第二章刚体的转动

1、 第二章 刚体的转动1 1刚体的定轴转动刚体的定轴转动一.刚体 ： 无形变。 物体内任意两质点距离保持不变。 二.平动与转动1.平动： 刚体内任一给定直线在运动中其方位始终保持不变。 活塞、升降机等。特点：各质点的运动状态完全一样。2.定轴转动定义： 刚体内各质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，此直线称为转轴。转轴固定称为定轴转动。三.刚体的定轴转动特点：各点转动的角位移、角速度、角加速度都相同。可用角量进行描述。可用角量进行描述。 刚体的运动均可视为平动与定轴转动的合成。四.角速度矢量：定义：转轴上的有向线段。r大小线段长短方向 : 右手螺旋判定定轴转动： 的方向？可用正负表示方向。tddr

2、v速度m角夹rv2 2 刚体的角动量刚体的角动量 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量一. 角动量1. 质点的角动量观察地球绕日运动：Ormvsin = 恒量地球的角动量定义：L L = rmv大小和方向？rvL2.刚体的角动量各质量元角动量之和。转轴imirmrmrmrLiiiiii22vmmmrmrdd22转动惯量JL= J二.转动动能组成刚体各质点的动能之和。JrmmEiiiiK21212122v三. 转动惯量1.定义：2iirmJ 若为连续分布：vdmrJ22.物理意义：J m , 转动惯性大小的量度。单位：kg m2质点系：动量: mv角动量： J例题 P106 例4rdm222mrd

3、mrdmrJ在圆盘上取一半径为 r 的圆环rdJ = r2 dm = r22r dr = 2r3 dr40322RdrrdJJR= mR2几种刚体的转动惯量见表 41J 与哪些因素有关？决定转动惯量的因素决定转动惯量的因素 转动惯量 J = miri2 或 J=r2 dm 是物体转动惯性大小的量度，它的大小由物体的质量、质量分布和转轴的位置三个因素来决定。 请看下面的实例。 1.匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量 (杆长为l ，质量为M)1) 垂直于杆的轴通过杆的中心O J1= M l 2 2) 垂直于杆的轴通过杆的端点O1 J2= M l 2 121312.匀质圆盘的转动惯量 (圆盘质量为M

4、，半径为R)1) 对通过盘心垂直盘面的转轴 J1= MR 2 2) 对通过直径的轴 J2= MR 2 2141o结论： (1) 刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。 (2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。 4.挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量 (圆环质量为m，半径为R)J=mR 2 + mR 2 =2mR 2 3.挂钟摆锤的转动惯量（杆长为 l, 质量为 m1,摆锤半径为 R，质量为 m2）222221)(2131lRmlmlmJ 一.力矩 1.定义：frd M = f d = f r sinfrM 定轴转动：力

5、矩的方向可用正负号表示。 若力不在垂直转轴的平面内，则如何？2.合力矩 iMM 代数和。作用：3 3 力矩力矩 转动定律转动定律3.内力的力矩oz取任意两个质点，分析力矩。r1r2F12F21d12 r1 sin1 = r2 sin2 = d M = F21 r2 sin2 F12r1 sin1 = 0所有的内力成对出现，所以有：0iMM内例题：有一大型水坝高110米，长1000米，水深100米，求水作用在大坝上的力；及这个力通过大坝基点Q且与x轴平行的轴的力矩。思路：力与力矩均是变量，要分部分求和。dFdAy hdF = ( P0 + g ( hy )dAhyLPF00dLhyLyhg0d)

6、(力矩：QydM = y dFhhLydyyhgLydyPdMM000)(3206121LhgLhPx二.转动定律导出思路：牛顿第二定律。取质点mi ，其将绕oz轴作圆周运动。分析受力：mi0zriFiFiamFFiii切向：iiiiirmamFF同乘以 ri2iiiiiirmrFrF法向力矩为零，内力矩为零。)(2iiiirmrFtLtJJrmMiidddd)(2三.平行轴定理zcc过质心转轴zdm J = Jc + md2 例题. 一质量为m=2.0kg的物体A，用细绳跨过一滑轮B和一弹簧C相连接，如图所示。已知弹簧的劲度系数k=20N/m，滑轮的半径R=0.1m，绕轴的转动惯量J=0.0

7、3kgm2，设绳与滑轮之间不打滑，A与斜面间及滑轮转轴处摩擦不计，绳轻且不可伸长，斜面倾角为37，取重力加速度g=10m/s2，求： 1.A下滑的加速度 2.A下滑的最大速率 3.A从静止释放（此时弹簧处于原长）沿斜面下滑的最大距离。 mR Jk分析： 这是一个由质点、刚体和弹簧组成的系统。当质点A由静止释放后，A沿斜面下滑，滑轮B同时转动，弹簧被拉长。A开始做边加速运动，当弹簧被拉到某一长度时，作用在A上的合外力为零，作用在B上的合外力矩亦同时为零，此时A的速度最大，B的角速度最大。若此时A所处的位置为O，则物体A以O为平衡位置在斜面上做谐振动。处理这类问题常用的方法有两种： 方法一方法一：

8、应用牛顿定律与转动定律。 方法二方法二：应用机械能守恒定律。分析滑块受力：maTmg1sin选圆盘B为研究对象，受力如图 a 就等于滑轮边缘的切向加速度 .21221MRJRTRTRa T2 = kx由以上四式解得：xmMkxmga44 . 221sin当 x = 0.6 m 时，a = 0 x 0 方向沿斜面向下 x 0.6 m 时，a 0 方向沿斜面向上 由运动学关系知xtxxtaddddddddvvvv积分xxx00d)44 . 2(dvvv得248 . 4xxv当 a = 0 时， x = 0.6 m v = vm= 1.2 m/s4. 4. 定轴转动动能定理定轴转动动能定理一. 力矩

9、的功力的功： dW = F ds (直线运动)力矩的功： dW = M d (定轴转动) 导出：考虑力做功，见图mfrddW = f cosds = f cosr d = f r sind= M dMdW 外力矩的功。二.动能定理质点： W外 + W内 = Ek Ek0刚体： 2022121JJW导出：ddJdtdddJdtdJJM2022121JJdJMdWW 外力矩的功，仅在定轴转动时成立。 例题 如图，求1.杆处在水平位置的角加速度；2.竖直位置的角速度，角加速度；3.竖直位置质心与端点的加速度。解1.3lo2323291mldrrJllplgJmglJM236/2. 重力矩做功：dmg

10、ldWcos6/62/0mgldWW0212JWlgImg333重力矩为 0, = 03.lglrvcc36lglrvBB332lglrvAA33竖直位置，只有法向加速度：2632gllgraccgllgraAA332gllgraBB232323 3 角动量角动量 定理定理 角动量守恒定律角动量守恒定律一.角动量定理 力矩对时间的积累效应动量定理：vdmdtFvmdtFI角动量定理：dJdtMJdtM导出：dtLddtdJdtdJJMdJdtM1221JJdtMtt角动量定理角动量定理冲量矩冲量矩二. 角动量守恒定律 若0M则：0dtLd即可得：恒量 LL恒量 IL LL、均为恒量。L、乘积为恒量。例 题 求人在盘上跑一周，人与盘相对地转动的角度。解： 见图 角动量守恒： J J= 0221MRJ 2mRJ 2Mm人对台的角速度：2MmM 人跑一周所需的时间：)2(22mMmt人对地的角度：t车对地的角度：t1.强相互作用：短程力，它使原子核牢固的保持为一个整体，尽管质子间存在很大的排斥作用。2.电磁力：长程力，它使原子核与电子能聚集在一起形成原子。3.弱相互作用：短程力，能引起粒子间的某些过程，例如中子和原子的放射性衰变，以及其它粒子的衰变。4.引力：长程力，在宇宙的构造和演化