立体几何中的向量方法

1、精品立体几何中的向量方法适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域通用课时时长（分钟）90知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题.教学目标1 .理解直线的方向向量与平向的法向量；2 .能用向量语百表述线线、线向、闻闻的垂直、平行关系；3 .能用向量方法证明肩关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4 .能用向量方法解决线线、线面、向间的夹角的计算问题，体会向量方法的作用.教学重点用向量方法解决立体几何中的肩关问题教学难点用向量方法解决线线、线面、向间的夹角的计算问题感谢下载载教学过程一、课堂导入空间平行垂直问题1 .两条直线平行与垂直；2 .直线与平面平行与垂直;3 .

2、两个平面平行与垂直；空间夹角问题1 .两直线所成角;2 .直线和平面所成角;3 .二面角的概念；空间距离问题精品、复习预习感谢下载载（1）空间向量的直角坐标运算律：设rra（8田2,%），b（4力2力3）,则rb (ai b,a2 d,a3 b3)1bi,a2b2,a3h(rrrab(abi,a2d,%b3)arrrrabaibia2b203b3a/bra(ai,a2,a3)(R)rrR)abaibia2b2a3b3若a(xi，yi，zi),uuuB%,yzZ),则AB%xi,y2yiZzi)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.r（3）模长公式：若

3、a（科昌自），rr则|a|、，aa'a；22a2a3rrcos：,ab(4)夹角公式：-rr-|a|b|.a；a1bla2b2a3b322222a2a3*b2b3（5）两点间的距离公式：若A（Xi,yi,z）,蜕4%2）,则AB，ABv(xiX2)2(yiy2)2(ziZ2)2.三、知识讲解考点1平面法向量的求法r在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设n(x,y,z),它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0,建立两个关于x,y,z的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量.还有几种求平面法向量的办法也比较简便.求法一：先来看一个引理：若平面ABC与空间直角坐标

4、系x轴、y轴、z轴的交点分别为A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c),定义三点分别在x轴、y轴、z轴上的坐标值xa=a,yB=b,zc=c(a,b,c均不为0),则平面ABC的法向量为r111n(-,-,-)(0).参数的值可根据实际需要选取.abc证明：AB=(a,b,0),AC=(a,0,c),ruuurumrnAB0,nAC0,r111一n(一，一,一)是平面ABC的法向事.abc这种方法非常简便，但要注意几个问题：(1)若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为，法向量对应于该轴的坐标为0.比r11如右和x轴平仃(父点坐标值为)，和y轴、z轴父点坐标值

5、分别为b、c,则平面法向重为n(0,-,-)；右平面和x,ybcr1轴平仃，和z轴父点的坐标值为c,则平面法向重为n(0,0,-).c(2)若平面过坐标原点O,则可适当平移平面.求法二：求出平面方程，得到法向量.我们先求过点Po(Xo,yo,Zo)及以n=A,B,C为法向量的平面的方程.设P(x,y,z)是平面上的动点，于是有POPn=0,即A(xXo)B(yyo)C(zZo)0整理得AxByCz(AxoBy。Cz°)o令DAxoByoCzo，有AxByCzDo这就是平面的一般方程.平面的方程可用三元一次方程来表示.且x,y,z的系数组成该平面的法向量.注意：(1)有了平面的方程Ax

6、ByCzDo,就能得到平面的法向量A,B,C,可用平面内不共线的三点求出平面的方程.(2)一些特殊情形的平面，方程会更简捷:通过原点的平面，D0,方程为AxByCz0;平行于x轴的平面，A0,方程为ByCzD0;通过x轴的平面，A0,D0,方程为ByCz0；既平行于x轴又平行于y轴的平面，也就是一个平行于xoy坐标面的平面，方程为CzD0；类似地，可讨论其它特殊情形.(3)两平面：AixBiyCizDi0与xB2yC?zD20平行的充要条件是Ai:A2Bi:B2Ci。Di:D2求法三：用行列式求得法向量.若nxlz,n2x2,y2,z2是平面内两个不共线向量，ijk计算行列式xiyizi=ai

7、bjck,x2y2z2则平面的法向量为na,b,c.考点2用空间向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是0,而两个向量的夹角取值范围也是0,那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过一个那个角即可，但对二面角却是个难题.笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考2用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向?uruu对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一）

8、，两个平面的法向量,此则应分别垂直于uruu该平面角的两边.易知，当,同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为.所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可.或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为向内”的方向；否则称为向外”的方向.两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个向内”，而另一个向外”.对第二个问题，我们需要选取一个参照物.在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过xOy平面呢，还是自上而下、

9、.一一.r.一一.一.一一.一一一.穿过xOy平面？若是第一种情形，则n与OZ所夹的角是锐角，只需取法向量的z坐标为正即可；若是第二种情形，r-则n与OZ所夹的角是钝角，只需取法向量的z坐标为负即可.若法向量与xOy平面平行，则可以选取其它如yOz平面、zOx平面观察.（二）用半平面内的向量解二面角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角.如果分别在两个半平面内作两个向量（如图），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的.这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二

10、面角大小带来的影响.考点3空间直线与空间平面的向量形式在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的在立体几何中借用向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的1 空间直线：如果l为经过已知点A且方向向量为a的直线，那么点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足uuurr等式APta，或对任一点O（通常取坐标原点），有uuuruuurrOPOAta这是空间直线的向量形式2 空间平面：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对s、t，使uuuruuuruuurMPsMAtMB,或对空间任一定点O（通常取坐标

11、原点），有uuuruuuuruuuruuurOPOMsMAtMB.这是空间平面的向量形式四、例题精析SC的中【例题1】如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD，底面ABCD,E、F分别是AB、(I)求证：EF/平面SAD;(H)设SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小;【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系 D xyz.设 A(a,0Q), S(0Q b),则 B(a, a,0) C(0, a,0),匚 aa b卅1 bE a, ,0 , F 0,一, , EF a,0,.22 22buur取SD的中点G0,0,一,则AG2a,0,b ,2uuuruuuEFAG,EF/A

12、G,AG平面SAD,EF平面SAD,所以EF/平面SAD.1 1(2)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0)C(0,1,0),S(0,0,2)E1,-,0,F0-1.2 2ur平面AEFG与x轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、G(0,0,1),与y轴无交点，则法向量r(1,0,1),在CD延长线上取点H,使DH=AE,则DH/AE,所以AH/ED,由(1)可知AG/EF,所以平面AHG/平面EFD,平面AHG与x轴、y轴、uuz轴的交点分别为 A(1,0,0)、H(0,- 2 ,0)、G(0,0,1),则法向量n2(1, 2,1),设二面角A EFD的大小为cosur uuUMUn2,

13、即二面角A EF D的大小为arccos33【例题2】已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB/DC,/DAB=90,PA，底面ABCD,且PA=AD=DC=1AB=1,M是PB的中点.2(1)求二面角CAMB的大小；(2)求二面角AMCB的大小.【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角CAMB而言，AD是平面AMB的法向量(向内)，易知平面ACM一.一一.、一.符合向外万向的法向量是自下而上穿过xOy平面，所以与AZ所夹的角是锐角.对二面角AMCB而言，平面ACM选取上述法向量，则为向外”的方向，平面BCM就应选取向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy平面，与z轴正向所夹的角是钝角.(1

14、)如图，以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB的法向量为;=(1,0,0),设平面ACM的法向量为uu=(x,y,z).1由已知C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0),则M(0,1,2),AC=(1,1,0),AM1=(0,1,2).uu,n2由uun2uurACuuuuAM0,0.y1z20,0.urn2=(1,1.2).(满足uu,AZ>0).设二面角CAMB的大小为ururnnur-uunin21J6,所求二面角的大小为arccos6(2)选取(1)中平面ACM的法向量uu% =(1,1,2),设平面BCM的法向量为uu%=(x,y,z)

15、.BC=(1,1,0),BM=(0,1,2),uruuirn3BC0,urujurn3BM0.xy0,1yz0.2取z=2,则y=1,x=1,uun3=(1,1,urur2),则%,%所夹的角大小即为二面角A-MCB的大小,设为cos=uruurn3所求二面角的大小为arccos3【例题3】如图，已知长方体ABCDAiBiCiDi中，AB=BC=1,AAi=2,E是BBi的中点.(1)求二面角EACiB的大小；(2)求二面角CiAEB的大小.GB一.一一.一.一.一一.一.一一【解析】在第(1)题中，只需在ACi上找到两点G、H,使得GB、HE均与ACi垂直，则GB、HE的夹角即uuuuuuu

16、uuuuuruuuuuuuuuu一为所求二面角的大小.如何确定G、H的位置呢？可设GAACi,GBGAABAGAB,这样向量GB就用参一.,>一.、,.数表小出来了，再由GBACi=0求出的值，则向量GB即可确定，同理可定出H点.第(2)题万法类似.以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),Bi(0,0,2),Ci(1,0,2),E(0,0,1).ACi=(1,1,2),AB=(0,-1,0).uuuuuur(1)设GAACi(,2),则uuruuuuuuGBGAAB(,1,2),由GB-ACi=0+(+1)+4=0

17、,1解得：一，151,663一一11一一_图K同理可得：HE=(,0),HEACi=0.22>一二.一一一二GB、HE的夹角等于二面角EACiB的平面角.cos < GBuur uuurGB HEutuuuur一,HE > =uur uuuruuur6GB-uuj2HE|GB HE6GB 2HE1 5_15. 30 . 25面角EACi B 的大小为 arccos(2) AE = (0, 1,1),在 AE 上取点 M、uuuruurMA AE (0,),uur uuur uur则 MB MA AB (0,1,),，i由MBAE = 0得：+1+=0,解得:一MB(0, 2,

18、同理可求得：-NCi = ( 1, 1, -), "NCi E = 0.22.MB、 NCi的夹角等于二面角 CiAEB的平面角.cos< MB , NCi > =uuLr ujurMB NC1Lur juurMB NC1二面角CiAEB的大小为arccos五、课堂运用【基础】1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,/).若Si,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A . Si = S2 = S3C. S3 = Si 且 S3 冷2B.S2=Si且S243

19、D.S3=S2且S36i【解析】设顶点D在三个坐标平面xOy、yOz、zOx上的正投影分别为Di、D2、D3,则ADi=BDi=/,AB=2,111.Si=->2>2=2,S2=SOCD2=g>2=72,S3=SOAD3=j>2.选D.【答案】D.求过点M1(2,0,1),M2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的法向量【解析】方法一：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量MiM21,1,1,M1M32,1,0,设平面的法向量为nx,y,z,由MiM2n0阳,行M1M3n0xy2x令x1,得平面的一个法向量n1,2,1.方法二：设过点Mi（2,0,1）,M

20、2（1,1,0）,M3（0,1,1）的平面的方程为AxByCz0,2A代入点的坐标，得ABD3g,即3D32DWy0,所以平面白方程为x2y0,所以平面的一个法向量n1,2,1.方法三：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量M1M21,1,M1M32,1,0,因为这两个向量不平行，计算i2jk.故所求平面的一个法向量n1,2,1.3.已知正方体ACi的棱长为a,E是CCi的中点，O是对角线BDi的中点，(1)求证：OE是异面直线CCi和BDi的公垂线；(2)求异面直线CCi和BDi的距离.【解析】(1)解法一：延长EO交AiA于F,则F为AA的中点，EF/AC,.CC1AC,CQEF

21、,连结D1E,BE,贝UD1EBE,又O是BD1的中点，OEBD1,QE是异面直线CG和BD1的公垂线.解法二：以D为原点，分别以DA,DC,DDi为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,aaa-a于是有Di(0.0,a),C(0,a,0),Ci(0,a,a),B(a,a,0),Q(a,-，2),E(0,a,-),BD1(a,a,a),CCi(QQa),EO(|,|,0),BDiEO0,CCiEO0,所以OE是异面直线CC1和BD1的公垂线.(2)由(1)知，OE为异面直线CCi和BDi的距离.2所以。ER|a22a4【巩固】1.已知正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为a,求BC与BD间的距离

22、.【解析】解法一：(转化为BQ到过BD且与RC平行的平面的距离)连结AQ,则ADBiC,.BiC/平面ADB,连AC1，可证得AC1BD,AC1AD,aAC1平面A1DB,平面ACi平面ADB,且两平面的交线为AO,过C作CEAO,垂足为E,则CE即为B1c与平面A1DB的距离，也即BC与BD间的距离，在AOC中，1OCA1A-CEAO,/.CEa.故B1c与BD间的距离上3a.2233解法二：以D为原点，分别以DA,DC,DDi所在的直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Bi(a,a,a),A(a,0,a),D(0,0,0),由

23、(解法一)求点C到平面AiDB的距离CE,设E(x,y,z),.E在平面ADB上，uuuuuuuuuuur.AEAiDAiB,即(xa,y,za)(a,0,a)(0,a,a),解得:解法三:23直接求uuu.CEuuu.CEuuuuuumAiD,CE/11(a,a,33B1c与BD间的距离.uuurBD,.(x,y2,z)(a,0,a)0(x,y2,z)(a,a,0).CE旦.3B1c与BD的公垂线为OO1,0,且QB1C,OBD,uuir设O(x,y,z),设DOuuirBD,则(x,y,z)(a,a,0).yzO(a,a,0)同理O1(a,a,a),uuuu.OO1()a,aa,a),uu

24、uu.OO1uuruuuuBD,OO1uuunB1Cuuuuuuir.OO1BDuuumuuur0,OO1B1C0,解得:uuuuOOi111uuuu(-a,-a,-a),|OO1|333,3a.3AC = CCi =2.如图所示，三棱柱ABC-AiBiCi中，点Ai在平面ABC内的射影D在AC上，/ACB=90°,BC=1,2.(1)证明:ACiXAiB;设直线AAi与平面BCCiBi的距离为43,求二面角Ai-AB-C的大小.【解析】方法一：(1)证明：因为AiD，平面ABC,A1D?平面AA1C1C,故平面AAiCiC，平面ABC.又BCLAC,所以BC，平面AA1C1C.连接

25、A1C,因为侧面AA1C1C为菱形，故AC11A1C,由三垂线定理得AC11A1B.(2)BC，平面AA1C1C,BC?平面BCC1B1,故平面AA1C1C，平面BCC1B1.作A1ELCC1,E为垂足，则A1E，平面BCC1B1.又直线AA1/平面BCC1B1,因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=、/3.因为A1C为ZACC1的平分线，所以A1D=A1E=、/3.作DFAB,F为垂足，连接AF.由三垂线定理得A1FXAB,故/A1FD为二面角A1-AB-C的平面角.由AD='/aa2AD2=1,得D为AC中点，DF=m,tan久FD=)=55,所以cosZA1F

26、D=；5DF14所以二面角Ai-AB-C的大小为arccos4方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题设知AiD与z轴平行，z轴在平面AAiCiC内.(1)证明：设Ai(a,0,c).由题设有a或，A(2,0,0),B(0,1,0),则AB = (2, 1, 0), AC = (2, 0, 0), AAi = (a2,0, c), ACi = AC + AAi = (a 4, 0, c), BAi = (a, 1,c).由|AAi|=2,得j(a2)2+c2=2,即a24a+c2=0.又ACiBAi=a24a+c2=0,所

27、以ACiXAiB.(2)设平面BCCiBi的法向量m=(x,y,z),则m±CB,m±BBi,即mCB=0,mBBi=0.因为CB=(0,i,0),BBi=AAi=(a2,0,c),所以y=0且(a2)x+cz=0.令x=c,则z=2a,所以m=(c,0,2-a),一一|CAm|故点A到平面BCCiBi的距离为|CA|cosm,CA=|m|2cc2+(2-a)2c,又依题设，A到平面BCCiBi的距离为、/3,所以c=电,代入，解得a=3(舍去)或a=1,于是aAi=(1,0,也)设平面ABAi的法向量n=(p,q,r),则nAAi,n±>AB,即nAAi=

28、0,nAB=0,-p+/3r=0,且一2p+q=0.令p=也则q=2V3,r=i,所以n=fV3,2V3,i).又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量，故npicosn,p>=|n|p|4所以二面角Ai-AB-C的大小为arccos4【拔高】1.如图，已知ABCD为边长是4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2,求点B到平面EFG的距离.八一.、一,一.分别以CD、CB、CG为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),B(0,4,0).EF=(2,2,0),EG=(2,4,2),设P是平面EFG上的

29、动点，则存在实数s,t,使得CP=CE+sEF+tEG=(2,4,0)+s(2,-2,0)+t(-2,-4,2)=(2s-2t+2,4-2s-4t,2t),P(2s-2t+2,4-2s-4t,2t),BP=(2s2t+2,-2s-4t,2t).当且仅当BP，EF且BP，EG时，BP,平面EFG,BP即为所求的点B到平面EFG的距离.BPEF=0由一一BPEG=02(2s-2t+2)2(-2s-4t)=0-2(2s-21+2)-4(-2s-4t)+4t=01131111>2BP=(一11点B到平面EFG的距离即为|BP211|二11解法二：因为平面EFG的竖截距为2,可设平面EFG的方程为

30、x _y z166 2AxByz1,将E(2,4,0),F(4,2,0)的坐标分别代入，得2A4B1八八，解之6，所以平面EFG的方程为4A2B11B-6即xy3z60点B(0,4,0)到平面EFG的距离为04062,112.如图，正三棱柱ABCAiBiCi的所有棱长都为2,D为CCi中点(I)求证：ABiXWAiBD;(H)求二面角AAiDB的大小；(m)求点C到平面AiBD的距离.BACD【解析】（I）取BC中点O,连结AO.QzABC为正三角形，AO±BC.Q在正三棱柱ABCA1B1G中，平面ABC，平面BCC1B1,AO平面BCGB.取BG中点Oi,以O为原点，Ouu, Ou

31、u ,B(1 Q,0),uuuOA的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(1,1,0),A(0,2,囱),A(0Q，B(1,2,0),uuurAB(1,2,芯),uuinuuur一BD(2,1,0),BA(1,2,V3).ABBD=2+2+0=0,AB1BA=T+43=0,.ABiBD,AB1BA，AB，平面A1BD.uuuu,则存在t R,使得(H)设P是直线AiD上的动点，由(I)可得DA(1,1,V3),uuruuruuuu_OPODtDA1(1,1,0)t(1,1,V3)(t1,t1,V3t),p(t1,t1,石)，PA(t1,t1,而内)。uuruum_当PA，DASH,由PADA0(t1)(t1)V3(V3V3t)uuu282、3此时PA(2,IT)