立体几何线面垂直的证明

1、立体几何证明【知识梳理】1 .直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）1.1. 线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。（线面垂直线线垂直）性质2:如果两条直线同垂直于

2、一个平面，那么这两条直线平行三。平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行1. 平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（1L面垂直线面垂直）知识点一【例题精讲】1.在棱长为2的正方体ABCDAB1c1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点EFABC1D1 D1C1 B1CB1C B1 EFC 2.如图所示，四棱锥PA

3、BC曲面是直角梯形，BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCDE为PC的中点，PA=AD=AB=1.(1)证明：EB平面PAD;(2)证明：BE平面PDC;(3)求三棱锥BPDC勺体积V.3、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,ABAD,ACLCD,/ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点，证明：(1)AEXCD(2)PDL平面ABE.4 、.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,/BAA1=60(I)证明：ABA1C;练习1、如图，菱形ABCD与等边PAD所在的平面相互垂直，AD=2,/DAB=60.(I)证明：ADPB;(H)求三棱锥C

4、-PAB的高.5 .如图1-4所示，ABC和ABCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2,/ABC=/DBC=120,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.求证：EFL平面BCG;6 .如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，/ACB=90,BC=1,AC=CC=2.(1)证明：AC11A1B;4、如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFEL平面ABC,ZACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：BF,平面ACFD;(n)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.5、三棱锥P-ABC中，/BAC=90,PA=PB=PC

5、=BC=2AB=2,(1)求证：面PBCXWABC6.已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDCL底面ABCD,E为PC的中点.(1)求证:PA/平面EDB;(2)求证：平面EDBL平面PBC;7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB，平面ABCD,PAPB,BP=BC,E为PC的中点.(1)求证：AP/平面BDE;2.求证BE垂直平面PAC8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M-ABCD(如图二)，若在四棱锥M-ABCD中有MA=J5.(1)求证：ACXMD;(2)求四棱锥M-ABCD的体积.作业1、如图1,菱形AB

6、CD的边长为12,/BAD=60,AC交BD于点O.将菱形ABCD沿对角纹AC折起，得到三棱锥B-ACD,点M,N分别是棱BC,AD的中点，且DM=6匹.(I)求证：ODL平面ABC;2、如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，。是AC的中点，A1OL平面ABC,/BCA=90,AA1=AC=BC.(I)求证：A1BXAC1；3、如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是/ABC=60的菱形，M为PC的中点，PC=/6.(I)求证：PCXAD;4、如图，四棱锥P-ABCD中，APL平面PCD,ADIIBC,AB=BC=1AD,E,F分别为线段AD,PC2的中点

7、.(I)求证：AP/平面BEF;(n)求证：BE，平面PAC.5、如图，四棱锥S-ABCD中，AB/CD,BCXCD,侧面SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=1,SD=(1)证明：CDLSD;6.如图，四棱锥S-ABCD中，4ABD是正三角形，CB=CD,SCXBD.(I)求证：SB=SD;(n)若/BCD=120,M为棱SA的中点，求证：DM/平面SBC._2_7、如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，ABAE-AD4,3现将|ABE沿BE边折至|PBE位置，且平面PBE平面BCDE.(1)求证：平面|PBE平面PEF;AB/DAB90 ,四边形AF EF 2, AD CD 4.8、如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且/DAB=60,PAPD/,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明：AD平面DEF;9、在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为直角梯形,ADEF为等腰梯形，EF/AD,已知AEEC,ABP ABCD 中，ABAC , PA 平面 ABCD ,(i)求证：平面