四年级奥数第一讲数的整除问题

1、第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a, b, c为整数，且a+b=c,我们就说，a能被b整除(或者说b 能整除a)。用符号“ b| a ”表示。2、因数和倍数：b (c)是a的因数(或约数),最大因数是它本身。如果a能被b整除,即a+ b=ca是b (c)的倍数.的因数：;的因数：;的因数：;的因数：的因数：的因数：由a+b=c得：a=bxc,我们就说提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1 ,练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：;72的因数：;83的因数：;94的因数：;106的因数：;125的因数：;11公因数(公约数)：几个自然数公有的因数，叫

2、做这几个自然数的公因数(公约数)。如：3和4的公因数是： , 6和8的公因数是： 3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把 大于1的自然数分为两类：质数与合数 。(1)质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(素数)。(2) 合数：一个数，除了 1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。(3 ) 0和1既不是质数，也不是合数。、请写出20以内的所有质数：注意：最小的质数是,质数里面除了 是偶数外，其它都是 数。4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。这里所说的“两个数”是指除0外的所

3、有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。”例如，2与7、13与19、3与10、5与26等等4、质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，它们叫做这个合数的质因数练习：13X4=52,13和4都是52的因数吗？ 13和4都是52的质因数吗？分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数练习一把下列各数分解质因数(1) 21(2) 42(3) 36当数字比较大的时候，我们用 短除法可以快速的分解质因数例题一用短除法把下列各数分解质因数(1) 180(2) 630练习1、把下列各数分解质因数(1) 960(2) 25202、(第九届小学

4、希望杯全国数学邀请赛)在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是3、(2012年第十届希望杯试题)只能被 1和他本身整除的自然数叫做质数，如：2,3,5,7等，那么，比40大并且比50小的质数是 ，小于100的最大的质数是 。4、(第七届希望杯试题) 若用G(a)表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、 2、3、6,共 4 个，记作 G (6) =4,则 G(36)+G(42)= 5、(2016 年第十四届希望杯)已知a,b,c 都是质数，若a x b+b x c=119 ,则a+b+c=.二、数的整除性：1、能被 2 整除的数的特征：个位数一定是0， 2， 4， 6 或 8。偶数：

5、能被2整除的整数称为偶数，如： 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,奇数：不能被2整除的整数称为奇数。如： 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，偶数X偶数=偶数，偶数X奇数=偶数， 奇数x奇数=奇数。提醒：（ 1 ）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；（ 2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；2、能被5 整除的数的特征是：个位是 0 或 53、能被3 整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3 整除如

6、：27, 215 等等4、能被9 整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9 整除如：81, 216 等等5、能被4 或 25 整除的数的特征是：末两位数能被4 或 25 整除如： 264 能被 4整除， 150 能被 25整除6、能被8或 125整除的数的特征是：末三位数能被8 或 125整除 。如： 2168 能被 8 整除，不能被125 整除7、能被7（ 11 或 13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差， （大减小）能被7（ 11 或 13 ）整除例如：判断 1540 是否是 7 的倍数？解：把 1540 分成 1 和 540 两个数，因为540-1=53

7、9，由 539 能被 7 整除，所以1540 能被 7整除，因此1540 是 7 的倍数例题1、已知六位数 西?兔"能被3整除，数字a=?解：2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除，数字a只能是2, 5或8。即符合题意的a 是2, 5或8。例题2、五位数48A1B能同时被2,3,5整除，则A=, B=。例题3、（2012年第十届希望杯决赛）如果六个连续奇数的乘积是135135,则这六个数的和是 O练习：1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）若9位数2008口 2008能够被3整除，则口里的数是2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是 8的倍数，

8、则 a24b8最大是,最小是3、四位数8A1B-能同日被2,3,5整除，则这个四位数是 .4、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）在 2013的质因数中，最大的质因数与最小的质因数的乘积是（）。5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是420,则这两页的页码数的和是（）。6、（2014年第十二届希望杯初赛试题）自然数a是3的倍数，a-1是4的倍数，a-2是5的倍数，则a最小是 57。分析：从题目中可以看出，这个数 a是3的倍数，也是4的倍数余1,也是5的倍数余2.可以用枚举法，先从 5的倍数余2考虑，末尾应该是 2或者7.末尾是2

9、,不符合4的倍数余1,所以末尾肯定是 7.从小到大枚举：7,17,27,37,47,57. 只有57符合。三、整除的性质:1、如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。2、（* ）如果a能被b整除，a也能被c整除，并且b、c互质（除1以外，没有其它公共因数），那么，a就能被b和c的乘积整除。例如：24能被3整除，24也能被4整除，由于3和4互质，所以24也能被3X4=12整除。例题4、在3口2口的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省小学生数学竞

10、赛初赛试题）解：因为15=3X 5,且3和5互质。所以，只需分别考察能被 3和5整除的情形。由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是 5,则有3 + 2 + 5=100可推知，百位上最大可填入 8。即组成的四位数是3825;若个位上是0,则有3 + 2+0=5o可推知，百位上最大可填入 7。即组成 的四位数是3720。 故知，这个数是3825。例题5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）一个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,则这样的数中最小的是（）。例题6、（2012年第十届希望杯试题）有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个

11、6个地数, 多4个；8个8个地数，少2个。已知这筐桃子的个数不少于 120,也不多于150,则这筐 桃子共有 个。练习：1、（2016年第十四届希望杯 ）若六位数a2016b能被12整除，则这样的六位数有 个。2、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛决赛试题）如果一个小于100的自然数除以3,除以4,除以5都余2,那么这个数最小是 ,最大是巩固练习：1、36 的因数有（1,2,3,4, 6,9,12,18,36 ）,它的质因数有（2,3）。2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210,这三个小朋友的年龄分别是（5 ）岁、（6 ）岁、（7 ）岁。解：用短除法

12、分解质因数：210=2 X 3X 5X 7=5X 6X 73、有一个长方形，长和宽都是整厘米数，面积是231平方厘米。这个长方形的长和宽分别是（）、（）解：用短除法分解质因数： 231=3X7X11则此长方形的长和宽有以下几种情况：1、长3X7=21cm ,宽11cm ; 2、长3X11=33cm ,宽 7cm ; 3、长 7X11=77cm ,宽 3cm。4、若9位数2016口 2016能够被9整除，则口里的数是 9解：个位数字之和是 9的倍数，可以得出，方框内应填“9”5、某个自然数，被 3除余2,被5除余4,被7除余6,这个自然数最小是 。6、已知五位数A329B能同时被8和9整除，贝U

13、 A= 5, B= 6。分析：根据能被8整除的数的特征，后三位应该能被8整除，29B除以8,列 竖式，可以推算出B=6o然后根据能被9整除的数的特征，各位数字之和能被9 整除，所以A=5.7.五位数船97A能被12整除，这个五位数是 8、一位采购员买了 72个微波炉，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账 的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72个微波炉，共用去口 679口元（口为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是 元。（注：微波炉单价为整数元）。解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=8X 9, 8和9互质， 若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。由能被8整除的数的特征（末三位数能被 8整除）知，79b能被8整除，则b=2;由能被9整除 的数的特征知，a+6 + 7+9 + 2=a+24能被9整除，贝ij a=3。故这笔账应是36792元。9、要使六位数15ABe6能被36整除，而且所得的商最小，问A, B, C各代表什么数字？分析与解：因为 36=4X9,且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数夜百而能被4整除，就要C6能被4整除，因此C可取1,3, 5, 7, 9。要使所得的商最小， 就要使15ABC6这个