立体几何专题评估测试题及详细答案

1、时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. (2013-济宇一模)已知"，是空间两条不同的直线，a,8,y是三个不同的平面，则下列命题正确的是A.若a/3fmi1a,nc6【m/nB若aCy=m,6ry=n,勿/n,贝IJ(八8C若me6,a3,则mI.aD若m_L3,7/a,则aL8解析根据线面垂直的判定和性质可知，D正确.答案D2. (2013-课标全国1)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三

2、视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为4。1)与三可28(1,1,0)(1)可以看出正视图是正方形，如图所示.故选A.答案A(2)G(o/，i)解析结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图.根据已知条件作出图形：四面体。.勿盟标出各个点的坐标如图所示,3. 在空间中，不同的直线nJ，不同的平面弘6,则下列命题正确的是A.7/冷门a,贝【Jm/nB.m/a,7/6.则a8C. m_L/,n L/,则 m/n答案D4.（2013-大兴一模）已知平面a, 8,A若 m _L a, m _L 8,则 a/6C.若加a/ ac8=n,则 m/n C 中，当m/a时，m只和过答案CD.

3、 m I. a, m_L 8,则 a/6直线m, n,下列命题中不正确的是B 若加m_L aJIJH-L aD若 m_La,8,则m平面与8的交线平行，所以C不正确.5. （2013-滨州模拟）一个儿何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为A.1侧视图解析山三视图可知，该儿何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为1x1=1,11所以四棱锥的体积7八1x1=-,选B.答案B6 .卜列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两

4、个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直解析A不正确，满足条件的直线可能相交也可能异面；B不正确，当两个平面相交时也满足条件；山线面平行的性质定理可知C正确；D不正确，垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交.答案C7 .某儿何体的三视图如图所示，则该儿何体的表面积为D-（2迈+2）TI解析山三视图可知该儿何体是两个高相等、底面完全重合的圆锥，圆锥的底面半径为1,高为1,则该儿何体的表面积为2xnr/=2XHXlx72=2A2n.答案B8 .设m,门是不同的直线，a8,y是不同的平面，有以下四个命题:a±8=8*、hm/am/nIna.8：®=>n?a.m/

5、6ncaI其中真命题的是A.B.C.D.解析正确，平行于同一平面的两平面平行；中m可能在平面8内，也可能力6,m±8,正确中可能mea.答案A9 .（2013-临汾模拟）若某儿何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该儿何体的外接球的表面积为俯视图B. 5OnC. 25nD IOOTI解析山三视图可知该儿何体为三棱锥，并且在同一顶点上的三条棱两两垂直，且棱长分别为3、4、5,故该儿何体的外接球也就是棱长分别为3、4、5长方体的外接球，则该外接球的半径/?=/32+42+52二八八，所以S=4n/?2=50m答案B10 .（2013-太原模拟）儿何体极弼的三视图如图，其中正视图为直角

6、梯形，侧视图为直角三角形，俯视图为正方形，则下列结论中不成立的是A. BD / 平面 PCFC.平面BCF 平面ADPB. AE，平面 PBCD.CE/DP解析由三视图可知，该儿何体的底面是正方形，且棱EB和都与底面ABCD垂直.若DP,则CE在平面PDA上的射影和DP平行，这和儿何体的侧视图矛盾，故选项D不成立.答案D1L若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a为正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为解析山题意知正四棱锥的每个侧面面积为专a?.设正四棱锥的侧棱长为x,则正四棱锥的斜高所以有f解得x=¥八.2°/7T所以正四棱锥的侧棱与底面所有角

7、的余弦值为逅二看答案c12如图所示，正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别是正方形4切掰/和ABCD的中心，G是CCi的中点，设GF、GE与4B所成的角分别是a、&则q+8等于A.120°B.60°C,75°D.90°解析选BC的中点连接FM、MG,则ZGFM为GF与4B所成的角；连接ED-则ZECiDi为CiE与AB所成的角.计算出MF,MG,E6的长度可知辰二祈，故RtAG/WF八RtACiED,AZGFM+Z£CiDi=90。.选D答案D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13 .将边

8、长为2的正方形沿对角线AC折起，以A,B,C,D为顶点的三棱锥的体积最大值等于解析如图所示，设O是正方形片拉刀的对角线AC和切的交点，m是点A到平面即?的距离，因为S.、88=2,所以当AH最大时，所求三棱锥的体积就最大，由图可知当点H与点。重合时，AH最大，此时刖二人。=迈，则三棱锥的体积最大值为二孳.C答案誓14 .（2013-扬州模拟）正四面体ABCD中，AO_L平面比9,垂足为O,设A4是线段AO上一点,AM且加笈是直角，则而的值为解析如图所示，设正四面体/LO的棱长为2,山条件知O是正三角形及刀的重心，所以BO=CO=半，止I.4设MO=x,K!lj(7/-BM=c+y乂因为须上是直

9、角，所以Bd=Of+B后即4=2（；£+，解得x=¥'乂0=誓，即MO=MO,AMMO答案115 .如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面A3CD_L平面CEFB,CE=1,ZAED=30°,则异面直线BC与熊所成的角的大小为解析山题意，正方形和菱形的边长均为1乂面ABCD工平而CEFB,而以CE_L平面ABCD,于是CE_LCD,从而DE=©UADE中、AD=1.但Z4切=30°夕山正弦定理得-赞匚c=l线匚八冷sinZ4£Z?sinZEADDE-sinZAEDK2所以5nZEAD=心2故ZEAD=45&#

10、176;.XBC/AD,所以异面直线BC与AE所成角为ZEAD,即45。.答案45。16. 设/,m,n表示不同的直线，弘8、y表示不同的平面，给出下列四个命题：若加/,且ml.a,则/_La；若/，且m/a,贝>>I/a：若ac8=1,6ny=m,yCa二n,贝1JI/m/n；若aC6=m,6cy=I,yda=，且/6,则1/m.其中正确命题的个数为.解析正确.中当直线/ua时，不成立.中，还有可能相交于一点，不成立.正确，故有2个正确的命题.答案2三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （10分）（2013济南模拟）如图，斜三

11、棱柱4/瓦。位中，侧面力71/OC底面ABC底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，ZA1AC=6O0,E、F分别是右G.AB的中点.求证：FC,平面ABC；求三棱锥力/必。的体积.A解析（1）证明在平面阳”。内，作AiO,AC,O为垂足.11因为Z4/4勺60°,所以AO=AAAi=AAC.即O为AC的中点，所以OC狼人址.因而ECAi0.因为侧面阳底面ABC,交线为AC,金0±AC,所以aio_L底面收;所以FC_L底面破（5分）（2）F到平面/比的距离等于3点到平面力/反7距离比的一半，而比二百，1111J3111所以VAi-EFC=VF-AiEC=-S/AiE

12、C-BO=-AiE-EC=-3=-（10分）18. （12分）如图，直三棱柱极"/历。中，A4比是等边三角形，D是BC的中点.求证：直线4iD土BiCi；判断如3与平面ADCi的位置关系，并证明你的结论.解析证明在直三棱柱胆药。中，AAi，面ABC,所以41/坊C在等边4ABC中，D是BC中点，所以ADLBC.因为在平面力/皿中，/h/W刃，所以BC,面4/49.又因为AiDu面4/47,所以，AiDBC.（3分）在直三棱柱极中，四边形及Z7为是平行四边形，所以洌。,用所以如D_LfiiCi.（6（2）在直三棱柱ABC-AiBiCi中，四边形ACCiAi是平行四边形，在平行四边形AC

13、CiAi中连接AiC,交于AC1点0,连接DO.则。为如C中点.在三角形如CB中，D为BC中点,0为如C中点，极DO/A1B.（10分）因为DOu平面DACi,AiBQ平面为Q.，所以如B面ADCi,故如B与面ADCi平行.（12分）19. （12分）（2013门头沟区一模）如图，已知平面洒6.且9尻PC，a,PD_L8,C,是垂足.求证：AB_L平面若PC=PD=1,CD=d试判断平面a与平面8是否垂直，并证明你的结论.解析证明因为PC±a,/ABCa,所以PC±AB同理PD±AB.乂PCCPD=只故AB_L平面PCD.（5分）平面a与平面8垂直.（6分）证明设

14、AB与平面PCD的交点为H,连接CH、DH.因为W£济所以PC±CH.在APCD中，PC=PD=1,CD=yi,所以B=X+PJJ=2f即ZCPD=900.在平面四边形PCHD中，尾工如，PC，CH,再以PD/CH。货）又PD_L8,所以CH±8,所以平面a，平面8.（12分）20. （12分）如图，直三棱柱W/应。.中，AABC是等边三角形，D是3c的中点.求证：力拓/年面北日若"二奶/二2,求与平面觉力所成角的正弦值.P证明因为三棱柱位T/为。是直三棱柱，所以四边形A/CCi是矩形.连接A1C交ACi于O,则O是AiC的中点.乂D是BC的中点，所以在

15、AADCi中，OD如B.（3分）因为如肮平面ADCi,ODu平面4X7，所以金3平面ADCi.（5分）因为AABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD±BC.以D为原点，建立如图所示空间坐标系-X".由已知AB=BBi=已得口（000）,4（八3,0,0）,如（羽,0,2）,0（0,-1,2）（6分）则岛二（点0,0）,DN=（0,1,2）,设平面ADC1的法向量为n=（x,y,z），得到1y+2z=0令z=l则x=0,y=2,所以n=（0,2,1）.（8分）乂力=（扇0,2）,得n-DAi=Ox八3+2x0+1x2=2,所以 cos （DAi, n）22 八 35设Ai

16、D与平面ADCi所成角为6则sin/=lcos咸i,n>1=八%（口分）所以&1D与平面ADC】所成角的正弦值为零.C2分）121. （12分）（2013-南京模拟）如图，在直角梯形ABCP中，AP/BC,AP.LA&AB=BC=-AP=2.D是AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将ZPCD沿CD折起，使得PD，平面ABCD.求证：平面PCD_L平面刖D：求面面与面切9所成锐二面角的大小.解析证明TPD_L平面然少，”_LCD.9：cdLad,.cd_L平面d.TCDu平面月6,平面PCD_L平面月4。15分）如图以D为原点，以岛，滋炭为方向向量建立空间直

17、角坐标系不忆则有关点及向量的坐标为6（1,2,0）,E（0,l,矢胆0,0,1）,京=（0,1,0）,左=（1,1,1）.（7分）设平面EFG的法向量为n=（x,y,z）,nA=0n-EA=0取。=（1/0/1）5F面EFG的一个法向量.（10分） 滋二（100）为平面石叨的法向量，cos（戒,h）lAMnl2 面面与面石叨所成锐二面角的大小为45。.（12分）22.（12分）（2013朝阳一模）如图，在四棱锥0中，平面网C，平面极且R亿PA=AD=2.四边形ABCD满足BC/AD.AB±AD,AB=纪小点&F分别为侧棱PB,PC上的点，PF_PF_.PB=%人、求证：EF平

18、面PAD；(2)当入二打寸，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；(3)是否存在实数入，使得平面AFD_L平面PCD若存在，试求出入的值；若不存在，请说明理PEPF解析证明由已知，亦二龙二人，所以EF/BC.因为比427,所以EF/AD.而EFQ平面PAD、ADu平面PAD,所以FF平面PAD.(4分)因为平面平面为平面被刀d平面PAC=AC,且网_LAC,所以网_L平面ABCD,所以网_L4?,_Lad.乂因为AB_LAD,所以网，AB,AD两两垂直.如图所示，建立空间直角坐标系，因为AB=BC=bPA=AD=2,所以A(OQO),B(l9090)9C(1,1,0),0(0,2,0),P(0Q2)当人二扑寸，F为PC中点，所以彳才T，I),所以藤=(一去pij,cb=(-i,i设异面直线即与所成的角为为所以COS疗二Icos:就金）所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为警.（8分）设F（xo,加zo）贝得若=（xo,火田zo-2）,龙二（1j，-2）由已知原二入丸所以（xo,ifflZ