一元函数导数的若干个解法

1、一元函数导数的若干个解法摘要：在高等数学这门学科中，微积分的计算是贯穿整个学科的重要知识点，而其中函数的求导则是微积分计算的基础，由此可见学会如何求函数的导数也是非常必要的。本文主要介绍了一元函数求导的几种常见解法，如定义求导法，导数的四则运算法，复合函数的求导法，高阶导数的求导法以及利用莱布尼茨公式等。在这些方法中，定义求导法，导数的四则运算法是属于基础的方法，而后几种方法是需要重点掌握的，并要求能在计算中灵活运用。关键词：一元函数 导数 复合函数 Several derivations of functionsAbstract: In Higher mathematics,the calc

2、ulation of calculus is the key point of the whole subject,and the derivation of function is the base of the calculation,so its very necessary to learn how to derive.This article will recommend some methods of the derivation of unary fuction,such as, the definition of derivative, the four fundamental

3、 operations of arithmetic of derivative,composite function derivation,the derivation of derivatives of higher order and using Leibniz formula and so on.In these methods,the definition of derivation, the four fundamental operations of arithmetic of derivative are basic way.But the other methods must

4、be understood and used flexibly in the calculation. Key words:unary function derivate compound function高等数学主要包括了函数极限，微积分，空间解析几何与级数等几大部分内容。在这门学科中，微积分的计算是贯穿整个学科的重要知识点，而其中函数的求导则是微积分计算的基础，其中一元函数的求导问题更是基础中的基础。一元函数的导数是一类特殊的函数极限。在几何上函数的导数就是曲线的切线斜率，在力学上路程函数的导数就是速度。因此导数具有鲜明的几何意义和物理意义，是连接几何学科，其它数学学科及物理等的桥梁。所以

5、掌握计算一元函数导数的方法是非常重要的。本文总结了几种比较常见的用来解决各种形式的一元函数导数的方法。1.定义求导法任何问题都可以从定义上来得到解决，因此根据一元函数导数的定义，我们可以求一些比较基本的问题。一元函数导数的定义如下：设函数=在点的某一邻域内有定义，若自变量在处的改变量为（0，+)仍在该邻域内时，相应的函数有增量=;如果与之比当时，有极限=存在，则称这个极限为=在=处的导数。并且说，函数=在=处可导，记作。例1 若设函数=2，则=（ ） A2 B.6 C. D.0分析 该题目就是考察有关导数定义的题目，因此观察这个极限可以发现它与函数导数的定义形式很是类似。要从定义入手，其解答过

6、程如下：=3=3=32=6因此正确答案为B。2.四则运算求导法2.1利用导数的四则运算法则导数的四则运算法则为：设在处可导，有：=， =+，=，。例2 1.=; 2.=; 3.=,;解 1.=；2. =2x+3;3.=;2.2利用四则运算法则求导应注意的问题 应先将函数简化为最简形式，这样可以为下一步求导省去很多的计算过程。 在求导运算中，加、减、乘比较简单，而除法不太方便。因此，对于类似于根式除法形式的函数可以先将其改为乘法运算形式，更方便做求导运算。3.复合函数求导法3.1利用复合函数的求导法则3.1.1公式法设由=,构成复合函数=。若在处可导，=在处可导，则复合函数=在处可导，且有。若是

7、多层复合函数，则可以逐次使用此方法求它的导数。例3 1. = 2. =解 1.令=，由复合函数的求导法则可以得 ，即=； 2令，则由复合函数的求导法则得：=3。 3.1.2利用复合函数的求导法则时应注意的问题 求复合函数的导数一直以来都是高等数学中学习的重点与难点，因此在复合函数的求导过程中一定要由表及里层层解决，不要漏层： 若是复合函数的各层函数均是基本初等函数： 正确地分析此复合函数有哪些中间变量并依次求导，最后相乘即可； 若在此函数中包含了四则运算，则要按四则运算的规则进行。 若是复合函数中含有类似于或是分段函数的形式，应先把最终的复合函数用分段函数表达出来。当在不同区间上的函数均为初等

8、函数时，在各区间内部可按初等函数的导数进行求导，而在分段点上应按分段函数导数进行求解。 根据一阶微分的不变性可知，可以求出的微分，然后式子两边同时去掉，即可得。由此当是复合函数时，可利用一阶微分不变性由表及里层层求出的微分，然后得。 在复合函数的求导过程中，应注意以下几点： 与的差别：前者为导数在的值，而后者表示的是一个常数（即在处的函数值）的导数即为0。 与的另一差别：前者为对求导后得到的，将代入即可；而后者表示复合函数，关于的导数，必须使用复合函数的求导法则。 与的关系为：。3.2反函数求导法设为的反函数，若在点的某邻域内连续，严格单调且，则在点（）可导，且。证 令，由于函数在点的某邻域内

9、连续且严格单调，则在的某邻域内连续且严格单调。因此，当且仅当时，且当且仅当时。故由，可得：。对于一些不能直接求导数的函数，可以间接的先求其反函数的导数，然后再由这个公式求得原函数的导数。例4 证明。证明 令，则，。 根据反函数的求导法则，可得：，其中。 因为， 所以。3.3参数方程的求导法设=是由参数方程=，=所确定的函数，其中，在区间I内可导，且0，则=。若是，在二阶可导，则可进一步求出二阶导数，即=例5 设=，=,则=? （2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一的二（9）题）解 利用参数方程的求导法可得，=-，=,则有=-,= = =故：=0 3.4隐函数的求导法设有二元函数，在区间I

10、上存在函数=满足=0，则称这个函数=为方程在区间I上确定的隐函数。若可以表示为其显函数即=的形式，则要先求出的显函数，然后根据其显化形式=选择合适的方法求导；若不能表示为=的形式，在求时，常用下列方法:要先在方程的两边同时对进行求导，则可求得或是所满足的方程，再解出或即可；将方程两边同时微分，写成形式，即可求出； 公式法：由二元函数确定的隐函数y=的导数为：其中分别是二元函数对的偏导数。例6 已知函数=由确定，则=？解 方法一：当时，由题目所给的方程得=0。先在此方程两边对求导，可得：，然后将带入上式，得=0。方法二：，则利用上述的公式法，可得：，将代入此式，故得：=0。方法一中将看做自变量，

11、则是关于的一元函数，而方法二中均是自变量，则是关于的二元函数。3.5幂指数函数的求导法对于幂指数函数的求导，一般是不能直接求出其导数，经常使用的方法有转化形式法和对数求导法。3.5.1转化形式法将表示成的形式，然后求导（其中,均可导）即：=3.5.2对数求导法将两边分别取对数,得。然后两边对求导得。因此， 。例7 设+，求=？解 可先分别求出和的导数，最后根据导数的四则运算求出， 令，将两边同时取对数，则：，然后两边对求导，即：， 。故：在这两个方法中，对数求导法不仅适用于幂指数函数，而且还便于计算函数连乘积、函数乘方、函数开方等形式的导数。它是简化简化求导的一种方法，但在有加减运算时慎用。例

12、8 设，求。解 这是个连乘积的求导，应用对数求导法更方便。因为函数可以取负值，故先取绝对值后再取对数，得：，对求导，得：，因此：。3.6变限积分的求导法设在连续，在可导，当时，则在可导，且：例9 设连续，则（ ）。（1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一的一（3）题） A. B. C. D.解 令，则，故： 即答案为A. 在求变限积分函数的导数时要注意：若被积函数中含有积分上限变量，一般先把提到积分号外才能求导，若是不能直接提出积分号，则可考虑用换元法将变换成积分的上下限，再求导。4.分段函数的求导法当求分段函数的导数时，关键是求连接点处的导数。求连接点处的导数一定要按左右导数定义进行计算

13、，只有当左右导数相等时，才认为函数在连接点处可导；若是不相等，则函数的导数在连接点处是没有定义的。对非连接点处的求导就是通常的非分段函数的求导，那如何求连接点处的导数？ 不同的情形可分三种：按求导法则分别求出连接点处的左右导数； 设，为某常数，若，又。按定义求出连接点处的导数或左右导数；设，其中为某常数，在处无定义，则可按定义求:,.若上述极限均存在且相等，记为，则。连接点是连续点时，求导函数在连接点处的极限值。设的空心邻域内可导且在处连续。若存在极限，则。例10 确定常数a和b,使得函数 ，处处可导。解 这是一个分段函数，根据题目可知，由于在处可导，可知在 处连续。由函数的表达式可知，在右连

14、续，故在连又因为在可导.则： ，.因此在处可导，故当 时处处可导。5.高阶导数的求法在解决高阶导数的问题时，可以使用的方法是有多种的，而常用的方法依次为下：5.1归纳法对于一些函数可以先逐一求出的一、二、三阶导数，若是观察出其规律性，就可以写出的公式，然后利用归纳法证明。例11 设函数有任意阶导数且，则？（>2）分析 将两边分别求导，得，再求导，得：=。由此可归纳证明的：5.2分解法通过恒等变形将某些比较复杂函数分解为若干个简单的初等函数之和，常有的情形如下：有理函数和无理函数的分解:在求分式有理函数的高阶导数时，可先将有理假分式用多项式除法变为整式与有理真分式之和，再将有理真分式写为部

15、分分式之和，利用公式求出所给函数的n阶导数；求由的和、差、积所组成函数的高阶导数，可以利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的项数逐次降低变为之和或差的形似，再利用公式，求出所给函数的导数即可。例12 求下列 1. 2.解 1.因为，则：= =2. 利用 故：5.3利用莱布尼茨公式若存在，则乘积的阶导数可用莱布尼茨公式=（其中）。例10 设，求？解 在使用莱布尼茨公式求解该题时，有， 得：= =5.4利用泰勒公式的展开式求导数若函数能够展开成的幂级数，则必是函数的泰勒展开式：=。因此，若是得到展开式=，则知：例12 设，求解 根据上述所说的方法，可以先求出带皮亚诺余项的麦克劳林公式： 令，则由

16、 ,得 则可得 。上述主要总结了五种不同类型函数的求导方法，其中的公式法可以适用于任何类型的函数，但有时解题过程很复杂。复合函数求导法，高阶导数的求导法需要重点掌握，并能够灵活运用。此外求解一元函数导数的方法还有很多，本文只是介绍了几种比较常用并易于掌握的方法，而且只是给出了一元函数的求导方法，对二元函数甚至是多元函数的偏导数问题可以由一元函数的求导方法类推，其中一元复合函数的求导法则对于求解多元函数的高阶偏导数问题尤为重要。因此一元函数的求导问题至关重要，对于如何求出各种形式一元函数的导数的问题仍需要进一步深入探讨的，在学习中善于发现和总结出新的方法。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析上册（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.2王建福.高等数学同步辅导及习题全解（第五版）M.徐州:中国矿业大学出版,2006.3李正元，李永乐，袁荫棠, 等.数学复习全书（数学一）M.北京：国家行政学院出版社,2009.4同济大学应用数学系主编.高等数学上册（第五版）M.北京：高等教育出版社,2007.5陈文灯.考研数学10年真题点评（数学一）M.北京：北京理工大学也出版社,2010.6钱吉林，等.数学分析题解精粹（第二版