异面直线所成角练习

1、实用文档标准文案i .如图，在正方体 ABCD -AB1GD中，异面直线AiD与BCi所成的角为DiJ 口3A. 30°【答案】【解析】.45°9 90°试题分析：如图所示,连接BiC,AD与BC所成的角为90° .故选：D.考点：异面直线及其所成的角2.已知平行六面体=/ AiAD= i20° ,ABCD- AiBGD中，底面 ABC皿边长为 则异面直线 AC与AiD所成角的余弦值（的正方形，AA = 2, /AAB ). T47i55Jc5试题分析：设向量 AB=a, AD = b, AA, = c ,则 AC = a+ b+ c,AD =

2、 b c , ACi = 2, AD = ,7 ,COS ：AC1,A1D =AC1I4。7考点：空间向量的集合运算及数量积运算。3 .正方体 ABCD AiBiGDi 中，E,F,G,H 分别是 AAi, AB , BBi , BG 的中点，则直线EF与GH所成的角是（）A. 30°B .45°C . 60°90°【答案】C【解析】试题分析：由三角形中位线可知EF AiB,GH L BCi，所以异面直线所成角为 NABG ,大小为60°考点：异面直线所成角4 .在正方体 ABCD ABiCiDi中，E是BCi的中点，则异面直线 DG与BE所成

3、角的余弦值为（）A. 2 底 B , 2d0C . _2j20 D . 2 店【答案】B【解析】105试题分析：取BC中点F ,连结FD , FC1 ,则/ DCF为异面直线所成角，设边长为2,.GF ”5,DCi =：8, DF = 5 cos DCiF考点：异面直线所成角5 .如图，正四棱柱ABCD-A'BCD'中（底面是正方形，侧棱垂直于底面）AA'=3AB,则异面直线 A'B与AD'所成角的余弦值为（）7ioA、9B 、4 CI05【答案】A【解析】、r、 l一，t 1 一、 ，.， 1' f-'.'_'.试题分析

4、：连结BC ,异面直线所成角为/ ABC ,设AB = i,在AABC中AC' =、2, AB = BC' =、.而.9cos - A BC =io考点：异面直线所成角6 .点P在正方形 ABCD所在平面外，PA，平面ABCD, PA = AB ,则PB与AC所 成的角是A. 60°B. 90°C. 45口D. 30°【答案】A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2,所以PB与AC所成的角就是 上 FEA ,由题意可知： EF = AE = AF = J2 ,所以 ZFEA =601考点：异面直线的位置关系.,- _ 一_

5、一7 .如图所不，在棱长为1的正万体 ABCD A1B1clD1中，M是棱CD的中点，则A1M与DC i所成角的余弦值为()22 C10, 10,.一百B.豆 C. 一行D.加【答案】A 【解析】试题分析：以分别以DA,DC,DD1为x, y, z轴的正半轴建立空间直角坐标由棱长_1 一则 D。0。，41。1),0,”,。©1,1),所以-11 T?AM =(-1,2,-1),DC10+2-1,2二(0 , 1,1 cos < A1M , DC1 >= -2=,故选 A.3.262考点：空间向量所成角的余弦值8.在正方体ABCD ABiCQi中，E、F分别为AB、BC中点

6、，则异面直线EF与ABi所成角的余弦值为A.,3【答案】D【解析】试题分析：联结 ACBiC则/BiAC即为所成的角。B1AC为等边三角形，所 一 1以 cos._B1AC =cos60* 二2考点：异面直线所成的角9 .在正方体 ABCD- ABCQ中，点P在线段 AD上运动，则异面直线 CP与BA所的0角的取值范围是（）o<<-o<5<-A.一 B.C.二 D.二【答案】D【解析】如图，连结 CD,则异面直线CP与BA'所成的角0冗等于/ D'CP,由图可知，当 P点与A点重合时，0 =3当P点无限接近 D'点时，0趋近于0.由于是异面直线，

7、故 0 W0.选D考点：空间几何体，异面直线所成角10 .如图，正方体 ABCD ABCiDi,则下列四个命题: P在直线BCi上运动时，三棱锥 A - Di PC的体积不变;P在直线BCi上运动时，直线 AP与平面ACDi所成角的大小不变;P在直线BCi上运动时，二面角 P -ADi -C的大小不变;M是平面ABiCiDi上到点D和Ci距离相等的点，则 M点的轨迹是过 Di点的直线其中真命题的个数是A. 1 B .2 C .3 D .4【答案】C【解析】试题分析： BC1 II平面AD1 , BC1 /上任意一点到平面AD1c的距离相 等，所以体积不变，正确.P在直线BG上运动时，直线AB与

8、平面ADiC 所成角和直线AC1与平面AD1c所成角不相等，所以不正确.当P在直线 BCi上运动时，AP的轨迹是平面PADi ,即二面角P - ADi - C的大小不受影 响，所以正确.M是平面ABGD1上到点D和C1距离相等的点，M点 的轨迹是一条与直线DC,平行的直线，而DDi=DiG,所以正确，故答案为： C .考点：异 面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的 立体几何综合题.ii .如图，正方体 ABCD-ABGDi中，AB的中点为 M DD的中点为 N,则异面直线 BM与 CN所成的角是（）A. 0 B. 45 C. 60 D. 90DiClt【答案】D【解析】试

9、题分析：解：取 AA的中点E ,连接EN , BE交BiM于点O ,实用文档Ct则 EN BC ,且 EN = BC二四边形BCNE是平行四边形.BE/CN丁 ZBOM就是异面直线B1M与CN所成的角,而 Rt BB1M 三 Rt ABE二 /ABE=/BB1M , NBMB1 =/AEB,二 /BOM =900 .故选 D.考点：异面直线所成角12 .如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA1=&，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于【答案】60°【解析】试题分析：由直四棱柱 ABCD-AB1cl D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长

10、AA1 = J2可得BD1 =2,由ABI-AB1 知/ABD1就是异面直线 AB1与BD1的夹角，且AB 1 cosjABD1 =一，所以2ABD1=60。，即异面直线 AB1与BD1的夹角大小等于BD1260° .考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13 .如果直线AB与平面口相交于B,且与口内过点B的三条直线BC, BD, BE所成的角 相同，则直线 AB与CD所成的角=.【答案】900【解析】试题分析：因为，直线AB与平面u相交于B,且与a内过点B的三条直线BC, BD,BE所成的角相同，所以，直线 AB在平面口内的射影应是BC, BD夹角的平分线，同时也应是 BD,BE夹角及

11、BC, BE的平分线，因此，直线 AB在平面a内的射影是点B ,即AB _L a ,而CD u久，所以AB _L CD ,直线AB与CD所成的角为900考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.14 .平行六面体 ABCD-A1BCD中，以顶点A为端点的三条棱长度都为 2,且两两夹角为60。，则DBi和CiA1所成角大小为 .、6 arccos- 6DB1 =AB+AA AD,A1C1 = AB +ADDBi GA = . 2 ADAB AA -AD (AB AD) = AB AB+AA AB+AA AD-AD AB2AD =4DBf =|ab；+ aa1 -AD2 =AB12十2十“2.AD

12、十 2 AB1AAi标准文案-2ABi AD -2AA1 AD=8, DB1= 2J2 ，同理：设DBi和CiA所成角大小为日cos9 = cos < DB1 ,C1A > =DB1 C1ADB1|C1Al2% 2 2 36arccos- 6考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角;15 .已知四面体 ABCD中，DA = DB = DC =3j2 ,且DA, DB,DC两两互相垂直,点。是AABC的中心，将ADAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线 DA与 直线BC所成角的余弦值的最大值是 【解析】试题分析：当 OABC时，直线DA与

13、直线BC所成角最小，对应的余弦值最大, cos/OAD ；易知：AB = AC =BC =6, OA =6 丑=2. 3 , cos OAD = OA = 2 3 ;3DA 3. 2考点：异面直线所成的角.即,6316.如图所示， ABCD -A1BC1D1为正方体，给出以下五个结论：BD平面CB1D1； AC1，平面 CB1D1 ;AC1与底面ABCD所成角的正切值是 J2 ； 二面角C -BD -Ci的正切值是 J2 ； 过点A1且与异面直线 AD和CB1均成70。角的直线有2条.其中，所有正确结论的序号为 .【答案】【解析】试题分析：如下图，正方体 ABC> ABCD中，由于BD/

14、 BiD ,由直线和平面平行的判定定理可得BD/平面CBD ,故正确.故正tan /由正方体的性质可得 BiDXAO, CGL B1D1,故 BD,平面 ACOA,故BiDiXAG 同理可得BiC±AC.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC,平面CBD ,确.CC.1工AC与底面ABCDF成角的正切值为 =产= ,故不正确.AC22取 BiD 的中点 M,则/ CMC即为二面角 C- BD- C的平面角， RtCMC中,CMC= CG = L = . 2 ,故正确.CiM二2如下图，由于异面直线 AD与CB成45°的二面角，过 Ai作MIN/ AR PQ/ CB,设MN

15、W PQ确定平面 a , / PAM=45° ,过 A 在面a上方作射线 AH,则满足与 MN PQ成70°的射线 AiH有4条：满足/ MAH=/ PAH=70的有一条，满足/ PAH=/ NAH=70 的有一条,满足/ NAH=/ QAH=70 的有一条，满足QAH=/ MAH=70的有一条.故满足与 MN PQ成70°的直线有 4条，故过点 A与异面直线 AD与CB成70°角的直线有4条，故不正确.考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.17.如图，正方体 ABCD-AiBCD中，E, F分别是正方形

16、ADDAi和ABCD勺中心，G是CC 的中点。设GF, CE与AB所成的分别为u, P ,则a+P =【解析】试题分析：取正方形BiCCB的中点为点O,连结OCi, OE,取BC的中点为点 A ,连结GH , FH ,通过分析可知 OG GH , OE/ FH得平面CiEO平面GFH，设正方形边长为2,在 AGFH 中，GH =6，FH = i,ntt .2则 s - i: n ,c在ACiEO中OE =2, C!E = J6, OC122 一二cos P =-=,所以 a + B = 一。 632考点：直线与平面所成角，面面平行问题。18.如图所示，在三棱柱 ABC-ABC中,点E、F分别是

17、棱AB BB的中点，则直线AAL底面 ABC AB= BC= AA, A ABC= 90° , EF和BC的夹角是【解析】试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系.由于 AB=BC=AA不妨取AB=2则E (0, TT1, 0), F (0, 0, 1), Cl (2, 0, 2). EF = (0, 1,1), BC1= (2, 0, 2). . T Tcos < EF, BC1 >= EF BC14 =-2-= = 1 . .异面直线 EF 和 BC 的夹角为工.故|EF|BC1|：2 %8 23答案为：-.39考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角

18、.19 .如图，在直三棱柱 ABC AB1C1 中，/ACB = 90°, AA1 =2,AC = BC =1 ,则异面直线AB与AC所成角的余弦值是【解析】试题分析：由于 AC / AC1,所以ZBAiCi （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在 ABACi 中，A1B=爬,ACi=1, BC1 =y/5 , cosZBA1C1 = 6+5 = 6 .2、, 6 16考点：异面直线所成的角.20 .在正三棱柱 ABCAB1cl中，各棱长均相等，BC1与B1c的交点为D ,则AD与平面BB1cle所成角的大小是 .【答案】600【解析】试题分析：如图所示取 BC中点E,连接AE,

19、DE耳易得AD与平面BB1C1C所成角为/ADE ,设正三棱柱棱长为 2,则等边三角形 ABC边上的中线 AE = J3, DE=1,直角三角形中/ADE = 60°考点：直线与平面所成的角.21 .如图，直三棱柱 ABC-AB1G 中，AB= AC= 1 , AA = 2, /3人1。= 90° , D 为 BB 的中 点，则异面直线 CD与AC所成角的余弦值为 .15【解析】试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于90口）本题中我们就可以把C1D向下平移到过点C （实际作图时，是延长

20、BiB至ij E ,使BE = B D,则有CE/ C D,然后在 MiCE中求出ZAiCE ,就可得出题中要求的角.考点：异面直线所成的角.22 .四棱锥PABCD勺所有侧棱长都为 J5,底面ABC虚边长为2的正方形，则 CD与PA所成角的余弦值为.54-5 = 525 25【解析】试题分析：.正方形ABCD中，CD/ AB,PAB或其补角就是异面直线CD与PA 所成的角， PAB 中,PA=PB= <5 , AB=2 , cos /222PA2 AB2 - PB2PAB=2PA AB考点：1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角23 .如图所示，正方形 ABCD43, E、F分别是AB AD的中点，将此正方形沿 EF折成直二面角后，异面直线 AF与BE所成角的余弦值为【解析】试题分析：过F做FH/DC ,过A做AG _LEF ,连接GH ,在三角形AGH中，AH =110+2=73, /AFH即为异面直线AF与BE所成角.44设正方形ABCD的边长为2,则在|_AFH中，AF =1, FH =2, AH =J3,1 coMAFH =一,故答案为2考点：异面直线所成的角的计算ABCD - A1B1C1D1 E为 C1D1AE BC3【解析】如图，由