二分法求函数零点

1、分法的概念对于在区间a, b上连续不断且f（a） f（b）0的函数y= f（x）,通过不断地把函数 f（x）的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点 与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.给定精确度?,用二分法求函数了 零点近似值的步骤如下：确定区间。，句，验证了.他 0,给定精确度S ；（2）求区间（a ,方）的中点11；计算/。1）:i若,则人就是函数的零点；2 若/（&） .0,则令6 =11 （此时零点1 口 c以瓦）；3若加.川）o,则令a =11 （此时零点工o e（网力）；（4）判断是否达到精确度 C;

2、即若1白-6| F,则得到零点近似值1 （或5 ）;否则重复步骤2-4 .结论：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解思考：为什么由F,便可判断零点的近似值为。（或卜）?一、能用二分法求零点的条件例i下列函数中能用二分法求零点的是（）判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变 号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点 不适用.变式迁移1下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）二、求函数的零点例2判断函数y = x3-x-1在区间1,1.5内有无零点，如果有，求

3、出一个近似零点（精确度0.1）.分析 由题目可获取以下主要信息：判断函数在区间1,1.5内有无零点，可用根的存在性定理判断；精确度0.1.解答本题在判断出在1,1.5内有零点后可用二分法求解.解 因为f（1） = 10,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线，所以它在区间 1,1.5内有零点，用二分法逐次计算，列表如下:区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25-0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 5-0.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于 |1.375 1.312 5| = 0.062 50.1 ,所以函数的一个近

4、似零点为1.312 5.点评由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达.事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.变式迁移2 求函数f(x) = x3+ 2x23x6的一个正数零点(精确度0.1).解 由于f(1) = -60,可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.5-2.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1.75)1.625- 1.302 7(1.625,1.75)1.687 5-0.561 8(1.687 5,1.75)1.718 75-0.170 7由

5、于 |1.75 1.687 5| = 0.062 50.1 ,所以可将1.687 5作为函数零点的近似值.三、二分法的综合运用例3证明方程6-3x=2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1).分析由题目可获取以下主要信息：证明方程在1,2内有唯一实数解；求出方程的解.解答本题可借助函数f(x) = 2x+ 3x-6的单调性及根的存在性定理证明，进而用二分法求出这个解.证明 设函数f(x)= 2x+ 3x- 6, -f(1) = - 10,又f(x)是增函数，所以函数 f(x) = 2x+ 3x-6在区间1,2内有唯一的零点，则方程6-3x=2x在区间1,2内有唯一一个

6、实数解.设该解为X0,则Xo61,2,取 Xi=1.5, f(1.5) = 1.330 , f(1) f(1.5)0 ,f(1) f(1.25)0, .xo 6 (1,1.25),取 X3= 1.125, f(1.125) = 0.4450 ,f(1.125) f(1.25)0 , xo 6 (1.125,1.25),取 X4= 1.187 5, f(1.187 5)= 0.160,f(1.187 5) f(1:25)0 ,Xo (1.187 5,1.25). |1.25- 1.187 5|= 0.062 50.1 ,1.187 5可以作为这个方程的实数解.点评用二分法解决实际问题时，应考虑两

7、个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解.变式迁移3 求舱的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01).解设 x=3/2,则 X32=0.令f(x) = x32,则函数f(x)的零点的近似值就是3/2的近似值，以下用二分法求其零点的近似值.由于f(1) =10,故可以取区间1,2为计算的初始区间.用二分法逐步计算，列表如下:区间中点中点函数值1,21.51.3751,1.51.250.046 91.25,1.51.3750.599 61.25,1.3751.312 50.261 01.25,1.312 51.281 250.103 31.25,1.281 25

8、1.265 6250.027 31.25,1.265 6251.257 812 5-0.011.257 812 5,1.265 6251.261 718 750.008 6由于 |1.265 625 1.257 812 5| = 0.007 810.01 ,所以函数f(x)零点的近似值是1.26 ,一 3 即 2的近似值是1.26.四、总结1 .能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.12 .二分法实质是一种逼近思想的应用.区间长度为 1时，使用“二分法” n次后，精确度为 了.3 .求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.精确度为

9、e,是指在计算过程中得到某个区间(a, b)后，若其长度小于e,即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|ab|为止.练习1 .下列函数中不能用二分法求零点的是()A. f(x)=2x+3 B. f(x)=lnx+2x-6C. f(x) = x2-2x+ 1 D. f(x)=2x-12,设f(x)=3x+ 3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x6(1, 2)内近似解的过程中得f(1)0 , f(1.25)0 ,则方程的根落在区间()A. (1,1.25) B . (1.25,1.5)D. (1.5,2) D.不能确定3,函数f(x) = x25的正零点的近似值(精确

10、到0.1)是()A. 2.0 B, 2.1 C. 2.2 D, 2.34.方程2x1 + x= 5的解所在的区间是()A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D . (3,4)5,用二分法研究函数f(x) = x3+3x1的零点时，第一次经计算f(0)0 ,可得其中一个零点Xo ,第二次应计算 .以上横线上应填的内容为()A. (0,0.5), f(0.25) B. (0,1), f(0.25)C. (0.5,1), f(0.25)D. (0,0.5), f(0.125)6 .在用二分法求方程f(x) = 0在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)0 , f(0.687 5)0 ,即可得