三角函数基本概念和表示

1、实用文档标准文案(1)(2)第二象限的集合:：|2k二ji-:二 2k二二，k Z2第三章三角函数第一节三角函数及概念复习要求：1 .任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2 .三角函数(1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;(2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。知识点:1 .任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转B到终止位置ob ,就形成角o旋转开始时的射线0A叫做角的 y 始边，OB叫终边，射线的端点0叫做叫a的顶点2 .角的分类为了区别

2、起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。3 .象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边(除端 点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。冗二 12k二：2k 二 一，k Z第一象限角的集合：2：|2k二 二：:：2k二一，k Z(3)第三象限角的集合：23 二：|2k二：二2k二 2二，k Z(4)第四象限角的集合：24 .轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上，称这个角为轴线角。它不属于任何象限，也称为非象限角。5 .终边相同的角

3、所有与角1a终边相同的角连同角口在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。 记为：S=0 | 360,k *或S= +2处*三Z它们彼此相差2kn(keZ),根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。6 .区间角：二 二 5 二- - | - _ 一二一,区间角是指介于两个角之间的所有角，如66J 16 6。7,角度制与弧度制1角度制：规定周角的 嬴为1度的角，记作10,它不会因圆的大小改变而改变，与r无关弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作irad或1弧度或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 -冗，-2冗等等，一般

4、 地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。8 .角的度量(1)角的度量制有：角度制，弧度制(2)换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住 180=nrad 0I 1180 cc111 =rad % 0.01745(rad) 1rad =(-)之 57.30360: 2n，180rad ,180,n(3)特殊角的弧度度030A456090120fl135150180270h360弧 度9 .弧度数计算公式在半径为r的圆中，弧长1所对的圆心角的弧度数为1aL r10 .弧长公式与扇形面积公式角度制弧度制弧长公 式.nnr l=180l|

5、 r扇形面 积2 nnr S= 360S =l r =1|ct | r222(口是圆心角的弧度数)11 .三角函数定义在直角坐标系中，设a是一个任意角，在a的终边上任取一点P(x,y),它与 原点的距离r ,则r =| OP |= Jx2 +y2 0 .过P作x轴的垂线,垂足为M ,则线段OM的长度为x ,线段MP的长度为y .把:比值丫叫做正弦，即sin： =MP =2 rOP r比值个叫做余弦，即cosa=OM=学；rOP r比值Y叫做正切，即tan必P。xOM x利用单位圆定义任意角的三角函数，设 a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),则：(1) y叫做口的正弦，记做si

6、nce ,即sin a =(2) x叫做a的余弦,记做cos a ,即cosot = x ;(3)-叫做a的正切，记做tana ,即tana =y(x #0)。 xx出的12 .三角函数在各象限的符号：是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推I Iy-+ C- xtan 二:口决：一全正，二正三切四余13 .三角函数线以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。设单位圆与角q的终边的交点P（x, y）, 过点P作PM _Lx轴交x轴于点M ,过单位圆与x轴的非负半轴交点A作单位圆 的切线与角的终边（或延长线）交于 点T。根据三角函

7、数的定义：sina=MP=y, cosa=OM=x, tana = AT我们把有向线段MR OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示 方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等 问题时，十分方便。补充：特殊角的三角函数值:aJI6ji4ji3ji2冗32sin12近 2正 21-1cos 口1同2五212-1tan西 31也不存在不存在cot a石1V33不存在不存在经典例题例1写出终边在x轴上的角的集合解：终边在x轴上的角的集合是 | =k3600 +00或口 =kQ60o

8、+1800,kw z = L |口 =kU180,ke Z）Ct例2已知是第三象限角，则3是第几象限角?答案：第一，第三，第四象限例3. (1)若sine cos0 。则10在第象限。a a asin2: ,cos21 ,sin ,cos,tan 一(2)若是第二象限角，则222中能确定为正值的有个。答案：(1)二、四象限a(2) 2口为第三第四象限，2为第一，第三象限，所以为1个例4已知角1a的终边上一点P (-4m,3m),且m0求1M的四个三角函数值答案3m 3.sin ：二二一一-5 m53m 3.tan 工=-4m4- 4 m 4cos 2=二一- 5m 5- 4m4cot ：=-3

9、m 3例5已知一扇形的中心角是 的弧长及该弧所在弓形面积“，所在圆的半径为R,若a=60，R = 10cm,求扇形oIct =60 = l = a3所以二 10r=L10二一二 cm33面积:1s =一口 R2I。2= cm23，:r =|OP| = Jm 2 +(3m j = -5m基础练习题：7a = 一一 n1,若角 3 则角口是第 象限角()A 1 B 2 C 3 D 4“ _12, a =30是 2 的()A充分不必要 B 必要不充分C充分必要 D既不充分也不必要3,已知角1a的终边经过点P(-1 , 2),贝U cos +sina =():553、53.5A 5 B 5 C 5 D

10、 5第二节三角函数的基本公式复习要求：1,理解同角三角函数的关系2,能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值3,能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式4,理解二倍角的三角函数知识点：一、任意角的三角函数22在角a的终边上任取一点P（x，y）,记：r=%-x +y ,yxsin 二cos 二=一r余弦：rtan .：二 y,一 xcot-=一x余切：yrrsec 二1csc 工=一x余割：y正弦:正切:正割:注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数： 如图，与单位圆 有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角口的正弦线、余弦线、正切线。二、同角三角函数的基本关系式倒数关

11、系:sina csc =1, c0st se =1, tana cota =1。, sin：, cos二tan =二 cot 二商数关系：cosa ,sin o.222222平方关系：sin a + cos a = 1 , 1 + tan 口 = sec a 1 + cot a = csc a三、诱导公式：2k二（k Z）n +u、兀-、2兀-口的三角函数值，等于口的同名函数值，前面加上一个把1a看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变， 符号看象限）二 二3 二3 + 0（ CC + 0（ -Ct2、2、 2、 2的三角函数值，等于a的异名函数值，前面加上一个把口看成锐角时原函数值的符号

12、。（口诀：函数名改变，符号看象限） sin 2k二+ ：工 尸sin : ,con 2k二+：工 j=con ： , tan 2k二+：工=tan 二sin =-sin : ,con =con: ,tan=-tan) sin .，:工 尸-sin ： , con( .，:工 j=-con ： ,tan .工 i=tan ：(nsin 一 二2f式 、=con：,con 二 =-sin-：s, tarn： r工 尸-cot ：3 二3 二.3 二sin 二 =-con .：, con 二 =sin .：, tan 二 =-cot ：22. 2四、和角公式和差角公式sin(二：；11) = sin

13、： cos : cos： sin :sin(:工I cos2 1二2cos2 1) =sin： cos P -cos： sin :cos(:1 P) = cos- cos 。sin 二 sin : cos(： I) = cos- cos . sin 二 sin :tan(-： - ,-1)tan : tan :1 - tan。： tan :tan(：-)tan 二 Tan :1 tan: tan :五、二倍角公式sin2： = 2sin ： cos：2 . 222cos2c( = cos 口 -sin 久=2cos a 1 = 1 -2sin a . (*)tan2-2tan 二21 - ta

14、n -二倍角的余弦公式 有以下常用变形：（规律：降幕扩角，开幕缩角）21 -cos2- = 2sin -一 一 一一一 21 sin 2- = (sin - cos -)1 -sin2： = (sin1 -cos： )221 cos2：21 sin 2 .1 -cos2： sin 2：cos =二 sin 二二 tan：=22sin20t1 + cos2a六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）22 tan ：1 - tan 二2 tan ：sin 2：=- cos2二 二2tan 2：=-1 + tan a1 + tan1 - tan a 0万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半

15、角的正切来表示。七、和差化积公式 a + P a - Psin ：，sin - =2sincos22R a + P a - Psin二一sin : =2cossin 22R a + P a - Pcos工 cos =2coscos22 r口+PaPcos - -cos - - -2sinsin22了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：fot + P a - P a + P a - P a+P a - Psin a = sin + i= sincos+cossin1 22 J 2222fa + Pa - P a + P a - P a + P a - Psin p = sin -

16、|= sincos- cossin22 J 2222两式相加可得公式，两式相减可得公式。a + P a - P a + P a - P a + P a - P cos a = cos + = coscos-sinsin22 J 22221支+P a - P a + P a - P a + P a - P cos P = cos - I = coscos+ sinsin 22 ）2222两式相加可得公式，两式相减可得公式。 八、积化和差公式1sin 二 cos - = 3 binG , 1- ） sin（l ）Jcos： sin : = 1 sin（： ； ，：） -sinQi1-1） 12co

17、s： cos：=一bos（： 1） cos（： ,-1） 11 ,-1sin 二 sin -= 一万 CosQ -，) 一 cos( )我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。九、辅助角公式22asinx +bcosx =%a +b sin(x+5)()其中：角中的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同,sin 邛= b cos 中= a a2 +b2Ja2 +b2tan = ba 。经典例题:例1已知匕no) 4, 是第三象限的角，求sinc(, cona解：3丽)sin a tan = - =-con, con I 十口 =sin, 4U)33 sin ：3t tan =，=

18、-4 con 1422.9cos - =16sin.：.9 1 -sin .：i2 =16sin：2. sin ： 2a是第三象限的角9253sin ;sin =二-,cos =二5tan ;例2已知tanc(=3,求下列各式的值sin: 2con:(1)2sin- -3con-：. 2(2) sin - 1 2sin-con- 1 1例 3 con120o tan225o =con120o tan225o解:口con 180o -60otan(180o 45)=-cos60o tan 45o-1例 4 已知 tan（a + P） = 2tan a ,求证 sin（2 a + P） = 3sin P 证明：: tan（:之 一 ）=2tan ;sin（二；：）sin ;:=2cos（ ） cos 工.sin（二： .- ）cos ? - 2sin 二 cos（二：）.sin（： ，. ）cos : -sin .：cos（： - . -） =sin.：cos（： ，P） sin（二：1 .- ）cos 二；sin 二 cos（_i ,-1） =3sin 二 cos（_i .-1）.sin（2 一 l：，） =3 I sin ：工 - I； ）cos二 一sin 二