立体几何初步知识点练习题VIP

1、柱、锥、台、球的结构特征棱柱：(1)概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的侧面，两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。(2)分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，棱锥：(1)概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角

2、形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高，过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。(2)分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥(3)正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。圆柱的概念：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。旋转轴叫做圆柱的轴，垂

3、直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。圆锥的概念：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体；圆台的概念：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分;球的定义：第一定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体，简称球。半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。球的截面与大圆小圆：截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面；大圆：过球心的截面圆叫大圆，大圆

4、是所有球的截面中半径最大的圆。球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长；小圆：不过球心的截面圆叫小圆。棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形；过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。正棱锥性质：正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、

5、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。圆柱的几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。圆锥的几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。圆台的几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。球的截面的性质：性质1:球心和截面圆心的连线垂直于截面；性质2：球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系：r2=R2-d2.例题1.如图，在正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中,AB=1,AAi=，3，点E为AB上的动点，则D1E+CE的最小值为（）C,总+i答案：BABC2D2,在矩

6、形 CiDiD2c2将正方形ABCD沿AB向下翻折到对角面ABCiDi内成为正方形中连接DiC2,与AB的交点即为所求最小值点E,此时DiE+CE=DiC2.因为对角线BCi=2,C iC2=3,故 DiC2=柳超”婿=例题2.如图，直三棱柱，蜒的六个顶点都在半径为i的半球面上，侧面3岗是半球底面圆的内接正方形，则侧面邯即4的面积为（）A. 2B. iC.D.答案C试题分析：球心在面80cls1的中心0上，SC为截面圆的直径，/由C=90°,底面外接圆圆心¥位于BC'II>,同8£外心j/在跳1中点上，设正方形8冕耳边长为丫，出预储中，加三屿oq=x

7、=i,9话）F即片有则HE=式=1,二§分q3=m*1=$ri例题3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF/AB,EF=2,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为AR15答案：:试题分析：如图，取AB中点N,取CD中点M,13139匕皿*二鼻/（彳乂3）*2=3噎£v-f鸵=5黜/=（彳*3*2）乂不二不二-,-,所以*,*,9151二+'emy-zk=一二=彳N+'例题4.如图，已知正方体BCD-d/iC。上、下底面中心分别为°1：°:,将正方体绕直线°也:旋转一周，其中由线段旋转所得图形是

8、（）B, D中选，显然B答案d试题分析：由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在不对，因为gJ中点绕旋转得到的圆比B点和I点的小，故选D.例题5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）循视圄答案C解答：解：由已知中的三视图可得:该几何体是由一个圆柱和半球组成的组成体由图中所示的数据可得:圆柱的底面直径等于半球的直径为2则半径R=1圆柱的高h=1V圆柱=7tR2h=兀X12X1=兀cm3142V半球=2x3tiR3=3ucm32故该几何体的体积V=兀+3兀=ccm3.故选C.CF都例题6.

9、如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线月C=2加=祖AE、与平面ABCD垂直，AE=1,CF=2.(1)求二面角B-AF-D的大小；(2)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积-；2垃答案(1)2_(2)9试题解析：(1)方法一：如图(1)连结AC、BD交于菱形的中心。，过O作OG±AF,G为垂足.连结BG、DG.由BDAC,BDLCF,得BDL平面ACF,故BDLAF.于是AFL平面BGD,所以BGXAF,DGXAF,ZBGD为二面角B-AF-D的平面角.3分由FC，AC,FC=AC=2,得/FAC由 OB，OG , OB=OD=色工2 ,得/BGD

10、=2 ZBGO 2 .即二面角B-AF-D的大小为二.6分cm.答案例题7.一圆台上底半径为5cm,下底半径为10cm,母线AB长为20cm,其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M,拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O.有图得：所求的最短距离是设OA=R,圆心角是“，则由题意知，10户“R，20兀=a(20+R)，由解得，a=M2,R=20,.OM=30,OB'=40,则MB'=50cm.故答案为：50cm.例题8.已知江、户是两个不同平面，刑、外是两不同直线，下列命题中的假命题是()A.

11、若避上&则心2B若幅?色如足刃则如柒C若加上巩掰上四则幻/D.若选上见掰Uf,则。上产答案B例题9.设m、n是两条不同的直线，£是两个不同的平面，给出下列四个命题：若刑二a,界？亿，则型;乐；若加工况掂三£，则九门产；若二洛胆少，则掂匕因且加.若册上疏选Ip,则.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案A命题错误，命题正确例题10.(I)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；3),

12、要求剪拼成一个直三棱(n)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(m)(附加题)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。解：（I）如图1,沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥;如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。（n）依上面剪拼的方法，有V柱V锥；推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2,那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都

13、是边长为1的正三角形，其面积为4,%=，一（|乡=号电=；fg3cr=洛现在计算它们的高：V。上32,%-I）虫=（揖-刍3=过上。e3,任496424?所以，V柱V锥。（出）（附加题）如图3,分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形.以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。球与正方体、长方体、四面体组合球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方

14、体的外接球的直径是正方体的体对角线长球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为球与其他几何体的接切问题举例如下:球的半径均为 R,正方体、四面体、长方体的棱均为a,则R与a之间的关系:（1）球与正四面体的顶点接：（如右图所示）FRxAOAFxHC -xa = xHC 22HOAG- - VaCJ*HC1=AH 3辰% J浮的3CG2 + OG1 - COJ（络+即_守二传7”(2)球与正四面体的面切:BD=BC=CD=AC=AB=AD=4ED=AE=Ief = Qae-f：AH = DR = AD x E

15、F = RD x AE0。n出g门 x = RD x 77QfT =。犷 + 加-R? =0H' +。斯)i)画_组+矣=五。口；也93火=典12例题1.一个凸多面体的各个面都是四边形，它的顶点数是16,则它的面数为（）A.14B.7C.15D.不能确定答案A例题2下列图形中不一定是平面图形的是（）A.三角形B.四边相等的四边形C.梯形D.平行四边形例题3.正多面体至少有个面，条棱，个顶点（）A.4,6,4B.3,4,3C.4,8,6D.3,6,4答案：A例题4.一个正三棱锥的侧棱长为1,底边长为血，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）答案：3兀例题5.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时,其高的值为（）A.3修B252$C-CD.也答案：B例题6.在一个球的千面上有P、A、B、C、D五个点，且P-ABCD是正四棱锥，同时球心PA和P点在平面ABCD的异侧，则AB的取值范围是（）（张）答案：-例题7关于如图所示几何体的正确说法为:这是一个六面体；这是一个四棱台；这是一个四棱柱；这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；因为有六个面，属于六面体的范围，这是一个很明显的四棱柱，因为侧棱的延长线不能交与一点，所以不正确.如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱，可以有四棱柱和三棱柱组成，和的想法一样，割补方法就可以得到.故答