高等数学2-5函数的微分

1、复习复习1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导转化转化成立的条件？成立的条件？d( )d( )ttyytxtx ( )( )xtyt 4. 相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求高阶导数时求高阶导数时, ,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式22d( )d

2、( )ddddtttyxxt 第五节第五节函数的微分函数的微分二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用一、微分的定义一、微分的定义 一、微分的定义一、微分的定义引例引例: :正方形金属薄片受热后面积的增量正方形金属薄片受热后面积的增量. .20 xA 0 x0 x(2)(1)x x 2)( x xx 0 xx 0边长由边长由 变到变到 时，时， 0 x0 xx 面积的改变量为面积的改变量为202() .xxx (2): 的线性函数，为的线性函数，为 的主要部分的主要部分A x (1): 当当 时时, ,为为 的高阶无穷小的高阶无穷小, ,可忽略可忽略

3、; ;|0 xx 2200()Axxx 再例如再例如, , 设函数设函数 在点在点 处的增量为处的增量为 求求 (2)(1)3yx 0 x, x . y 3300()yxxx 2230033()() .xxxxx 既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值(2): 的线性函数，为的线性函数，为 的主要部分的主要部分y x (1): 当当 时时, ,为为 的高阶无穷小的高阶无穷小, ,可忽略可忽略; ;|0 xx 20 3.yxx 微分的实质：函数增量的线性主部微分的实质：函数增量的线性主部定义：定义：设函数设函数 在某区间内有定义，在某区间内有定义， 及及( )yf x 0 x0 x

4、x 在该区间内，在该区间内，00()()yf xxf x 可表示为可表示为 ()yAxox 其中其中 是与是与 无关的常数无关的常数x A如果函数的增量如果函数的增量则则称函数称函数 在点在点 处可微，处可微，( )yf x 0 x称称 为为 在点在点 相应于自变量增量相应于自变量增量Ax的微分，的微分，x ( )yf x 0 x记作记作d , yd.yAx即：即：问题问题:函数满足什么条件才可微函数满足什么条件才可微? 如何求微分如何求微分?证证 (1) 必要性必要性0( ) ,f xx在在可可微微定理：定理：在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是 在点在点 处可导处可导, 且且即即(

5、)yf x 0 x( )f x0 x0() ,Afx 0d().yfxx (),yAxox 00() limlimxxyoxAxx .A 0().fxA 即：即：(2) 充分性充分性 在在 可导，可导，( )f x0 x00lim().xyfxx 0(),yfxx 即即 0(0),x 其其中中0()()yfxxx 于于是是: : 0()(),fxxox 00 ( ) , d().f xxyfxx 在在可可微微且且由定义知：由定义知：综上综上: :(1) dy 是自变量增量是自变量增量 的线性函数；的线性函数； x (2) 是比是比 高阶的无穷小；高阶的无穷小； d()yyox x (3) 当当

6、 时，时， 0()0fx d (0);yyx 00()()()dyyfxxoxfxx 1(0).x 0()()1oxxxf (4) 当当 时，时， d ,yy |1x即：可以用微分近似增量即：可以用微分近似增量.xyoMNf (x)dyx)(0 xf )(dxoyy xyx0lim tan 很很小小时时当当 x )()(xxfxf xxf )(00 xxx 0)(0 xf)( xo 微分近似增量是函数的局部线性化微分近似增量是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量dydy =在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？=tan x微分微分的几何意义的几何意义 y即：即：yxxf

7、xf )()(切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量.,1MNMx段段切切线线段段可可近近似似代代替替曲曲线线的的附附近近在在点点时时当当 xyodyx)(dxoyy 很很小小时时当当 x 0 xxx 0)(0 xf)( xo 用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量dy y y微分的几何意义dy y哪条线段是哪条线段是dy ？.问题：何时问题：何时dy y ?二、基本初等函数的微分和微分运算法则求法求法: 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1. 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式122d()0 d()dd(sin )cos d d(cos )sin d

8、d(tan )secd d(cot )cscdd(sec )sectan dd(csc )csccot dCxxxxx xxx xxx xxx xxxx xxxx x d( )dyfxx 2222d()ln dd()d11d(log)dd(ln )dln11d(arcsin )dd(arccos )d1111d(arctan )dd(arccot )d11xxxxaaaa xeexxxxxxaxxxxxxxxxxxxx 2222d(sh )ch d d(ch )sh d11d(th )d d(arsh )dch111d(arch )d d(arth )d11xx xxx xxxxxxxxxxx

9、xx 4. d()(0)uvv 二、二、 微分运算法则微分运算法则设设 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 则则(C 为常数为常数)1. d()uv dduv2. d()CudC u 3. d()uvddv uu v2ddv uu vv 分别可微分别可微 ,5. 复合函数的微分复合函数的微分, 设设( ),( )yf uux 的微分为的微分为则复合函数则复合函数 ( )yfx ddxyyx ( )( )dfuxx 微分形式的不变性：微分形式的不变性：函数的微分形式总是函数的微分形式总是d( )dyfxx ( )dfuu 无论无论 x 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 解解.),

10、1(arctan)2(),()1(2dyxfyxxy求求设设 )()()1(22xxdxxdy dxxxxxxddxxx )(2()()()(222 )1(arctan)1(arctan)2(xdxfdy )1(111)1(arctan2xdxxf dxxxfdxxxxxf22221)1(arctan11)1(arctan 基于一阶微分形式不变性，求微分时无须指明对哪一变量进行基于一阶微分形式不变性，求微分时无须指明对哪一变量进行,Esp 对复合函数只需一次一次地求，直至不能求对复合函数只需一次一次地求，直至不能求(自变量自变量)为止为止.导数不具有此性质，求导时总要指明对哪一变量进行的！导数

11、不具有此性质，求导时总要指明对哪一变量进行的！.),(, 2)1(, 1)1()3(123 xdFxffFff求求且且若若1222212)()()(3 xxdxxxfxffxffdFdxdxfffdxfffff242)1()1()1(32)1()1()1(322 例例1.求求 解解:2ln(1e) ,xy d . y21d1exy 2d(1e)x 211ex 2ex2d()x221e2 d1exxx x 222 ed1exxxx 例例2解法解法21 3cos ,d .xyexy 求求 1 31 31 3 cos3cossinxxxexexex 1 3 d(3cossin )d .xyexxx

12、1 31 3dcosd()d(cos )xxyxeex1 31 3cos( 3)d( sin )dxxxexexx 1 3(3cossin )d .xexxx 解法解法1解解dcosd()sind()axaxyebxbxbx eaxcosdsin()daxaxebx b xbx eax ( cossin)d .axebbxabxx 例例3解解dcos dyu u cos(21)d(21)xx cos(21) 2dxx 2cos(21)d .xx sin(21),d .yxy求求设设sin ,21.yu ux例例4sin,d .axyebxy 求求设设1 1 d(sin)cosd .tt t 例

13、例5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使2(1) d()cosd ;(2) d(sin)()d().t txx 22d(sin)2 cosd(2)1d()d2xxxxxxx ,cos42xxx 22d(sin)(4cos)d().xxxxxC 等式成立等式成立.(1) (sin)cos,tt sin() 2()4 sin()4 22() 注注:数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性 , 例如例如 说明说明: 微分的反问题是不定积分要研究的内容微分的反问题是不定积分要研究的内容.42 2242 k 22三、微分在近似计算中的应用三、

14、微分在近似计算中的应用1. 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值例例6 半径半径 10厘米的金属圆片加热后，半径伸长了厘米的金属圆片加热后，半径伸长了0.05厘米，厘米， 问面积增大了多少？问面积增大了多少？解解2,Ar 当当 且且 时，时， 0()0fx 1x00dx xx xyy0().fxx 10,0.05.rr 厘厘米米厘厘米米d2AArr 2100.05 2(). 厘厘米米2. 计算函数的近似值计算函数的近似值使用原则使用原则:1. 计算函数计算函数 在点在点 附近的近似值附近的近似值( )f x0 xx 00()()yf xxf x 0().fxx 000()()().f xx

15、f xfxx (1)x001)(),();f xfx 好好算算02).xx与与靠靠近近( )(0)(0).f xffx 特别地，特别地， 当当 很小时，很小时，00 ,|xx 例例7 计算计算解解( )cos ,f xx 设设( )sin ,fxx 则则 ( x 为弧度为弧度)0,3360 xx 13(),().3232ff cos60 30cos()3360o cossin33 3601322360 0.4924. cos60 30.o 的的近近似似值值常用近似公式常用近似公式:很小很小)(|x证明证明:(1) (1)x 1x 令令( )(1)f xx 得得(0)1,f (0)f 当当 很小

16、时，很小时，|x(1)1xx (2) sin x x(3) ex 1x (4) tan x x(5) ln(1)x x例例8 计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值解解0.033(1)998.5;(2).e 33(1)998.510001.531.51000(1)1000310 10.0015110(10.0015)39.995. 0.03(2)10.03e 0.97. 为了提高球面的光为了提高球面的光每只球需用铜多少克每只球需用铜多少克. 估计一下估计一下, 洁度洁度,要镀上一层铜要镀上一层铜,厚度定为厚度定为0.01cm, 38.9g cm( 铜的密度铜的密度 : )例例9. 有一批半径

17、为有一批半径为1cm 的球的球, 解解: 已知球体体积为已知球体体积为343VR 镀铜体积为镀铜体积为V 在在时体积的增量时体积的增量1,0.01RR,V dVV10.01RR 24RR10.01RR 30.13(cm ) 因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为( g )8.90.131.16由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量

18、误差.3、误差估计、误差估计若某量的精确值为若某量的精确值为 A ,其近似值为其近似值为 a ,称为称为a 的绝对误差的绝对误差Aa 称为称为a 的相对误差的相对误差|Aaa AAa 则则称为测量称为测量 A 的的绝对误差限绝对误差限A 称为测量称为测量 A 的的相对误差限相对误差限|Aa 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法: 将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内.若某个量的精确值为若某个量的精确值为 A， 测得它的近似值为测得它的近似值为 a, 又又知道它的误差不超过知道它的误差不超过,A 即即误差传递公式误差传递公

19、式 :若直接测量某量得若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为已知测量误差限为,x 按公式按公式计算计算 y 值时的误差值时的误差( )yf x y dy ( )fxx ( )xfx 故故 y 的绝对误差限约为的绝对误差限约为相对误差限约为相对误差限约为( )yxfx ( )( )yxfxyf x 解解:计算计算 A 的的绝对误差限约为绝对误差限约为 A 的的相对误差限约为相对误差限约为(mm2)测量测量D 的的 绝对误差限绝对误差限欲利用公式欲利用公式圆钢截面积圆钢截面积 ,试估计面积的误差试估计面积的误差 . 计算计算60.03 mm,D 0.05 mm,D 24AD 例例10. 设测得

20、圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径 ADA 2DD 60.00.0524.715 224DADAD 2DD 0.05260.00.17 % 内容小结内容小结1. 微分定义微分定义 微分的定义及几何意义微分的定义及几何意义 可微可微可导可导2. 微分运算法则微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量是自变量或中间变量 )3. 微分的应用微分的应用近似计算近似计算估计误差估计误差d ( )( )df ufuu 微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法, 称为称为 微分