二次函数y=ax^2的图象与性质优秀教案

1、二次函数y=ax2的图象与性质【课时安排】2 课时【第一课时】【教学目标】（一）教学知识点1,能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。2.猜想并能作出y=x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同。（二）能力训练要求1 .经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的 经验。2,由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y= x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维。（三）情感与价值观要求1通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。2在利用图象讨论

2、二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质。【教学重点】1 .能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数 y=x2的性 质。2,能够作出二次函数y= x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同。【教学难点】经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。并把这种经验运用于研究二次函数 y二 x2的图象与性质方面，实现“探索 一一经验一一 运用”的思维过程。【教学方法】探索一一总结一一运用法【教学过程】 一、创设问题情境，引入新课师：我们在学习了正比例函数，一次函数与反

3、比例函数的定义后，研究了它们各自的图象 特征。知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一 条直线，反比例函数的图象是两条双曲线。上节课我们学习了二次函数的一般形式为y =ax2+bx+c （其中a, b, c是常数且a*0 ,那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我 们将一起来研究有关问题。二、新课讲解（一）作函数y = x2的图象。师：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二 次函数y=x2。大家还记得画函数图象的一般步骤吗？生：记得，是列表，描点，连线。师：非常正确，下面就请大家按上面的步骤作出 y=x2的图象。生：1.

4、列表:x-3-2-10123y94101492.在直角坐标系中描点3.用光滑的，曲线连接各点，便得到函数 y=x2的图象 师：画得非常漂亮。（二）议一议展示例题：对于二次函数y = x2的图象：1 .你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流。2 .图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？3 .当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？4 .当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？5 .图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴 进行交流。生：1.图象的形状是一条曲线。就像抛出的物体所行进的路线的倒影。6 .图象与x轴

5、有交点，交于原点，交点坐标是（0, 0）。7 .当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象 在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。8 .观察图象可知，当x=0时，y的值最小，最小值是0。9 .由图可知，图象是轴对称图形，它的对称轴是 y轴，从刚才的列表中可找到对应点（一1, 1）和（1, 1） ;（2,4）和（2,4）; （3,9）和（3,9）。师：大家的分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下。（三）y=x2的图象的性质。师：从图象来看抛物线的开口方向向上。下面请大家讨论之后系统地总结出 y = x2的图象的所有性质。生：1 .抛物线的

6、开口方向是向上。2 .它的图象有最低点，最低点坐标是（0, 0）。3 .它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的 右侧，y随x的增大而增大。4 .图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0, 0）x = 0时，y最小=0。5 .因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 （四）做一做。展示例题:二次函数y二 x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象。它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。师：请大家按照画图象的步骤作出函数 y= x2的图象。生：y=x2的图象如右图：形状还是抛物线，

7、只是它的开口方向向下，它与y=x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看成是关于 x轴对称x2的图象的性质。生:1 .它的开口方向向下。2 .它的图象有最高点，最高点坐标为（0, 0）。3 .它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右 侧y随x的增大而减小。4 .图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为（0, 0）5 .因为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x=0时，y最大=0。师：大家总结得非常棒。（五）函数y=x2与y= x2的图象的比较。我们分别作出函数y=x2与y= x2的图象，并对图象的性质作系统的研究。现在我们再来 比

8、较一下它们图象的异同点。展小:不同点：1.开口方向不同，y=x2开口向上，y=x2开口向下。2,函数值随自变量增大的变化趋势不同，在 y=x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。在y= x2的图象中正好相反。0时,3 .在y=x2中y有最小值，即x=0时。y最小=0,在y=x2中y有最大值。即当x y最大=0。4 . y=x2有最低点，y=x2有最高点。相同点：1 .图象都是抛物线。2 .图象都与x轴交于点（0, 0）。3 .图象都关于y轴对称。联系：它们的图象关于x轴对称。三、课堂练习y=x2与 y= x2的图象。（一）在同一直角坐标系中画出函数 （二

9、）下列函数中是二次函数的是（A.B.C.y=2+5x22y»2y=3x(x+5)D.y= 3x2 2x 5（三）分别说出抛物线y=4x2与y=1x2的开口方向，对称轴与顶点坐标4四、课时小结（一）本节课我们学习了如下内容：1.画函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总结。2,画函数y= x2的图象，并研究其性质。3.比较y = x2与y= x2的图象的异同点及联系。【第二课时】【教学目标】（一）教学知识点。1,能作出y=ax2的图象。并研究它们的性质。2.比较y=ax2与y=x2的异同。理解a对二次函数图象的影响 （二）能力训练要求。1 .经历'探索二次函数y=ax2的图象的

10、作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。2.通过比较y=ax2与y=x2的图象和性质的比较。培养学生的比较、鉴别能力。（三）情感与价值观要求。1由“刹车距离”与二次函数的关系。体会二次函数是某些实际问题的数学模型。2由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。【教学重点】1,能作出y = ax2的图象，并能够比较它们与y=x2的异同，理解a对二次函数图象的影 响。2,能说出y = ax2图象的开口方向；对称轴和顶点坐标。【教学难点】能作出函数y = ax2的图象，并总结其性质，还能和 y=x2作比较。【教学方法】类比学习法。【教学过程】一

11、、创设问题情境，引入新课师:在前两节课我们学习了二次函数的定义，会画函数y = x2与y=x2的图象，知道它们的图象是抛物线，并且还研究了抛物线的有关性质。与图象x 轴是否有交点，交点坐标是什么？ y 随 x 的增大而如何变化。抛物线是否为轴对称图形等。那么二次函数是否只有y = x2与y= x2这两种呢？本节课我们继续学习其他形式的二次函数。二、新课讲解（一）刹车距离与二次函数的关系。师：大家知道两辆车在行驶时为什么要保持一定距离吗？生：怕发生“迫尾”事故。师：汽车刹车时向前滑行的距离与什么因素有关呢？生：与汽车行驶的速度有关系。师：究竟与什么有关，关系有多大呢？展示：影响刹车距离的最主要因

12、素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v (km/h)的汽车的刹车距离s (m)可以由公式s=，v2确定,100雨天行驶时，这一公式为s= V2050师：引刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗？生：根据二次函数的定义可知，它们都是二次函数。师：与上节课中学习的二次函数 丫=乂2和y= x2有什么不同吗？生：y= x2中的a为1。s= -v2 中的 a 为 1。100100所以它们的不同之处在于a的取值不同。师：很好。既然s=，v2和s=2v2与y=x2, y= x2它都是二次函数，且都是只含二次项的二次函 10050数，所以它们有相同之处；又因为它们

13、中的 a值的不同。所以它们肯定还有不同之处。比如在y = x2中自变量x可以取正数或负数，在s=v2中，因为v是速度，能否取负值呢？由 100实际情况可知，不可以取负值。下图是s='v2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标100系内作出函数s=Lv2的图象。5020 40 60 80 100 120(二)比较s=v2ffi s=1V2的图象。10050师：从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同?生：(1)它们都是抛物线的一部分(2)二者都位于s轴的右侧。(3)函数值都随v值的增大而增大。2.不同点：(1) s=1v2的图象在s=Lv2的图象的内侧。50

14、100(2) $=1丫2的$比$=，v2中的S增长速度快。50100师：如果行车速度是60km/h,那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？生：已知v=60km/h。分别代入s=1丫2与$=丫2中。相应地求出各自的刹车距离,50100再求它们的差，即 S1= >602=72, S2= 1 >602 = 36.则 s1一 S2 = 7236 = 36 ( m)。50100所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36m。(三)做一做。展示例题：1.作二次函数y= 2x2的图象。(1)完成下表：x2x2(2)在下图中作出y = 2x2的图象。(3)二次函数y

15、= 2x2的图象是什么形状？它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?生：(1)略。(2)如图（3）二次函数y=2x2的图象是抛物线。它与二次函数y = x2的图象的相同点：开口方向相同，都向上。对称轴都是y轴。顶点都是原点，坐标为（0, 0）。在y轴左侧，都是y值随x值的增大而减小；在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大。都有最低点，即原点。函数都有最小值。不同点：y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧。y=2x2中函数值的增长速度较快。（四）议一议。展示例题：1 .在同一直角坐标系内作出函数y= 2x2与y= x2的图象。并比较它们的性质。2 .由上可得出什么？生：1.图象如下：比较性质如下：相同点：开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是原点。不同点：开口程度不同，x2的系数越大，抛物线的开口越大。3 .总结：函数y=ax2 （aw。的图象和性质。一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶 点是抛物线的最低点，a越大抛物线开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线 的最高点，a越大抛物线开口越大。忸越大，开口越小。三、课堂练习画出函数丫=1乂2与丫= 2x2的图象。（在同一直角坐标系内）并比较它们的性质。 2分析：画函数图象的步骤有列表、描点、连线解：