一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)

1、精心整理一元二次方程根与系数的关系习题、单项选择题:1 .关于x的方程ax2 2x+1 =0中，如果a<0,那么根的情况是（B）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2 .设x1，x2是方程2x2-6x+3 =0的两根，则x12+x22的值是（C）(A) 15 (B) 12 (0 6 (D)33,下列方程中，有两个相等的实数根的是(B)(A) 2y2+5=6y (B) x2+5=2x (0 x2-x+2=0 ( D) 3x2- 2x+1=0次方程是（B）4 .以方程x?+ 2x3 = 0的两个根的和与积为两根的(A) y2+5y6=0 (B) y

2、2+5y+6=0 (Q y2-5y+6=0 (D) y2-5y-6=05 .如果Xi,x2是两个不相等实数，且满足Xi2-2Xi=1,x22-2x2=1 ，那么Xi”2等于(D)(A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) - 1二、填空题：1、如果次方程x2+4x + k2 = 0有两个相等的实数根，那么k = ±2。精心整理2、如果关于x的方程2x2 -（4k+1）x+2k21=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是3、已知 x1,x2是方程2x2-7x+4=0 的两根，则x1+x2= 7 ,x1x2 = 2 ,(x1-x2)2 =2-4、若关于x的方程（m2 2）x2 -（

3、m-2）x+1 =0的两个根互为倒数，则 m =5、当m = ±4时，方程x2 +mx+4 = 0有两个相等的实数根;当m <4且mo0时，方程mx2 +4x+1 = 0有两个不相等的实数根;6、已知关于x的方程10x2 -（m+3）x+ m -7 =0 ,若有一个根为0,则m = 7,这时方程的另一个根8是1;右两根之和为一，则 m = -9,这时方程的两个根为x1 =-，x2 =1 50x1皿:原方程两根之和为由，得:10m -7 G, m 3 a +b -1010m = 7 m = -9精心整理将m =7代入，得：.原方程可化为：5x2+3x8 = 07、如果x2 2(m

4、+1)x+m2+5是一个完全平方式，则 m = 2;8、方程2x(mx _4) = x2 6没有实数根，则最小的整数 m =2_;9、已知方程2(x1)(x3m) =x(m 4)两根的和与两根的积相等，则 m = 2;10、设关于x的方程x2 -6x +k =0的两根是m和n ,且3m+2n = 20,则k值为-16;解：: m、n是方程的两根 将m =8代入 ，得:m m +n =6 n = -24 mn = k®4m = 8, n = -2代入，得： f " " /)3m+2n =20 k =8«2) = -16 X2-，得：;当 k=16 时，4=

5、364k>0311、右方程x -(2m-1)x+m +1 =0有头数根，则m的取值氾围是m W-一 ；4- r12、一元二次方程x2+px+q =0两个根分别是2十/3和2-，3,贝U p=-4 ,q= 1;解之，得：13、已知方程3x2-19x+m = 0的一个根是1,那么它的另一个根是x = , m=16;319 -1+x1 = m=163m.2x1 =:当 a =16时，A =19 -12a >03由，得:16二方程另一根为x=16, m = 16。33将x1代入，得：314、若方程x2 +mx -1 =0的两个实数根互为相反数，那么 m的值是0;15、m、n是关于x的方程x

6、2 -(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式 mn=1 解：m、n是方程的两根 将代入，得: 化简，得：把m = -1代入 ，得:n n=m-1CDn=-2精人整理精心整理mn =m2 +1 , mn =(_1)上=116、已知方程 x2 -3x+1 =0 的两个根为 a , B , Ma +B =3, a 0 =1；17、如果关于x的方程x2 4x + m = 0与x2x2m = 0有一个根相同，则 m的值为0或3 ;18、已知方程2x23x+k=0的两根之差为2,贝U k=-2;(x1 -x2)2 =25 ,关于 x 的方程 2x2 -3x + k =0两根419、若方程x2+

7、(a2 2)x3 = 0的两根是1和一3,贝U a=±2;20、若关于x的方程x2 +2(m_1)x+4m2 =0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m的 ，二:(7 值为； 2、已知关于x的一元二次方程(a21)x2 - (a+1)x+1 = 0两根互为倒数，则a=J2。21、如果关于x的一元二次方程x2+T2x+a=0的一个根是1 莪，那么另一个根是x = -1, a的值为亚-1。 1 1-&+x1 =_J2 a =$5-1(1 J2)x1 =a ；当a =亚一1时，A =2 -4a >0由，得：x1 = 1,方程另一根为x = 1, a =V'2-1O

8、将 = -1代入，得：22、如果关于x的方程x2 +6x+k =0的两根差为2,那么k=8。 二(x1 -x2)2 =4二关于x的方程x2 +6x +k =0的两根23、已知方程2x2+mx4=0两根的绝对值相等，贝(J m=Q024、一元二次方程 px2 + qx + r = 0( p。0)的两根为 0和一1,贝U q ： p=1: 1。1325、已知万程3x2+x-1=0,要使方程两根的平方和为 上，那么常数项应改为-2。9一26、已知方程x2 +4x-2m =0的一个根a比另一个根B小4,则a =- 4 ; P =0 ; m=0。解：据题意，得：将a =-4代入，得：0 =0精心整理精心

9、整理f C(+P=H将0(= d, B = 0代入，得：2 otP = 2m m =0 o(_p=H <当 m = 0时， = 16 +8m > 0 +，得：二=-4.二=一4, : =0, m = 027、已知关于x的方程x2-3mx+2(m-1) = 0的两根为x1, x2,且工+,=-3,则m=1。 x X24328、关于x的方程2x2-3x+m =0 ,当0<mE9时，方程有两个正数根；当m<0时，方程有一个正8/ . ?， I根，一个负根；当mQ时，方程有一个根为00三、解答下列各题：1、已知3 一是方程x2 +mx+7 =0的一个根，求另一个根及 m的值。3

10、 3 - <2 +x1 = -m m = -6(3-<2)xi =7答：方程另一根为3+后，7.由，行：x1 =3= = 3 + V2 m = -6。3 -，2-一- -jfJ将 =3+72代入，得：2、m取什么值时，方程 2x2 -(4m+1)x+2m2-1 = 0(1)有两个不相等的实数根，(2)有两个相等的实数根，(3)没有实数根；(1)有两个不相等的实数根相等的实数根。二A=8m+9 A0 (3)没有实数根不相等的实数根。.当m < -9时，原方程无实根。8(2)有两个相等的实数根3、求证：方程(m2 +1)x2 -2mx+(m2+4) = 0没有实数根。=Y(m2

11、+2)2没有实数根。4、求证：不论k为何实数，关于x的式子(x-1)(x-2)-k2都可以分解成两个一次因式的积。 =9-4(2 -k2)有两个不相等的实数根= 4k2十1二不论k为何实数，关于x的式子精心整理精心整理丁 4k220 (x1)(x 2) k2都可以分解成两个4k2 +1 >0 一次因式的积。5、当k取什么实数时，二次三项式2x2 (4k+1)x+2k2 1可因式分解.6、已知a是实数，且方程x2 +2ax +1 = 0有两个不相等的实根，试判别方程 x2 +2ax + 1 -1(a2x2 -a2 -1) =0 有无实根？2丁方程x2+2ax +1 =0有两个不等实根 有两

12、个不相等的实数根。7、已知关于x的方程mx2 -nx+2 = 0两根相等，方程x2-4mx + 3n = 0的一个根是另一个根的3倍。求证；方程x2-(k + n)x+(k-m) = 0 一定有实数根。 = n2 -8m = 0 x2 -(k +n)x+(k -m) = 0导:2公2二 n =m < (k +2)之0 将代入，得：.(k 2)2 20 0,m =0或m =2 一定有实数根。8、已知方程2x2 -5mx +3n =0的两根之比为2 ： 3,方程x2 - 2nx+8m = 0的两根相等(mnw0)。求 证：对任意实数k,方程mx2 + (n + k-1)x+k+1 = 0恒有

13、实数根。, n =m2=k2 -2k +1 二 n2 -8m = 0二之 0二m =0或m =2恒有实数根。9、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值: 10、设方程4x2 -7x+3=0的两根为x1，x2,不解方程，求下列各式的值:(1)x1+x2(2)x1- x2( 3)x1+ x x2(4)x1 x2解：: x1, *2是一元二次方程 (3) vx1 +%；x2(1) xi2x223.4精心整理3 x1 * =1 y±4(x1 -x2)- (4) X1 x211、已知Xi, X2是方程2x2+3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列

14、各式的值:_、_33(1) (2x1 -3)(2x2 -3) ; (2) x1 x2 +x1x2X1X2X1X213_=-二 (2) X1 X223X1X222 .(1) (2x1 -3)(2x2 -3) =x1x2(x1 - x2 )12、实数s、t分别满足方程19s2 +99s+1=0和且19+99t+t2=0求代数式 史上竺口的值 t13、设：3a2_6a_11=0, 3b26b11 = 0 且awb,求 a4 +b4 的值。14、已知 a2 =1 a , b2 =1 _b ,且ab,求(a 1)(b 1)的值。111 1 .15、已知m +m4=0, + -4=0, m, n为头数，且

15、m ,求代数式m +的值 nnnn二m、1可看作是方程，代数式m +工的值为-1。nn16、已知2s2+4s7=0, 7t2-4t-2=0, s, t为实数，且st w 1。求下列各式的值:3st -2s 3ost 11解：: 2s2 +4s7 =0(1)、 =s + - = 2t t_23st - 2s 3- 2s 37t2 -4t - 2 =0(2)=3s tt t求k的值;17、已知关于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6, 18、方程x2+3x+m=0中白m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1) 一个根比另一个根大2;一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是

16、1719、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求 证：这个三角形是正三角形20、已知关于x的方程*2-(22-1及+4一1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。21、关于x的一元二次方程3x2 -(4m2 -1)x+m(m+2) =0的两实根之和等于两个实根的倒数和, 求m的值。22、是否存在实数k,使关于x的方程9x2-(4k-7)x-6k2 =0的两个实根xn X2 ,满足总=?x22如果存在，试求出所有满足条件的k的值，如果不存在，请说明理由精心整理,此方程无实根；方程两根

17、满足四=3。X2223、已知关于x的方程2x2 (m1)x + m+1=0的两根满足关系式x-X2=1,求m的值及两个根。二叱 .1=3 答：m=-1时，方程两根为：x1=0, x2=-1;442(m +1)(m -3) =8(m +1) m =11 时，方程两根为：x1 =2, x2 =3。24、a、B是关于x的方程4x2 4mx+m2 +4m =0的两个实根，并且满足(a -1)( P -1) = 2 ,求m 的值。25、已知一元二次方程8x2 -(2m+1)x + m = 0 ,根据下列条件，分别求出 m的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1;

18、 (5)两根的平方和为 。6426、已知方程x2 +mx+4 =0和x2-(m-2)x-16 = 0有一个相同的根，求 m的值及这个相同的根。27、已知关于x的二次方程x2 -2(a2)x + a2 -5 = 0有实数根，且两根之积等于两根之和的 2倍， 求a的值。28、已知方程x2 +bx +c =0有两个不相等的正实根，两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b、 c的值。解：设方程两根为x1、x2，贝1J,b2 -2c = 29x1 +x2 =b, x1x2 =c-得：c = 10: x1 -x2 =3将c =10代入，得： I2J. b -4c =9二 x+x2 =-b >0,

19、x1x2=ca029、已知一元二次方程(2k3)x2 +4kx+2k5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。30、已知x1，x2是关于x的方程x2 + px + q =0的两根，x1 +1, x2 +1是关于x的方程x2 + qx+ p = 0 的两根，求常数p、q的值。x1 >x2 = _p q =2 p _1 x1 x2 = q将代入，得：x1 十1 十x2 十1 二 p _(2p_1) =2(x、1)(x2 +1) = p ，p = -1精心整理精心整理将代入，得：将p = _1代入，得：p _q =2 q =-3将、代入，得：答：p = -1, q=-331、已知x1, x2是关于x的方程x2 + m2x+n = 0的两个实数根；y1, y2是关于y的方程 y2 +5my+7 =0的两个实数根，且 x1 - y1 =2, x2 - y2 = 2 ,求m n的值。xi -yi +x2 -y2 =4 ; 当 m =4时，方程 x2 +m2x +n = 0有两个实根132、关于x的方程x2-2mx+ n2 =