《高等数学》 第六章 常微分方程

1、 知识目标知识目标u了解二阶微分方程解的结构；了解二阶微分方程解的结构；u理解微分方程、阶、解、通解、初始条件各理解微分方程、阶、解、通解、初始条件各特解等概念；特解等概念；u掌握可分离变量方程的解法；掌握可分离变量方程的解法；u掌握一阶线性微分方程的解法；掌握一阶线性微分方程的解法；u掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握两种常见类型的二阶常系数非齐次线性掌握两种常见类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法微分方程的解法. 能力目标能力目标 通过微分方程的学习，进一步培养学生独通过微分方程的学习，进一步培养学生独立自主的思考能力，明辨是非的判断能力立

2、自主的思考能力，明辨是非的判断能力. 德育目标德育目标 培养培养学生小心求证，大胆应用于实际的综学生小心求证，大胆应用于实际的综合能力合能力. 通过实际例子；了解微分方程的概念和微分方程的阶的概念；掌握求微分方程通解的方法；能够利用初始条件求微分方程的特解. .(0,1),求曲线方程点且过二倍斜率等于该点横坐标的已知曲线上各点的切线想一想：想一想：解析：解析：. 1 :, 0),1)0(, 1|)(1 , 0().(,2,.2,),(),(,202xycyyccxyxdxyxxdxdyyxMxfyx为于是所求曲线方程将其代入到上式得可写成也或写成条件又因曲线通过点为任意常数即得积分两端对依题意

3、有则为曲线上任意一点设所求曲线方程为且过二倍斜率等于该点横坐标的已知曲线上各点的切线 .,/80,/402的函数关于时间向前行驶的路程求开始制动后汽车继续速度为制动后汽车的加的速度在直道上行驶一辆汽车以tSsmsm想一想：想一想：解析：解析：.404 . 0:,. 0,40:,. ),(4 . 0,.8 . 0,8 . 0).40)0(, 0)0(40, 00:, 8 . 0)(,2212121212222ttStSccccctctSctdtdSvxdtSdSSdtdSvStdtSdtSS的函数为关于时间路程于是得上式将所满足的条件代入都是任意常数其中得再积分一次得积分两端对将或写成时且满足条

4、件应满足函数制动阶段汽车运动规律由题意知 .8 . 0,2 22都是常微分方程dtSdxdxdy例例含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程偏微分方程.在一个微分方程中,未知函数导数的最高阶数称为微分微分方程的阶方程的阶.8 . 0,2 22都是二阶微分方程是一阶微分方程dtSdxdxdy例例 . 0),( nyyyyxFn为：阶微分方程的一般形式通常注注 . 22都是微分方程的解和函数xycxy例例若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则这个函数称为微分方程的解微分方程的

5、解.如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微微分方程的通解分方程的通解.8 . 04 . 0 22212的通解是微分方程函数dtSdctctS例例 ., )(,便可得到它的通解次只要通过逐次积分的微分方程形如nxfyn注注 .8 . 040)0(, 0)0( 22的初始条件就是微分方程dtSdSS例例确定微分方程通解中的任意常数值的条件称为初始条件初始条件.微分方程的不包含任意常数的解称为微分方程的特解微分方程的特解.2 2的特解是微分方程函数xyxy例例 yyyxdxxdyxyyy33023222124 ：判断下列各方程的阶数1 1.

6、.解：解： 四阶微分方程 一阶微分方程 二阶微分方程321 .的特解初始条件求满足的通解是微分方程验证10, 00,023221 yyyyyeCeCyxx2 2. .解：解：.ee.11120,.ee,0ee2e2e3e4e23,e4e,e2e221212122121221221221221221xxxxxxxxxxxxxxyCCCCCCCCyCCCCCCCCyyyCCyCCy 故所求特解为：得将条件代入通解中是微分方程的通解故为任意常数同时代入微分方程得： 建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地数量成

7、正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率是绿地的 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与时间的函数关系式.101 了解可分离变量的微分方程的概念，掌握求解的步骤；了解一阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的概念；掌握求解一阶线性方程的基本步骤，并能够灵活运用. .,)()(2)()(1即通解的一个关系式与得到两边积分：的形式；分离变量：化原方程为为两步：这类方程的求解一般分yxdxxfygdydxxfygdy.)()(方程的微分的一阶微分方程称为形如可可分分离离变变量量ygxfdxdy .2的通解求微分方程xydxdy1 1. .解：解：).,0(ee.ln2,221212为任意常数故也是解由于所

8、以两边积分得分离变量为CyCyCxyxdxydyxdxydyxCx .00e2的特解满足条件求微分方程yyyx2 2. .解：解：.21e21e,21,0)0().(e21e2e21ee,ee22222xyxyxyxyxyCyCCxddyedxdydxdy故所求特解为：得代入通解中将初始条件为任意常数两边积分得分离变量为 ).(e,2)(10)()(为任意常数得通解两边积分；分离变量：的通解分为两步：求方程CCydxxPydyyxPdxdydxxP.)()(一一阶阶线线性性微微分分方方程程的方程称为形如xQyxPdxdy.0,)(,0)(齐齐次次微微分分方方程程一一阶阶线线性性称为方程变为时当

9、yxPdxdyxQ ).(e .e ,e, .e)(e, ,e,2,0)(,1)()()()()()()()()()(为任意常数因此原方程通解为：两边积分得：得入原方程代与将得两边求导对通解是原方程的通解令用常数变易法；得通解先解方程分离变量的通解分为两步：求方程CdxxQCeydxxQCxCxQxCyyxPxCxCyxCyCeyyxPdxdyxQyxPdxdydxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxPdxxP.)()(,0)(非非齐齐次次微微分分方方程程一一阶阶线线性性为称方程时当xQyxPdxdyxQ .1123的通解求微分方程xyxy1 1. .解：解： ).(112111

10、21:.121:, 1,1112121,.121,1,.1,12, 01224222322222为任意常数解为因此原方程通两边积分得得代入原方程与将则是原方程的通解令用常数变易法得两边积分得分离变量先解方程CxCxxCxyCxxCxxCxxxCxxCxxxCyyxCxxxCyxxCyxCydxxydyyxy 解：解： .022的特解满足条件求微分方程yxyxy2 2. . 22222443242422244, 4,0)2().(4141:.41:,22,.2,.,202xxyCyCxCxxCxyCxxCxxCxxxCxxxxCxxCyyxxxCxxCyxxCyCxydxxydyyxy故所求特解

11、为：得代入通解中将初始条件为任意常数因此原方程通解为两边积分得得代入原方程与将则是原方程的通解令两边积分得先解方程 .,C15.C,10,数关系的函与时间求电机温度恒温的房子里设电机安置在热量发散同时将按冷却定律不断每分钟温度升高一电机开动后t 了解二阶常系数线性微分方程的概念及分类；掌握二阶常系数齐次、非齐次线性微分方程的求解方法及分类；能够灵活运用公式解决实际问题. .,0)(20,0)(.)(,)(微分方程微分方程二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性分方程分方程二阶常系数齐次线性微二阶常系数齐次线性微程程二阶常系数线性微分方二阶常系数线性微分方方程称为时当；称为方程时当是已知函数是常

12、数、其中的一般形式为 xfqyypyxfxfqpxfqyypy.)2()(,)2(2122112121的通解是方程为任意常数与则数不是常即的两个线性无关的特解是方程与设函数CCyCyCyyyyy .)2(e,. 0,)2(,e,e2的解就是方程函数是这个方程的根若这表明得式求导后代入令数选择适当常性质求导后仍为指数函数的利用指数函数rxrxrxyrqprryr .20212特特征征根根特特征征方方程程称为、；特征方程的两个根的性方程称为二阶常系数齐次线其中方程rrqprr .,ee2.,e,)2(e2121212121212121为任意常数的通解为：所以方程即线性无关数常且的两个特解是方程、因

13、为、CCCCyyyyeyrrxrxrxrrxrxr是是两两相相异异实实根根( (一一) ) .,e)2(,2e,e)2(,21211212121为任意常数为：的通解所以方程线性无关的特解的另一个与方程是而只有一个特解则方程因为、CCxCCyyxyyrrrrrrxrxrx是是两两相相等等实实根根( (二二) ) .,sincose2.)2(sine,cose,2121212121为任意常数的通解为：所以方程的两个线性无关的特解程是方则、令、CCxCxCyxyxyirirrrxxx是是一一对对共共轭轭复复根根( (三三) )的两个根是方程0,221qprrrr的通解方程0 qyypy21rr 两相

14、异实根xrxrCCy21ee2121rr 两相等实根rxxCCye21irir21,一对共轭复根xCxCyxsincose21 .032的通解求微分方程 yyy1.1.解：解：),(ee.1, 3,03221231212为任意常数所以方程的通解为：解得特征根为其特征方程为CCCCyrrrrxx.0)0(, 2)0(044的特解满足求微分方程 yyyyy2.2.解：解：.e2. 1, 2,e21e,),(e.21, 01442212212221221212xxxxxyCCxCCCyCCxCCyrrrr故特解为：得初始条件代入得对通解求导为任意常数所以方程的通解为：解得特征根为其特征方程为 .,)

15、(性微分方程的通解线就是二阶常系数非齐次则解应的齐次微分方程的通是对的任一特解是非齐次线性微分方程设yYyYxfqyypyy 定理定理:,e )()(e )()(且特解分三种形式数乘积型的特解式与指数函故可推出它应该有多项方程为xnnxnxPqyypynxxPxPxf 次次多多项项式式) )的的一一个个是是是是常常数数, ,( (其其中中（一一）.)()(式次多项是都与表中nxQxPnnxnxPxfe )()(xnxQye )(xnxxQye )(xnxQxye )(2的形式)(xf不是特征根是特征单根是特征复根件条的形式特解y注注 .32的通解求微分方程 xyy1 1. .解：解： ).,(

16、e:.:,1132223222,.2,2,).,()(:,0,e)(132).,(e:. 1, 00,021221222121212为任意常数因此原方程的通解为解为它的一个特得代入原方程与将得求导为待定常数为故设原方程的一个特解是特征方程的单根因型的属于为任意常数为则对应齐次方程的通解特征方程为的通解先解方程CCxxCCyYyxxyBABAAxBAxAyyAyBAxyBABxAxBAxxyxPnxxfCCCCYrrrryyxxnx .e322的通解求微分方程xxyyy 2 2. .解：解： ).,(e3231ee:.e3231:,9/23/103213323.e)444(,e)22(,).,(

17、e)(:,2,e)(1e).,(ee:.1, 3032,0322123212222221321212为任意常数因此原方程的通解为解为它的一个特代入得得求导为待定常数为故设原方程的一个特解是特征方程的单根因型的属于为任意常数为则对应齐次方程的通解特征方程为的通解先解方程CCxCCyxyBABAAxBAAxBAxAyBAxAyBABAxyxPnxxfCCCCYrrrryyyxxxxxxxxnxxx :, )sincos(e,)sincos(e)(且特解分两种形式型的特解角函数与指数函数乘积故可推出它应该有三方程为xBxAqyypyBAxBxAxfxx 是是待待定定常常数数) )是是常常数数, ,(

18、 (其其中中（二二）的形式)(xf是特征根不i特征单根是i件条的形式特解y)sincos(e)(xBxAxfx)sincos(exBxAyx)sincos(exBxAyx .sin22的通解求微分方程xeyyyx 1 1. .解：解： ).,(cose21sincose:.cose21:,02/10212sinsin2cos2,.cos2sin2sincos2sincos2e,cossinsincossincose,).,(sincose:,1.1, 1,sincosesine).,(sincose:.1,1022,02221212121212为任意常数因此原方程的通解为解为它的一个特得代入原方程与将得求导为待定常数为故设原方程的一个特解是特征方程的根因其中型属于为任意常数为则对应齐次方程的通解特征方程为的通解先解方程CCxxxCxCyxxyBABAxxAxByyxBxAxxxBxxAyxxBxxAxxBxAyBAxBxAxyiixBxAxxfCCxCxCYirirrryyyxxxxxxxxx .2cos