求函数定义域和值域方法和典型题归纳

1、V 求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f,使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。 则称f:为A到B的一个函数。2由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系(f),集合A的取值范围。由这两个条件就决定了 f(x)的取值范围y|y=f(x),x A。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的 是：(1) 自变量放在一起构成的集合，成为定义域。(2) 数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法

2、”或“区间” 来表示。4值域：是由定义域和对应关系( f )共同作用的结果，是个被动变量， 所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。(1)明白值域是在定义域 A内求出函数值构成的集合：y|y=f(x),x A。(2 )明白定义中集合 B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域(一)求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。(1)常见要是满足有意义的情况简总： 表达式中出现分式时：分母一定满足不为 0; 表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0 (非负数)。 表达式中出现指数时

3、：当指数为0时，底数一定不能为 0. 根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. 表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有 x,必须满足指数底数大于0且不等于1. ( 0底数1;底数1) 表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于 0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和 真数上时，要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于1.(f (X) =log X(x -1)注：(1)出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。(2)求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形2如：f (X

4、)二 x )X2. 抽象函数(没有解析式的函数)解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整 体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：(1 )给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；(2) 在同一个题中x不是同一个x ；(3) 只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。(4) 求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范 围。例1 :已知f(x+1)的定义域为-1,1，求f (2x-1 )的定义域。解：/ f(x+1)的定义域为-1,1;(及其中x的取值范围是-1,1) 0 _x 7 _2 ;(x+1的取值范围就是括号的取值范围)

5、f(x)的定义域为0,2 ; (f不变，括号的取值范围不变) f(2x-1)中0乞2x 1乞21 3-x < -2 2f13 I f(2x-1)的定义域为x | -一岂x乞一I22 J3. 复合函数定义域复合函数形如：y = f (g(x),理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例2：若函数 f (x)的定义域为(-2,3), g(x) =f(x 1) f (x - 2),求g(x)的定义域分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来 的新函数。此时做加运算，所以只要求出 f(x+1)和f

6、(x-2)的定义域，再根 据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解：由f(x)的定义域为(-2,3 ),贝Uf(x+1)的定义域为(-3,2 ), f(x-2)的定义域为(0,4 );一3 ： x : 2，解得0<x<20 : x : 4所以，g(x)的定义域为(0,2 )3(二)求定义域的典型题1.已知函数解析式(1)求下列函数的定义域 f(X)=x 4 二;(2) f (x) = (x 1)0x +321x -1；(3) f (x):. x 23x -1x 半211 f(x)=(x1)已(5) f(x) =log(2x)(x

7、)； (6) f (x)=42 _ xX2 一 1.(2)求下列函数的定义域Jlg( x +2)J1 - 2x(1)f (x)；(2) f (x)1x -2x -1x -1 f (x) ：；(4) f (x)1 - log 1 x721丁6 _x _x?(3)与函数定义域有关的问题题若函数f(x) 口2 2x (2 m 1) x m的定义域为R,求实数m的取值范围。 函数y = . kx '2kx k 6的定义域为 R求k的取值范围。 函数f (x) = mx 2 -6 mx m 8的定义域为 R,求m的取值范围。2. 求抽象数定义域1 若函数f(x)的定义域为(-2,6 )，求f(x

8、1)的定义域。2f (2 x) 若数f (x)的定义域为0,2, 求函数g(x)的定义域。x 11 若数f(x1)的定义域为-1,2, 求函数g (x)= f (x + 2)+ F的J3x +7定义域。1 若函数 f(x)的定义域为0,1, g (x) = f (x+a) + f (x a), ( a 兰一)， 求函数g(x)的定义域。 若 f (x) = log a (x g (x) = log a (1 - x) , (a 0,且 a 屮1)，令F (x) =f(x)-g(x), 求 F (x)的定义域。二、求函数值域(一)求函数值域方法和情形总结1. 直接观察法(利用函数图象)一般用于给

9、出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。2. 配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内(以 a<0为例)，此时对称轴的地方为最大值，定 义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：(1)含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；(2)a不为0时，讨论开口方向；(3)注意区间，即讨论对称轴。例1 ：求f (x) =x2 -4x 6在1,5 上的值域.解：配方： f (x) =(x -2)22f(x)的对称轴为x=2在1,5中间ymin f (2) 2(端点5

10、离x=2距离较远，此时为最大值)max = f (5) =11所以，f(x)的值域为2,11.3. 分式型(1) 分离常量法： 应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1,或是可以看作整体为 1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为dy 二 abx +c55x 1例2:求f (x)二1的值域.4x +2解:5x -1f(x)A5 (4 x 2)410-1 -44x 242(4 x 2)#5由于分母不可能为 0，则意思就是函数值不可能取到 -,45 即：函数f(x)的值域为y I y = .4跟踪练习：已知f (x) = ax 2 - 4( a

11、 1) x - 3( x三0, 2 )在x=2处有最大值，(2) 利用x2 _0来求函数值域： 适用于函数表达式为分式形式，并且只出现x2形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法(有界变量法)2例3 :求函数二1的值域.X2 +2解：由于x22不等于0,可将原式化为2 2yx 2 y = 3x 1即(y-3)x 二1-2y (由于 x 0 )只需y =3 ,则有2 一1 一 2 yx0(y-3)(-1-2y)_0y - 3所以，函数值域(3)方程根的判别式法:适用于分式形式,其中既出现变量x又出现混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。

12、对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。2 x例4：求函数3 =一2的值域x +1解：由于函数的定义域为 R,即x2 7 = 0, 2原式可化为 yx 2x y =0（由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）2所以，厶=4 4 y 亠0所以，函数值域为 y ：= I 1,1 跟踪练习：求下列函数值域(2)21 -X21 xx2x 3x 6（5）若y = log 3 mx8x_-的定义域为 R,值域为10, 2 ,求常数 m,n x2 +1的值（m=n=5）4. 换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注： 换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5 :求函数f （x） = 2x - x -1的值域解：令t x .1,t亠0,则x =t2亠1，带入原函数解析式中得221 215y =2（t