平面向量知识点总结

1、平 面 向 量 知识 点 小 结一、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知A(1,2) , B(4,2),则把向量AB按向量言,3)平移后得到的向量是 . 结果：(3,0)2 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,规定：零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与"AB共线的单位向量是土*)；|AB I4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 .平行向量(也叫共线向量)：方向相同

2、或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a /-4 b，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有"0)；三点A、B、C共线已福、 7C 共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.力的相反向量记作 -a .举例2如下列命题：(1)若团国,则a品.(2)两个何量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同(3)若AB $C ,则ABCD是平行四边形.(4)若ABCD是平行四边形，则 AB zzDC .(5

3、)若a占，b ,贝1ja1.(6)若a/b, b/ /C则ac.其中正确白是.结果：(5)二、向量的表示方法_1 .几何表不' :用带箭头的有向线段表不如 AB ,注两秒点在前，终点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如 a, b, C等；T T3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，w以jx轴、y轴方向相同的两个单位向量 ，j为 基底，则平面内的任一向量 ?可表示为a =xi +yj =(x, y)，称(x y为向量2的坐标，3=(x, y)叫 做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同定理定理设e1,e2同一平面内的一组基底向量

4、，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对 (4,%),使 a =)4 +深.(1)定理核心：a=启+加工；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当e,&时，就说a =入e +盘为对向量力的正交分解.举例3 (1)若a=(1,1), b/,)，后=(二,2),则力=.结果：la -36 . 22(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA. e =(0,0) ,g=1,)B.3=(42) , &M5,7)C. n3,5),2236,10)D. g=(2, 3 , =,-3|(3)已知AD,BE.分另1J是AABC的

5、边BC , AC上的中线，且7D =a , BE =b ,则BC可用向量Tb表示为.结果:2a 4b.33T 一 T 一一(4)已知ABC中，点D在BC边上，且CD =2DB , CD =rAB +AC ,则r +s =的值是.结果：0.四、实数与向量的积实数人与向量a的积是一个向量，记作？、a,它的长度和方向规定如下：(1)模：i娟iwki Hi；(2)方向：当儿下0时，九a的方向与a的方向相同，当九0时，的方向与a的方向相反，当九=0时，九a =0,注意：，百乩.五、平面向量的数量积* T t T1 .两个向量的夹角：对于非零向量a, b,作CA才，OB=b ,则把NAOB=g(0WeWJ

6、i)称 为向量a , b的夹角.向；当日=2时，a , b垂直.一，它们的夹角为6 ,我们把数量 a b ,即1 b = 21，|b | cos 日.4 -| a | b | cosi当日=0时，3, b同向；当日=n时，a2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量 叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作:规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量 .举例 4 (1) 4ABC 中，|AB| , |1C| J , |BC|=,则"AB 葭1. 结果：_9.(2)已知a =f，1 p b =f c =a杂b，d =a _b，c与：的夹角为T，则k = 结果

7、：1.3 3)已知 |a|=2 , |b|=5 , a b =J3 ,则 |a 油二 . 结果：产.4 4)已知y 是两个非零向量，且 百山甘a _bi,则a与a 4b的夹角为. 结果：30.3 .向量b在向量a上的投影：|b|cos日，它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知|a住，曲三，且a bq2 ,则向量a在向量b上的投影为 . 结果：22 .54 . ab的几何意义：数量积a b等于a的模i3i与b在a上的投影的积.5 .向量数量积的性质：设两个非零向量a, b,其夹角为6 ,则：4 44.(1) a _l_b u a b =0 ；(2)当 a、b 同向时，ab=|a|b|,特别地，

8、a2 =a a =| a |2«=s |a |=Va2 ；1 4-444ab=|q|b|是a、b同向的充芈分条当； 餐*当a、b.反向时，a b =-| a | | b |, ab=-|a|b|是a、b反向的充要分条件；当日为锐角时，ab二含0,且a、b不同向，a b 0是8为锐角的必要不充分条件；当日为钝角时，a6中，且a、b不反向；a b 。是a为钝角的必要不充分条件.(3)非零向量a , b夹角8的计算公式：cos6 =-a b ；ab4a|b|.|a|b|.二4,一.，.,， 一. 一一一一一4举例6 (1)已知dT'j丸，b T3，N ,如果a与b的夹角为锐角，则的

9、取值范围是 结果：九一或人0且3k2 -11七九”最小值为:3；1(2)已知ZXOFQ的面积为S,且OF FQ d,若1 S瑞，则OF , FQ夹角9的取值范围是T6M.a(3)已知号 Tcosx,sin x) , b =(cosy,sin y),且满足 | ka 4b |=/3| W _kb | (其中 k y ).用k表示a b ;求a b的最小值，并求此时慌与b的夹角日的大小.160 .六、向量的运算2 .几何运算(1)向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若AB=a, bC =b,则向量"AC叫做a与b的和，即，+3=诵+羡=笈；作图：略.注：平行四边形法则

10、只适用于不共线的向量.(2)向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若 AB=a , AC =b，则a H =ABAC =CA ,即由减向量的终点指向被减向量 的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7(1)化简： TB-4BCqcD=；TB _7d_DC_；(TB _CD) _JAC_BD)=.一 结果：7d；CB；0 ；(2)若正方形ABCD的边长为1, AB _a , BC -b , AC3 ,则| W 4b 4c | . 结果：2+合；(3)若O是4ABC所在平面内一点，且满足 pB _OC OB 4OC /OA ,则 ABC的形状为.结果：直角三角形；(4)若D为4

11、ABC的边BC的中点，zABC所在平面内有一点 P ,满足PA 4BP-|CP5,设LAPJ =>”，则)的值为 .|PD| 结果：2;(5)若点O是ZXABC的外b,且OA -4OB -4CO,则ZXABC的内角C为 . 结果：120：.一,443 .坐标运算：设 a=(x,yi), b.=(X2,y2),则*(1)向量的加减法运算：a+b=(X1+x2, y1+y2) ,a -b- = (X1-X2,y1-y2).举例8 (1)已知点A(2,3) , B(5,4) , C(7,10),若A? =AB+/AC(炉R),则当 时,点P在第一、三象限的角平分线上.结果：1 ；2(2)已知

12、A(2,3) , B(1,4),且1ABTsinx,cosy) , x, y 三(JJ,马，贝1 x+y =. 结果：工或 ;22 262(3)已知作用在点A。/)的三个力3,4) , F2女2, _5) , F3 =(3,1)，则合力F金卮点的终点坐标是 结果：(9,1).(2)实数与向量的积：2 = 1fc(xj)=(九X,九y).(3)若A(x,y1) , BNyz),则AB =(x2-x1,y2 %),即一个向量的坐标等于表示这个向 量的有向线段的终点坐标减去起点坐标举例9 设A(2,3) , B(二,5),且AC上AB , AD VAB ,则C,D的坐标分别是. 结果：(11),(1

13、,9).33，八一一口皿口4.(4)平面向重数重积：a b =x1x2 +y1y2.举例 10 已知向量 a-Tsinx,cosx) , b Msin x,sin x) , C M,0).(1)若x 求向量a、c的夹角；3(2)若xq当,函数f(x) =ja b的最大值为-,求，的值.结果：(1) 150；(2) 1或-72 -1 .8 42-2(5) 向量的模：a2 4a|2 = x2 +y2u I，|=Jx2 +y2 .举例11已知a,b均为单位向量，它们的夹角为 60；,那么|a -F3b|= 结果：/3 .(6)两点间的距离：若 A(x,y1), B(x2, y2),则 | AB |=

14、J(x2 x )2 +(丫2 %)2 .举例12如图，在平面斜坐标系 xOy中，1Oy =60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP =e%e2,其中e.e2分别为与x轴、y轴同方向的单/位向量，则P点斜坐标为(x, y) ./(1)若点P的斜坐标为(2, 2),求P到O的距离|PO| ；/(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程.卜一结果：(1) 2; (2) x2 +y2 +xy=0 ./七、向量的运算律T .T .1 .交换律：a+b=b+a, M 0)=(泊域,a b =ba ;2 .结合律：a +b +C =(a +b) +C , a -b -c

15、=a -(b+C), (?La)b =?(a b) =a (温;3 .分配律:(九+N)a =4 + 宦，X(a +b) =Aa +Ab , (a +b) c =a c +b c .举例13给出下列命题：aibjbjc；a (b C)a b) C ；(a _b)2_2| aRi书b |2 ； *若县及义，则3或力；若a bjb则a；i a=a2 ；1b；(a b)2 =a2 b2 ；(a _b)2 =a2，a b+b2. a a其中正确的是.结果：.说明：（1）向量运算而实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两 边同时取模，两边同乘以一个向量，

16、但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 a （b力/ab） c,为什么？八、/北行 '与线)的要条件.a/b a'b 二(a b)2 =(| a | b |)2 二 乂2 一yiX2 =0 .举例14 (1)若向量a Wxl) , b4,x),当x 时，a与b共线且方向相同.结果：2.(2)已知 a 41,1) , b44,x) , U =a -f2b ， V zz2a 4b ,且 U /V ,则 x=.结果：4.(3)设 PA k,12) , PB =(4,5) , PC=(10,k),则 k=时，A

17、,B,C 共线. 结果： N 或 11.九、向量垂直的充要条件a _ b ：= a b =0 = | a b | 4 a -b |二 x1x2 y1y2 = 0 .特另世也,区十_星L国工QAB| |AC| J pAB| | AC| ；、一一一一一-3-34 T ，3举例 15 (1)已知 OA 42) , OB 3,m),若 OA JOB ,则 m 二 . 结果：m ；结果:(1.3)或(3, 1);（2）以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,看30凡则点B的坐标是 已知n =（a,b）向量n J_m ,且|百|上吊| ,则m =的坐标是 结果：（b,_a）或（_b,a

18、）.十、线段的定比分点1.定义：设点P是直线PP2上产于P、F2的任意一点，若存在一个飞数 九，使PP=ZPP2 , 则实数 儿叫做点P分有向线段P1P2所成的比儿，P点叫做有向线段 PP2的以定比为K的定比分2.1的符号与分点,位置之间的关系（1）p内分线段PP2，即点p在线段pp2上u九0；（2） P外分线段P1P2时，点P在线段PP2的延长线上二九一1,点P在线段PP2的反 向延长线上：二- 1 :二：二0 .注：若点p分有向线段 就所成的比为 九，则点p分有向线段P2P所成的比为二.儿举例16若点P分彘所成的比为3 ,则A分BP所成的比为 . 结果：工.433.线段的定比分点坐标公式：

19、. L (':T).特别地，当 九=1时，就得到线段PP2的中点坐标公式x1x2x =2 y y2设P（x,y1）, P2（x2,y2）,点P（x, y）分有向线段PP2所成的比为K ,则te比分点坐标公式为说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确 （x,y）,（为,）、（x2,yz）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 > .举例17 (1)若M(2Z , N(6,),且MP，=J_MN ,则点P的坐标为结果：(_6,_7);一 33(2)已知A(a,0) , B(3,2杂),直线y

20、ax与线段AB交于M ,且*AM 2MB，则为=.结果：2或1.一2一-十一、平移公式如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x：y),则Jx%, ;曲线f(xy)=0按向量a=(h,k) y =y k -.平移得曲线f(x-h,y-k) =0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 (1)按向量a把(2,平移到(1,N),则按向量a把点(_7,2)平移到点. 结果：(_8,3);(2)函数y -sin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是 y _cos2x H ,则a . 结果：(工,1). 4十二、向量中一些常用的结论1 . 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2 .模的性质：昌_同日a+bga| +|b|.(1)右边等号成立条件：a、b同向或a、b中有0仁a嚏ya +出 ；(2)左边等号成立条件：Of、b反向或I、b中有0Obfa |+| b |