高等数学3-4 函数的单调性和极值

1、1函数单调性的判别法函数单调性的判别法单调区间求法单调区间求法小结小结 作业作业 第四节第四节 函数的单调性和极值函数的单调性和极值函数的函数的极值极值及其求法及其求法最大值最小值问题最大值最小值问题第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用( (extreme value)20)( xf0)( xf定理定理1,)(上连续上连续在在设函数设函数baxfy .),(内可导内可导在在ba，内内如果在如果在0)(),()2( xfba( )yf x那么函数上上在在,ba( )yf x那么函数上上在在,ba单调增加单调增加;单调减少单调减少.一、单调性的判别法一、单调性的判别法函数

2、的单调性和极值函数的单调性和极值xyOabAB)(xfy xyO)(xfy abAB(1)( , )( )0a bfx如果在内，3证证,21baxx ,21xx 且且 拉氏定理拉氏定理)()()(1212xxfxfxf 内，内，若在若在),(ba, 0)( f则则),()(12xfxf ;,)(上上单单调调增增加加在在baxfy 内内，若若在在),(ba, 0)( f则则),()(12xfxf .,)(上上单单调调减减少少在在baxfy )(21xx , 0)( xf, 0)( xf(1)(2)定理定理1,)(上连续上连续在在设函数设函数baxfy .),(内可导内可导在在ba，内内如果在如果

3、在0)(),()2( xfba( )yf x那么函数上上在在,ba( )yf x那么函数上上在在,ba单调增加单调增加;单调减少单调减少.(1)( , )( )0a bfx如果在内，4例例解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y单调减少；单调减少；函数在函数在0 ,(,), 0(内内在在, 0 y.), 0单调增加单调增加函数在函数在).,(定义域为定义域为函数的单调性和极值函数的单调性和极值5例例解解.)(32的的单单调调性性讨讨论论函函数数xxf )0(,32)(3 xxxf32xy ).,(定义域定义域xyO函数的单调性和极值函数的

4、单调性和极值,)0 ,(内内在在 , 0 y单调减少；单调减少；函数在函数在0 ,(,), 0(内内在在.), 0单调增加单调增加函数在函数在, 0 y6方法方法不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程)(0)(xfxf 问题问题如上例如上例, 函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,定义定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,)(的定义区间的定义区间划分函数划分函数xf然后判定区间内导数然后判定区间内导数的符号的符号.的的分界点分界点二、单调区间求法二、单调区间求法但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调则该区间称为函数的单调区间

5、则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间函数的单调性和极值函数的单调性和极值7例例解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx,0)(得得解方程解方程 xf, 11 x. 22 x).,(定义域定义域)1 ,( )2 , 1(), 2(x)(xf)(xf 单调增加区间为单调增加区间为,1 ,(,2 , 1 )., 2 xyO1122函数的单调性和极值函数的单调性和极值单调减少区间为单调减少区间为8例例证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),

6、1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,), 0(,), 0)(可可导导且且上上连连续续在在 xf;), 0上单调增加上单调增加在在时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf函数的单调性和极值函数的单调性和极值9练习：书练习：书100页页2（1）xxx1321 时，时，证明当证明当证证,132)(xxxf 设设.1)(223xxxf 则则,1时时当当 x;), 1 )(上单调增加上单调增加在在xf, 0)1( f时时，当当1 x, 0132 xx即即, 0)( xf, 0)1()( fxfxxx1321 时，时，当当10定义

7、定义0 x若函数在 的某邻域有定义且在某去心邻域内),()(0 xfxf 或或的一个的一个为函数为函数则称则称)()(0 xfxf)()(0 xfxf 极大值极大值 (或极小值或极小值), 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点. .恒有恒有三、函数的极值及其求法三、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0(自变量自变量)称为称为函数的单调性和极值函数的单调性和极值111x2x3x4x5x6x 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的. 所以函数的极所以函数的极大值未必是最大值，极小值

8、大值未必是最大值，极小值最大值与最小值最大值与最小值,未必是最小值。未必是最小值。只是只是一点附近一点附近的的 xyOab)(xfy 最大值、最小值也可能在区间最大值、最小值也可能在区间端点取得，但极值不在区间端端点取得，但极值不在区间端点取得点取得.函数的单调性和极值函数的单调性和极值12定理定理1 1( (必要条件必要条件) )注注如如, ,3xy , 00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x(1)处处取取得得在在点点如如果果函函数数0)(xxf,0处处可可导导且且在在x的的叫做函数叫做函数为零的点为零的点使导数使导数)()(xfxf 驻点驻点. .可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却

9、不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2. 极值的必要条件极值的必要条件必是必是驻点驻点,. 0)(0 xf则必有则必有极值极值,3xy xyO 函数的单调性和极值函数的单调性和极值13xyO32xy 极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如, ,32xy 32xy 但但 怎样从怎样从驻点驻点与与导数不存在导数不存在的点的点中中判断一点判断一点Z(2)不可导不可导.0 x是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点 0 x在在函数的单调性和极值函数的单调性和极值14定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )且在且在点连续点连续在在设设,)(0 xxf,

10、),()1(00时时若当若当xxx 0)( xf);0( ,),(00时时当当 xxx0)( xf),0( 则则)(0 xf为为极大值极大值,)()2(0附近不变号附近不变号在在若若xxf )(0 xf则则不是极值不是极值.(极小值极小值);3. 极值的充分条件极值的充分条件xyO0 x xyO0 x 0 x在 的某个去心邻域内可导函数的单调性和极值函数的单调性和极值150 x0 x 一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数; 求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点不是极值点 xyO

11、xyO函数的单调性和极值函数的单调性和极值16例例 求函数求函数23( )(1)f xxx的极值的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点驻点 令,0)( xf得;521x导数不存在的点02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大值点， 其极大值为0)0(f是极小值点， 其极小值为52x33. 0)(52f函数的单调性和极值函数的单调性和极值1718定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) ), 0)(0 xf如果如果极大值极大值 (极小值极小值).为为则则)(0 xf0)(0 xf

12、),0( 对于对于驻点驻点, ,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点. .函数的单调性和极值函数的单调性和极值注注,0)(0时时 xf此时仍要用第一充分条件来判定此时仍要用第一充分条件来判定定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )不能不能应用应用. .事实上事实上, , 0)(0 xf当当,0)(0时时 xf处处在点在点0)(xxf可能有极大值可能有极大值, ,也可能有极小值也可能有极小值, ,也可能没有极值也可能没有极值. .定理定理3 3只能判断驻点是否为极值点只能判断驻点是否为极值点, ,导数不导数不存在的

13、点不能用此方法，只能用第一充分存在的点不能用此方法，只能用第一充分条件来判断。条件来判断。19例例解解.20243)(23的极值的极值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f18 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f18)2(f故极小值故极小值.48 . 2, 421 xx因为因为, 0 , 0 函数的单调性和极值函数的单调性和极值20四、最大值最小值问题四、最大值最小值问题函数的单调性和极值函数的单调性和极值,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf21特别: 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到