解题过程】解：(1)依题意，得 ax2 + 2ax 3a=0 (a，。，解得 x1 = 3, x2=1,.B点

11、在A点右侧，：A点坐标为(-3, 0), B点坐标为(1, 0),;直线 1 ： y=W3x + V3,当 x=-3 时，y = 3>< 3) + V3 = 0, .点 A 在直线 1 上.(2) 丁点H、B关于过A点的直线1： 丫=十寸3对称，：AH = AB = 4,过顶点 H 作 HCLAB 交 AB 于 C 点，则 AC=2AB = 2, HC = 2V3,:顶点H (1, 25)，代入二次函数解析式，解得 a=喙，(1)求A、B两点坐标，并证明点 A在直线1上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK / AH交直线1于K点，M、N分别为直线AH和直线1上的两个动点

12、，连接 HN、 NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.【思路点拨】(1)二次函数 y=ax:二次函数解析式为y=-率x2 J3x+ 乎，(3)直线AH的解析式为y=q3x + 3y3,直线BK的解析式为y=3x+373,+2ax 3a(a中只有一个未知参数 a,令y=0,解出方程ax2+2ax 3a = 0 (a，。，即可得到点A, B的坐标.把点A的坐标代入直线1的解析式即可判断 A是否在直线上；(2)根据点H、B关于过A点的直线1： y=x + J3对称，得出AH = AB=4,过顶点H作HCLAB交AB 3.点H、B关于直线 AK对称,，即 K (3, 23),贝U BK=4,：HN

13、+MN 的最小值是 MB, KD=KE = 23,过点K作直线AH的对称点 Q,连接QK,交直线AH于E,则QM= MK , QE = EK = 23, AE± QK, BM + MK的最小值是 BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值， BK / AH ,BKQ = /HEQ=90° ,由勾股定理得 QB = 8,HN+ NM + MK的最小值为 8 .4. (14海南)如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A( - 1, 0), C (0, 5)两点，与x轴另一交点为B.已 知M (0, 1), E (a, 0), F (a+1, 0),点P是第一象限内的抛物线上的动点

14、.(1)求此抛物线的解析式；(2)当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点 P的坐标；(3)若 PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求 a为何值时，四边形 PMEF周长最小？请说明理由.【思路点拨】(1)由对称轴为直线x=2,可以得出顶点横坐标为 2,设二次函数的解析式为 y = a (x-2) 2+k,再把点A, B的代入即可求出抛物线的解析式；(2)求四边形MEFP的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP面积.直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点 P作PNy轴于点N,由S四邮 MEFP = S梯形OFPN SaPMN SaOME 即可彳导出；(3)四边形PMEF的四条边中，

15、线段 PM, EF长度固定，当ME + PF取最小值时，四边形 PMEF的周长取得最小值.将点 M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得到点M1 (1, 1),作点M1关于x轴的对称 点M2(1, 1),连接PM2,与x轴交于F点，此时 ME + PF=PM2最小.【解题过程】解：(1) ;对称轴为直线x=2,：设抛物线解析式为y=a (x-2) 2十k.将A (1, 0), C (0, 5)代入得：产十"0,解得，好丁 4a+k=5k= 9Jx2+ 4x+5),y=- (x2) 2 + 9=- x2 + 4x+5.(2)当 a= 1 时，E (1 , 0) , F (2, 0),

16、OE=1, OF =2.设 P (x,如答图2,过点P作PNy轴于点N,则PN = x, ON = x2+4x+5, MN = ON-OM=- x2+ 4x+ 4 .,ccc111S 四边形 mefp= S梯形 ofpn S1pmn - Saome =2 (PN+ OF)?ON - PN?MN - 2OM ?OE11 o .1.=2( x+ 2) (一 x + 4x+ 5) - 2x?( x + 4x+ 4) - 2X1X1-x2+9xW(x-9)2十臂:当x=9时，四边形MEFP的面积有最大值为 K3,止匕时点P坐标为(9, 153).416416(3) M (0, 1) , C (0, 5

17、), 4PCM是以点P为顶点的等腰三角形，：点P的纵坐标为3.令y= x2+4x+ 5=3,解得x = 2±46.;.点P在第一象限，：P (2十寸6, 3).四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME + PF最小，则PMEF的周长将取得最小值.如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得Mi (1, 1);作点M1关于x轴的对称点M2,则M2 (1, 1);连接PM2,与x轴交于F点，止匕时ME+PF=PM2最小.设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P (2+m,3), M2 (1, 1)代入得：(2+班)m+n = 3,解得：m=W240=山，”心x

18、 心.m+n=- 15'5''5'、5当yy时，解得x = £,F (%，0)a+仁勺，/餐.4444:a= *丁 1时，四边形PMEF周长最小.4图1图2122. (14福州)如图，抛物线 y=2(xd) 与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, 顶点为D 了.(1)求点A, B, D的坐标；(2)连接CD,过原点。作OELCD,垂足为H, OE与抛物线的对称轴交于点 E,连接AE, AD.求证： /AEO=/ ADC;(3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作OE的切线，切点为Q,当P

19、Q的长最小时，求点 P的坐标，并直接写出点 Q的坐标.【思路点拨】(1)由顶点式直接得出点 D的坐标，再令y=0,得2(x3)2T=0解出方程，即可得出点 A, B的坐标;(2)设HD与AE相交于点F,可以发现 HEF与 ADF组成一个“ 8字型”.对顶角/ HFE=/AFD,只 要/FHE = /FAD即可.因为/ EHF = 90° ,只需证明/ EAD = 900即可.由勾股定理的逆定理即可得出 ADE为直角三角形，得/ FHE=/FAD=90°即可得出结论；(3)先画出图形.因为 PQ为。E的切线，所以 PEQ为直角三角形，半径 EQ长度不变，当斜边 PE最 小时，

20、PQ的长度最小.设出点 P的坐标，然后表示出 PE,求出PE的最小值，得到点 P的坐标，再求出点Q的坐标即可.【解题过程】1C解：（1）顶点D的坐标为（3,）.令y=0,得2（x二）2/=0,解得xi=3十平,X2=3f/2.点A在点B的左侧，：A点坐标（32, 0）, B点坐标（3旬2, 0）.（2）过D作DG，y轴，垂足为G.则G （0,/），GD = 3.令x=0,则y=2，：C点坐标为（0, ：）.GC = 2_(-1) = 9.设对称轴交 x 轴于点 M. OEXCD , ./ GCD + Z COH = 90攵./MOE + /COH=90 ; ： / MOE = /GCD.又/

21、CGD = /OMN =90 °, ; A DCGA EOM .9CG-=吧,即 2=-3-. ：EM=2,即点 E 坐标为(3, 2), ED = 3. OM EM 3 EM由勾股定理，得 AE2=6, AD2= 3, AE2+ AD2= 6 + 3=9= ED2.： AED是直角三角形，即/ DAE = 90 =!设 AE 交 CD 于点 F. ADC + Z AFD=90 °,又AEO+Z HFE=90°,：/ AFD = / HFE, ： / AEO=/ADC .(3)由。E的半径为1,根据勾股定理，得 PQ2=EP2- 1 .要使切线长PQ最小，只需EP

22、长最小，即EP2最小.设P坐标为(x, v),由勾股定理，得 EP2=(x-3)2+(y-2)2.1. y=2(x-3)2- 1, ：(x3)2= 2y+ 2 .EP2= 2y+ 2+ y2- 4y+ 4 = (y 1)2+5.11 C当 y=1 时，EP?取小值为 5.把 y= 1 代入 y=2(x 3)2- 1,得2(x3)?3 = 1,解得 x1=1, x2=5.又二点P在对称轴右侧的抛物线上，：刈=1舍去.：点P坐标为（5, 1）. 19 13此时Q点坐标为（3, 1）或（3，）.6. (14遂宁)已知：直线l： y=-2,抛物线y=ax11c(2)如图，设 P (a, 4a2 1),

23、就有 OE = a, PE = ：a2 1, PQL , ： EQ= 2, . QP =#十 1.在 RtPOE 中，由勾股定理，得 PO = Ja2+(4a2-1)2= 4a2+ 1, ： PO = PQ;(3) (i)如图，- BN ±l, AM ±l , ：BN=BO, AM=AO, BN / AM ,：/ BNO = / BON, /AOM = /AMO, Z ABN+Z BAM = 180° .,/ BNO + Z BON+Z NBO= 180°, / AOM + / AMO + / OAM= 180°, BNO + Z BON+Z

24、NBO+Z AOM + / AMO + / OAM =360° , ; 2 / BON + 2/AOM = 180°,Z BON + Z AOM = 90° , ： / MON = 90°, ：ON，OM;(ii)如图，作 F'Hl于H, DFl于G,交抛物线与 F,作FEXDG于E,+bx+ c的对称轴是y轴，且经过点(0, 7),(2, 0).(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上任意一点，过点 P作直线l的垂线，垂足为 Q,求证：PO = PQ.(3)请你参考(2)中结论解决下列问题：(i)如图，过原点作任意直线 AB,交抛物

25、线y=ax2 + bx + c于点A、B,分别过A、B两点作直线l的垂 线，垂足分别是点 M、N,连结ON、OM,求证：ONLOM.(ii)已知：如图，点 D (1, 1),试探究在该抛物线上是否存在点F,使得FD + FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)因为抛物线的对称轴是 y轴，所以b=0,再代入点(0, - 1), (2, 0)即可求出抛物线的解析式；(2)由(1)设出P的坐标，分别表示出 PE, PQ的长度，即可得出结论；(3) (i)因为 BN/AM,所以/ ABN + Z BAM= 180° .由(2)的结论可得 BO=BN,

26、AO=AM,可得出/BON = / BNO,/ AOM = / AMO ,易得/BON+/AOM = 90 ° 再得到/ MON =90° 即可;(ii)如图，作 FH，l于H, DF，l于G,交抛物线与F,作F'EDG于E,由(2)的结论根据矩形的性质可以得出结论.【解题过程】-=0一 . 一 2a. 一解：(1)由题息，得£,解得:-1 = ci.0=4a+2b+c1r 1卜4b= 0c= 1:抛物线的解析式为:y=4x2T；：/ EGH = /GHF'= /F'EG=90°, FO=FG, F'H = F'O

27、,:四边形 GHF E 是矩形，FO+FD = FG+FD=DG,F'O+F'D=F'H + F'D, ：EG=F'H, ：DE<DF',：DE + GE< HF'+ DF', ： DG < F 0+ DF： FO + FD < F O + DF：F 是所求作的点.5. D (1, 1),F 的横坐标为 1, F (1, 5).【举一反三】1. (12滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ bx+c经过A(-2, -4), O (0, 0), B (2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2 + b

28、x + c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值.1 22. （13成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 2x + bx+c （b, c为常数）的顶点为 P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0,1）, C的坐标为（4, 3）,直角顶点B在第四象限.（1）如图，若该抛物线过 A, B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P在直线AC上滑动，且与 AC交于另一点Q.（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以 M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N

29、,连接NP, BQ.试探究 PQ 是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存NP+ BQ在，请说明理由.3. (11眉山)如图，在直角坐标系中，已知点 A (0, 1), B (-4, 4),将点B绕点A顺时针方向90°得到 点C;顶点在坐标原点的抛物线经过点B .(1)求抛物线的解析式和点 C的坐标；(2)抛物线上一动点 P,设点P到x轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,试说明d2 = d1+1;(3)在(2)的条件下，请探究当点 P位于何处时， PAC的周长有最小值，并求出 PAC的周长的最小值.【参考答案】1 .解：(1)把 A ( 2,4),O(0,0), B(2,0)

30、三点的坐标代入y=ax2+ bx+c 中，得Za2b+c=411/4a+2b+c= 0 ,解得 a= 2, b= 1, c= 0,二解析式为 y= 2x2+x.jc= 0(2)由 y= 2x2+x= 2 (x 1) 2+2,可得抛物线的对称轴为 x= 1 ,并且对称轴垂直平分线段 OB, ： OM=BM, .OM +AM = BM+AM,连接 AB交直线x=1于M点，则此时 OM+AM最小， 过点A作ANx轴于点 N,在RtAABN中，AB=4AN2+BN2 = 142+42=4卷, OM+AM最小值为4yp .2.解：(1)二.等腰直角三角形 ABC的顶点A的坐标为(0, 1), C的坐标为

31、(4, 3), :点B的坐标为(4, 1). .抛物线过 A (0, 1), B (4, 1)两点，c= - 1 L1x 16+4b+ c=-1,解得：b = 2, C=T，、一 2:抛物线的函数表达式为：y= - 2x2+ 2x- 1 .(2) (i) A (0, 1), C (4, 3),：直线 AC 的解析式为：y=x-1 .设平移前抛物线的顶点为 P。，则由(1)可得P0的坐标为(2, 1),且P0在直线AC上. 丁点P在直线AC上滑动，：可设 P的坐标为(m, m-1),则平移后抛物线的函数表达式为：y=-1 (x-m) 2+ m-1.解方程组:x1 = m：x2=m 2y1 = m

32、i 1'% = m 3''y = x 112 一 八，解得，y=-2(x-m)2 + (m-1)P (m, mi 1), Q (m 2, m3).过点P作PE / x轴，过点Q作QF / y轴，贝UPE = m (m 2) =2, QF= ( m-1) ( m3) =2. PQ=2V2 = AP0.若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： 当PQ为直角边时：点 M到PQ的距离为2寸2 (即为PQ的长).由 A (0, 1), B (4, 1) , Po (2, 1)可知， ABPo为等腰直角三角形，且 BPo±AC, BPo = 2V2.如答图1,过点B作直线l1 /AC,交抛物线y=-2x2+ 2x-1于点M,则M为符合条件的点.;可设直线li的解析式为：y=x+bi, B (4, 一 1) , ： - 1 =4十bi,解得b= = -5,:直线11的解析式为:y=x 5.解方程组fy=X-5皿 xi=4|-2!y=-2x2+2x-r 胃. >i = 1' y2= 一7'M1 (4, 1) , M2 (2, 7).当PQ为斜边时：MP = MQ = 2,可求得点M至I PQ的距离为2 如答图2,取AB的中点F,则点F的坐标为(2, 1).由 A (0, - 1), F (