平行线证明专题教案

1、教学主题：相交线与平行线证明专题教学重难点：使学生形成知识结构，并运用所学的知识进行简单的推理证明。教学过程：1 .导入复习巩固相交线与平行线的有关概念和性质，使学生会用这些概念和性质进行简单的推理或计算；能用直尺、三角板、量角器画垂线和平行线；提示两条易错概念，平行注意是过直线外一点，垂直注意是在同一平面内.2 .呈现例 1.已知：如图 5, AB/CD,求证：/B+/D=/BED。分析：可以考虑把/ BED变成两个角的和。如图 5,过E点引一条直线 EF/AB, 则有/B=/1,再设法证明/ D=/2,需证EF/CD,这可通过已知 AB /CD和EF /AB得到。证明：过点E作EF/AB,

2、则/B=/1 （两直线平行，内错角相等）。1 .AB /CD （已知）,又.EF/AB （已作），. EF/CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。，ZD=/2 （两直线平行，内错角相等）。X/ZBED= Z1 + Z2,2 .ZBED= ZB+ZD （等量代换）。例 2.已知：如图 6, AB /CD,求证：/ BED=360。- (/B+/D)。分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的/ BED都是指小于平角的角，如果把/ BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。证明：过点E作EF/AB,则/B+/1

3、=180° （两直线平行，同旁内角互补）。1 .AB /CD （已知）,又.EF/AB （已作），. EF/CD （平行于同一直线的两条直线互相平行） .ZD+ 72=180° （两直线平行，同旁内角互补） ZB+/1 + /D+ 72=180 +180° （等式的性质）。X/ZBED= Z1 + Z2,ZB+ ZD+ /BED=360 ° （等量代换）。2 .ZBED=360 - （/B+/D）（等式的性质）。例 3.已知：如图 7, AB/CD,求证：/BED=/D-/B。分析：此题与例1的区别在于 E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例 1与变式1

4、作辅助线的方法，可以解决此题。证明：过点E作EF/AB,则/FEB=/B （两直线平行，内错角相等）.AB /CD （已知）,又.EF/AB （已作），. EF/CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）.ZFED=/D （两直线平行，内错角相等）。.ZBED= /FED-/FEB,，ZBED=/D-/B （等量代换）。求证：/ BED= ZB-ZDo分析：此题与变式 2类似，只是/ B、/D的大小发生了变化。证明：过点E作EF/AB,则/1 + /B=180° （两直线平行，同旁内角互补）.AB /CD （已知）,又.EF/AB （已作），. EF/CD （平行于同一直线的两条直线

5、互相平行）ZFED+ ZD=180 ° （两直线平行，同旁内角互补）. ./ + /2+/D=180° 。/ + /2+/D- （/1 + /B） =180 -180° （等式的性质）。.N=/B-/D （等式的性质）。即/BED= ZB- ZDo例 5.已知：如图 9, AB/CD, /ABF=/DCE。求证：/ BFE=/FEC。官GC（图 9）D证法一：过F点作FG /AB ,则/ABF=/1 （两直线平行，内错角相等） 过E点作EH /CD ,则/DCE=/4 （两直线平行，内错角相等） .FG/AB （已作），AB /CD （已知），.FG/CD （平行

6、于同一直线的两条直线互相平行）。又.EH /CD （已知），. FG/EH （平行于同一直线的两条直线互相平行）。，/=/3 （两直线平行，内错角相等）。，/1 + /2=/3+/4 （等式的性质）即/BFE= ZFECo证法二：如图10,延长BF、DC相交于G点。 ./1 = ZABF （两直线平行，内错角相等）。又/ABF=/DCE （已知），/ = /DCE （等量代换）。. BG /EC （同位角相等，两直线平行）。，zBFE=/FEC （两直线平行，内错角相等）。如果延长CE、AB相交于H点（如图11）,也可用同样的方法证明（过程略）. AB /CD （已知）,.zABC=/BCD

7、（两直线平行，内错角相等）又/ABF=/DCE （已知），zABC- /ABF = /BCD- ZDCE （等式的性质） 即/FBC=/BCE。. BF /EC （内错角相等，两直线平行）。，zBFE=/FEC （两直线平行，内错角相等）3.练习与检测 练习一1. 如图1,直线 AB、CD、EF相交于 O, ZAOE的对顶角是,邻补角是 , ZCOF的对顶角是 ,邻补角是。2 .如图2, ZBDE的同位角是,内错角是,同旁内角是; ZADE 与/DGC是直线 被 所截成的 角。3 . 如图3,三条直线 a、b、c交于一点 O, 71=45° ,4 .如图 4, 71=105°

8、; , 2=95° , 3=105° ,/4=。5 .当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直 线,它们的交点叫做。6 .直线外一点到直线上各点连结的所有线段中，垂线段,这条垂线段的长度叫做 。7 .经过直线外一点，有且只有 条直线与这条直线平行；过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。8 .如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线。9 .两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等或 相等，相等，互补，那么这两条直线平行。10 .两条平行直线被第三条直线所截，则 相等，相等， 互补。练习二、已知三角形 ABC , （1）过A点画BC边上的垂线；（2）过C

9、点画AB边上的垂线。1 . 如图 13,已知 OA，OC , OB ± OD , 7 3=262.如图，AB/CD, ZBEF = 85° ,求zABE +/EFC+/FCD 的度数。2 . 如图 14,已知 AB /ED, /CAB=135 ° ACD=80 ° ,求zCDE 的度数。3.已知：如图15, AD XBC于D, EGXBC于G, /E =/3。求证：AD平分4 .小结从多个角度去考虑解题方法，通过比较选择最优解法，可以开阔思维，提高分析问题、 解决问题的能力.5 .作业1.如图所示，已知AB /CD,分别探索下列四个图形中/ P与/A,/C的关系，？请你从所得的四个关系中任选一个加以说明/ BED= ZB- ZDo4 .如图所示，AB /ED, ZB = 48°,ZD=42°,证明：BCXCDo （选择一种辅助线）5 .如图，已知 AB /CD, 71=100&#