旋转综合题及答案

1、旋转综合题.解答题(共14小题)1 .阅读与理解：图1是边长分别为a和b (a>b)的两个等边三角形纸片 ABC和C DE放在一 起(C与C'重合)的图形.操作与证明：(1)操作：固定ABC,将AC DE点C按顺时针方向旋转30°,连接AD, BE, 如图2;在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)操作：若将图1中的AC' DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度 飞 连接AD, BE,如图3;在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证 明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当 a为多少度时，线段AD的长度最大是多

2、少？ 当a为多少度时，线段AD的长度最小是多少？2 .如图1、2是两个相似比为1: &的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.(1)在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AG BC交于点E, F,如图4.求证：AE2+BF2=E1;(2)若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和 CD延长线分别与 AB交于点E、F,如图5,此时结论A+bFeL是否仍然成立？若成立，请给出(3)如图6,在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足 CEF的 周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M

3、、N,试 问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并 给出证明；若不能，请说明理由.3 .某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60。角的直 角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置，现将 RtA AEF绕A点按逆 时针方向旋转角 a (0°<a<90 ),如图(2), AE与BC交于点M, AC与EF交于 点N, BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN;(2)当旋转角a=30M,四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.4 .如图 1,在 ABC中，/A=36°, AB=AC / ABC的平

4、分线 BE交 AC于 E.(1)求证：AE=BC(2)如图(2),过点E作EF/ BC交AB于F,将 AEF绕点A逆时针旋转角a (0°<a< 144 )得到AAE' F'连结 CE, BF',求证：CE =BF(3)在(2)的旋转过程中是否存在 CE7/ AB?若存在，求出相应的旋转角 a; 若不存在，请说明理由.E'5 .在 RtAABC中，/C=90°, AC=1, BC=/5,点。为 RtAABC内一点，连接 A0、BO> CO,且/AOC=Z COB=BOA=12Q按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，

5、将4AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到O'（得到A、O的对应点分别为点A'、O'）,并回答下列问题:,/ A' BC=,OA+OB+OC=/ ABC=6 .在4ABC中，BA=BC Z BAC=c, M是AC的中点，P是线段BM上的动点, 将线段PA绕点P顺时针旋转2 a得到线段PQ.（1）若a=60a点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点 D,请补全图形，并写出/ CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D, 猜想/CDB的大小（用含a的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的

6、a,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B, M重 合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出 a的范围.AA飞图1 C图2 c7 .已知，在 ABC中，AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角9,直线a交BC边于点P （点P不与点B、点C重合）， BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.(1)当 / BAC=/ MBN=90 时, 如图a,当8 =45寸，/ANC的度数为;如图b,当8W450时，中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图c,当/ BAC玄MBNW90。时，请直接写出/ AN

7、C与/ BAC之间的数量 关系，不必证明.8 .如图，四边形ABCD是边长为3近的正方形，长方形AEFG的宽AE=-,长EF=1V5.将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图),这时 2BD与MN相交于点O.(1)求/ DOM的度数；(2)在图中，求D、N两点间的距离；(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由.9 .某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下:如图1,在等腰直角 ABC中，AB=AC /BAC=90,小敏将一块三角板中含 45 角的顶点放在A上，从AB边

8、开始绕点A逆时针旋转一个角a,其中三角板斜边 所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线 BC于点E.(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现：若AD平分/BAM, 4 / 31则AE也平分/MAC.请你证明小敏发现的结论；(2)当0 < a< 45°时，小敏在旋转中还发现线段 BD、CE DE之间存在如下等 量关系：BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将 ABD沿AD所在的直线又t折得到 ADF,连接EF (如图2) 小亮的想法：将 ABD绕点A逆时针旋转90°得到4ACG连接EG (如图3

9、); 请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出当 45 < a< 135°且 并90°时，等量关 系B+CEDE2仍然成立，先请你继续研究：当135 < a< 180°时(如图4)等量 关系BDCED台是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.10 .如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角 a (00< a <45°),得到正方形OAiBiCi.设边BiCi与OC的延长线交于点 M,边BiAi与OB 交于点N,边BiAi与OA的延长线交于点E,连接MN.(D 求

10、证： OCMzXOAE;(2)试说明： OMN的边MN上的高为定值；(3)zMNBi的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化， 请给予证明，并求出p的值.11 .在正方形ABCD的边AB上任取一点E,彳EF±AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG CG 如图(i),易证 EG=CGS EG±CG(1)将4BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数 量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.(2)将4BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的 数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以

11、证明.12 .己知：正方形 ABCD(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF此时，线段 BE DF 的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论.(2)如图2,等腰直角三角形FA谈直角顶点A顺时针旋转/ %当0°<a<90° 时，连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成 立，请说明理由.(3)如图3,等腰直角三角形FA谈直角顶点A顺时针旋转/ a,当a=90°时， 连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线 DF垂直平分BE.请 直接写出结论.(4)如图4,等腰直角三角形FA谈直角顶点A顺

12、时针旋转/ %当90°<a< 180° 时，连接BD DE EF、FB得到四边形BDEF则顺次连接四边形BDEF各边中点 所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论.13 .如图，点O是等边 ABC内一点，/ AOB书，/BOC项.将 BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得AADC,连接OD.(1)当0=110； a=150M,试判断4AOD的形状，并说明理由.10 / 31（2）探究：若B=110；那么a为多少度， AOD是等腰三角形?（只要写出探究结果）a二度.14 .已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF，BD交BC于F, 连

13、接DF, G为DF中点，连接EG, CG.（1）求证：EG=CG（2）将图中4 BEF绕B点逆时针旋转45°,如图所示，取DF中点G,连接EG, CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由；（3）将图中4 BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，（均不要求证明）问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论旋转综合题 参考答案与试题解析一.解答题（共14小题）1. （2017%云港四模）阅读与理解：图1是边长分别为a和b （a>b）的两个等边三角形纸片 ABC和C DE放在一 起（C与C'重合）的图形.操作与证

14、明：（1）操作：固定ABC,将AC DE点C按顺时针方向旋转30°,连接AD, BE, 如图2;在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)操作：若将图1中的AC' DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度 飞 连接AD, BE,如图3;在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证 明你的结论； 猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当 a为多少度时，线段AD的长度最大是多少？ 当a为多少度时，线段AD的长度最小是多少？【解答】解：操作与证明：(1) BE=AD C' DE点C按顺时针方向旋转30°, ./ BCEW ACD=3

15、C®, ABC与AC DE等边三角形，CA=CB CE=CD. .BC昭 AACD,BE=AD(2) BE=AD C' DE点C按顺时针方向旋转的角度为 a, ./ BCE=/ ACD=, ABC与AC DE等边三角形，CA=CB CE=CD. .BC昭 AACD, BE=AD猜想与发现：当a为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b;当a为00 (或360°)时，线段 AD的长度最小，等于a-b.2. (2014?£沙校级自主招生)如图1、2是两个相似比为1: 五的等腰直角三角 形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一

16、直角边 重合.(1)在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E, F,如图4,求证：AE2+BF2=E1;(2)若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和 CD延长线分别与 AB交于点E、F,如图5,此时结论A+bFeL是否仍然成立？若成立，请给出 证明；若不成立，请说明理由.(3)如图6,在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足 CEF的 周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试 问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并 给出证明；若不能，请说明理由.【解答】证明：(1)连CD

17、,如图4,二.两个等腰直角三角形的相似比为1:血，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边， 点D为AB的中点， .CD=AD /4=/ A=45,又. / 1 + /2=/ 2+7 3=90°, / 3=/ 1, .CDH AADEE, . CF=AE同理可得 CE阴BFD,CE=BF而 ce2+cF?=eF?, . aW+bFe后(2)结论A片+BF2=EU仍然成立.理由如下：把4CFB绕点C顺时针旋转90°,得到4CGA如图5 . CF=CG AG=BF / 4=/ 1, / B=/ GAC=45, ./ GAE=90,而 / 3=45°,. / 2+/

18、 4=90 -45 =45°, / 1+/ 2=45°,. .CG陷 ACFEGE=EF在 RtAGE中，AE?+AG2=GE2, . aW+bFe后(3)线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长.理由如下：把4ADF绕点A顺时针旋转90°得到AABP,点N的对应点为Q,如图DP B E C /4=/ 2, /1+/ 3+/4=90°, BP=DF BQ=DN, AF=AP CEF勺周长等于正方形ABCD的周长的一半，EF=B+DF,EF=EP .AE售 AAEF3, / 1=/ 3+/4,而 AQ=AN,.AMQAAMN,MN=QM,而 / ADN

19、=/ QBA=45 , / ABD=45 , ./ QBN=90,BC2+BM2=QM2, BM2+DN2=MN2.3. (2013徵底)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置，现将RtAAEF 绕A点按逆时针方向旋转角 a (00<a<90 ),如图(2), AE与BC交于点M, AC与EF交于点N, BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN;(2)当旋转角a=30M,四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.【解答】(1)证明：.用两块完全相同的且含 60°角的直角三角板

20、ABC与AFE按 如图(1)所示位置放置放置，现将 RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角 a (0 < a< 90°), AB=AR Z BAM=Z FAN, 在AABM和AAFN中， '/FAN=/BAM，AB二AF,lzb=zf.ABMAAFN (ASA,a AM=AN;(2)解：当旋转角a =3啊，四边形ABPF是菱形.理由：连接AP,. / a =30； ./ FAN=30, ./ FAB=120,vZ B=60°,Z B+Z FAB=180, AF/ BP,Z F=Z FPC=60, / FPC 力 B=60 , a AB/ FP,一四边形ABP

21、F是平行四边形，v AB=AR:平行四边形ABPF是菱形.E12/314. (2013?益阳)如图 1,在4ABC中，/ A=36°, AB=AC / ABC的平分线 BE交 AC 于 E.(1)求证：AE=BC(2)如图(2),过点E作EF/ BC交AB于F,将 AEF绕点A逆时针旋转角a(0°<a< 144 )得到AAE' F'连结 CE, BF',求证：CE =BF(3)在(2)的旋转过程中是否存在 CE7/ AB?若存在，求出相应的旋转角 a;若不存在，请说明理由.图C)图2)(备用图)【解答】(1)证明：: AB=BC /A=3

22、6, /ABC叱 C=72,又; BE平分/ ABC /ABE之 CBE=36,丁. / BEC=180- / C- / CBE=72, /ABE之 A, /BECW C,AE=BE BE=BC . AE=BC(2)证明：v AC=AB且 EF/ BC,AE=AF由旋转的性质可知：/ E' AC=F' A BAE' =A F 在 ACAE和 ABAF 中rAC=AB，ZE7 AC"' AB,加二AF， .CAE ABAF, .CE =B.F（3）存在 CE / AB,理由：由（1）可知AE=BC所以，在 AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过 的路径（

23、圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形， ./ BAM=/ABC=72,又/ BAC=36,丁. a h CAM=36 .当点E的像E'与点N重合时，由 AB/ l 得，/ AMN=/ BAM=72 ,v AM=AN, ./ANM=/ AMN=72 , ./ MAN=180 -2X72 =36°,丁. a h CAN=Z CAM+/MAN=72 .所以，当旋转角为36°或72°时，CE/AB.（备用图）5. （2013?常州）在 RtAABC中,5c=90°, AC=1, BC

24、亚，点 O 为 RtAABC内一点，连接 A0、BO、CO,且/AOC=Z COB=BOA=12Q按下列要求画图（保留画 图痕迹）：以点B为旋转中心，将4AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到O'（得到A、 O的对应点分别为点A'、O'）,并回答下列问题：/ ABC= 30° . /A' BC=90, OA+OB+OC=也一A【解答】解：./C=90, AC=1, BC靖， .tan / ABC=-=, BC V3 3 ./ABC=30, AOB绕点B顺时针方向旋转60°,.A' O'如图所示；/A' BC=

25、ABC>60 =30° +60 =90°, /C=90, AC=1, /ABC=30, AB=2AC=2 AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到O',B .A' B=AB=2BO=BO, A O' =AO .BOO是等边三角形， .BO=OO, /BOO=/ BO O=60 vZ AOC=Z COB=/ BOA=120 , . / COBV BOO =/ BO A+/ BO O=12(+60°=180°, .G O、A'、O'四点共线，在A B中，A 第4+仁工2=山守+2 2=行, . OA+OB

26、+OC=A C+OO +OC=A C=7.故答案为：30° 90°小.6. （2012日匕京）在 ABC中，BA=BC / BAC=x, M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2 a得到线段PQ.（1）若a=6Cfi点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形，并写出/ CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想/CDB的大小（用含a的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的a,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B, M重 合）时，能使得线段CQ的延长线与射线

27、BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出a的范围.【解答】解：(1) .BA=BC /BAC=60, M是AC的中点, BMXAC, AM=MC,二.将线段PA绕点P顺时针旋转2 a得到线段PQ, .AM=MQ, /AMQ=120 , . CM=MQ, / CMQ=60 , .CMQ是等边三角形， ./ACQ=60, ./ CDB=30;(2)如图2,连接PC, AD,. AB=BC M是AC的中点， BMXAC,即BD为AC的垂直平分线，.AD=CD AP=PC PD=PD在AAPD与ACPD中，fAD=CD PD-PD, lPA=PC. .AP*CPD (SSS, ./ADB=/ CDB /

28、 PAD之 PCD又 = PQ=PA . PQ=PC / ADC=匕 1, / 4=/ PCQ玄 PAD, ./ PA>/PQD=/4+/PQD=180, ./APC+/ADC=360- (/PAC+/PQD) =180°,丁. / ADC=180- / APQ=180 -2a, .2/CDB=18 0-2a, ./ CDB=90- a;(3)如图1,延长BM, CQ交于点D,连接AD,/ CDB=90- a,且 PQ=QD丁 / PAD玄 PCQ=Z PQC=2Z CDB=180 -2 a,二.点P不与点B, M重合， / BAD>/ PAD>/ MAD,丁点P在

29、线段BM上运动，/ PAD最大为2 a, / PAD最小等于a, .2a> 180 -2a> a, .45°< a< 6047. （2012?本溪）已知，在 ABC中，AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的 位置开始绕点A按顺时针方向旋转角9,直线a交BC边于点P （点P不与点B、 点C重合）,BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN, 连接CN.（1）当 / BAC1 MBN=90 时,如图a,当8=45寸，/ANC的度数为 45° ;如图b,当8W450时，中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c,当/ BAC玄MBN

30、W90。时，请直接写出/ ANC与/ BAC之间的数量 关系，不必证明.【解答】解：（1）:/ BAC=90, 8=45； .AP，BC, BP=CP（等腰三角形三线合一）, . AP=BP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）又/MBN=90, BM=BN,；AP=PN （等腰三角形三线合一），AP=PN=BP=PC且 ANXBC, 四边形ABNC是正方形， ./ANC=45;连接CN,当8W45°时，中的结论不发生变化.理由如下：./ BACW MBN=90 , AB=AC BM=BN,丁 / ABC玄 ACB=Z BNP=45 ,又./ BPN=Z APC, . .BN&qu

31、ot; AACF一 , AP PC又./ APB之 CPN,. .AB" CNP, ./ANC=Z ABC=45;(2) /ANC=90-lZBAC.2理由如下：./ BACWMBNw90°, AB=AC BM=BN, /ABC玄 ACB=Z BNP= (180°-/BAQ,又./ BPN=Z APC, . .BN" AACF-=-;AP PC'又./ APB之 CPN,. .AB" CNP, ./ANC=Z ABC,在 ABC 中，/ ABC1(180°-/BA。=90°-工/BAC 228. (2012?怀化)如

32、图，四边形ABC或边长为3函的正方形，长方形AEFG的宽 AE=y,长EF孑声.将长方形AEFGgg点A顺时针旋转15彳马到长方形AMNH (如 图)，这时BD与MN相交于点O.(1)求/ DOM的度数；(2)在图中，求D、N两点间的距离；(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ请问此时点 B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由.GHDA.V【解答】解：（1）根据题意得：/ BAM=15,丁四边形AMNH是矩形,/ M=90 ,丁. / AKM=90 - / BAM=75 , / BKO玄 AKM=75 ,二.四边形ABC或正方形， ./ABD=

33、45,丁. / DOM=/ BKOfZABD=75+45 =120o;(2)连接AN,交BD于I,连接DN,v NH=1, AH=1V3, /H=90, 22 .tan / HAN区二区 AH 3丁. / HAN=30 , . AN=2NH=7,由旋转的性质：/ DAH=15,丁. / DAN=45 ,/ DAC=45,A, C, N 共线，二.四边形ABCD正方形，BD± AC,. AD=CD=3 三,.DI=AI=AC三,:芯，CD,=3,NI=AN- AI=7-3=4,在 RtDIN 中，DN=JDI2+ni2=5;(3)点B在矩形ARTZ的外部.理由：如图，根据题意得：/ B

34、AR=15+15°=30°,./ R=90, AR，27. AK=_=-=L&, cos30'近 32. AB=3/2>y,点B在矩形ARTZ的外部.H图2"9. (2012?德)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1,在等腰直角 ABC中，AB=AC /BAC=90,小敏将一块三角板中含 45 角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角a,其中三角板斜边 所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线 BC于点E.(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现：若AD平分/BAM, 则AE也平分/MAC.请你证明

35、小敏发现的结论；(2)当0 < a< 45°时，小敏在旋转中还发现线段 BD、CE DE之间存在如下等 量关系：b+cEdW.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将 ABD沿AD所在的直线又t折得到 ADF,连接EF （如图2） 小亮的想法：将 ABD绕点A逆时针旋转90°得到4ACG连接EG （如图3）; 请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当 45 < a< 135°且 并90°时，等量关 系BDCdE2仍然成立，先请你继续研究：当135 < a< 180&

36、#176;时（如图4）等量 关系bD?+cEd是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.图I图3图3图4【解答】（1）证明：如图1, ./BAC=90, / BAC+Z dam+z MAE+Z EAC=90./ DAE=45, ./ BAC+/EAC=45. . / BAD=/ DAM,丁. / BAC+Z EACW DAM+Z EAC=45,丁. / DAM+Z MAE=/ dam+z eac丁. / MAE=/ EAC,即 AE平分/ MAC;（2）选择小颖的方法.证明：如图2,连接EF.由折叠可知，/ BAD=Z FAD, AB=AF BD=DF,vZ BAD=/ FAD.由（

37、1）可知，/ CAEq FAE'研二 AC在AAEF和AAEC中，,NFAE=/CAE, L AE=AE .AE售AAEC （SAS , CE=FE Z AFE=Z C=45. / DFE"Fa/AFE=90.在DFE中,DF+FE2=DE2,. b+cEd邑(3)当1350<a< 180°时，等量关系BDF+CEDW仍然成立.证明如下：如图4,按小颖的方法作图，设 AB与EF相交于点G.将 ABD沿AD所在的直线又t折得到 ADF, .AF=AB /AFD=/ ABD=135, / BAD=/ FAD.又AC=AB . .AF=AC又. /CAE=90

38、-/BAE=90 (45 - Z BAD) =45° + ZBAD=45+Z FAD4 FAE丁 / CAEW FAE在AAEF和AAEC中，'研二 AC，ZFAE-ZCAE,lae=ae.AE售AAEC (SAS ,CE=FE /AFE=Z C=45.丁. / DFE=/ AFD- / AFE=/ 135 - Z C=135 - 45 =90°.丁. / DFE=90.在DFE中,dF2+fE?=dE?, bD2+cE?=dE2.却10. (2012?高淳县一模)如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方 向旋转角a (0< a< 45),得到

39、正方形OAiBiG.设边BQi与OC的延长线交于 点M ,边BiAi与OB交于点N,边BiAi与OA的延长线交于点E,连接MN .(1)求证： OCMOAE;23 / 31(2)试说明： OMN的边MN上的高为定值；(3)zMNBi的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化, 请给予证明，并求出p的值.【解答】(1)证明：二.正方形OABGZ AiO&Z AiOM=Z QOM + Z AiOM=90 , .Z A1OE=ZGOM,rZ0A1E=ZC1在OGM 和OAE 中，°片二。5,:N%0E = NJOM.OQMAOAE (ASA;(2)解：: OQMAO

40、AE (已证)，OE=OM,r0E=0I在EON和MON 中，NEON=NMON=45° ,lon=onEO阵 MON (SAS,EN=MN,.OMN的边MN上的高等于 OEN边EN上的高，即OA的长a,为定值;(3) p不会发生变化，是定值2a.理由如下：根据(1) (2), OGM组OAiE, AEOIAMON, .MN=EN, AE二GM, .MNBi 的周长 p=MN+NB,+MBi,=ENi-NBi+MB1,=EB+MBi, =AiE+AiBi+MBi, =GM+AiBi+MBi, =AiBi+BiCi,.正方形OABC的边长为a, AiB尸BiG=a,p=2a,是定化11

41、. (2011?齐齐哈尔)在正方形 ABCD的边AB上任取一点E,彳EF=1 AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG CG 如图(1),易证EG=CGS EG±CG(1)将4BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数 量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.(2)将4BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的 数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.【解答】 解：(1) EG=CG EG± CG.(2) EG=CG EG± CG.证明：延长FE交DC延长线于M,连MG.vZ AEM

42、=90 , / EBC=90, / BCM=90 ,四边形BEMC是矩形. .BE=CM /EMC=90,由图（3）可知，v BD平分 / ABC, / ABC=90,/ EBF=45,又 : EF!AB,.BEF为等腰直角三角形BE=EF / F=45°.EF=CM/EMC=90, FG=DGMG=- FD=FG2v BC=EM BC=CDEM=CDv EF=CMFM=DM,又 = FG=DG/CMG旦/EMC=4 5, 2 / F=/ GMC.fFG=MG在AGFE与AGMC中，“NF=/GMC,iEFXM. .GF昭AGMC （SAS.EG=CG / FGEW MGC. /FM

43、C=90, MF=MD, FG=DG MGXFD, ./ FGE-ZEGM=90,丁. / MGC+Z EGM=90 ,即 / EGC=90,EG± CG.12. (2011川东)己知：正方形 ABCD(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF此时，线段 BE DF 的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论.(2)如图2,等腰直角三角形FA谈直角顶点A顺时针旋转/ %当0°<a<90° 时，连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成 立，请说明理由.(3)如图3,等腰直角三角形FA谈直角顶点A顺时针旋转

44、/ a,当a=90°时， 连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线 DF垂直平分BE.请 直接写出结论.(4)如图4,等腰直角三角形FA谈直角顶点A顺时针旋转/ %当90°<a< 180°时，连接BD DE EF、FB得到四边形BDEF则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论.【解答】 解：(1) BE=DFM BEX DF;(2)在4DFA和4BEA中，vZ DAF=90 - / FAB / BAE=90 - / FAB, 丁. / DAF=Z BAE, 又 AB=AD, AE=AF .DFA zBEABE=DF /ADF4 ABE,BE! DF;(3) AE=(&-1) AD;(4)正方形.F图13.(20117州校级一模)如图，点O是等边 ABC内一点，/AOB书，/BOC瓶.将 BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得AADC,连接OD.(1)当0=110； a=150M,试判断4AOD的形状，并说明理由.(2)探究：若0=110；那么a为多少度， AOD是等腰三角形？(只要写出探究结果) a=125°或110°或140° .(3)请写出 AOD是等边三角形时a、B的度数.a=120 度;B=120 度.