高等数学 极限的运算法则与性质

1、上页下页铃结束返回首页1主要内容：主要内容：一、一、极限的运算法则极限的运算法则 二、二、极限的性质极限的性质第一章第一章 函数与极限函数与极限 第三节第三节 极限的运算法则与性质极限的运算法则与性质上页下页铃结束返回首页2一、极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设上页下页铃结束返回首页3推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)

2、(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2上页下页铃结束返回首页4二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim)1(lim2232 xxxxx.37 3123 上页下页铃结束返回首页5小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxa

3、xa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ上页下页铃结束返回首页6解解例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.后再求极限后再求极限先约去零因子先约去零因子1 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)上页下页铃结束返回首页7

4、例例3 3.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,再再求求极极限限去去除除分分子子分分母母先先用用3x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 上页下页铃结束返回首页8小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当上页下页铃结束返回首页9例例4 4).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(

5、limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.上页下页铃结束返回首页10例例5 5).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点 ,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故上页下页铃结束返回首页11.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxa

6、xxxuauxxauxx 时的极限也存在，且时的极限也存在，且当当则复合函数则复合函数，又，又的某去心邻域内的某去心邻域内但在点但在点，即，即时的极限存在且等于时的极限存在且等于当当运算法则）设函数运算法则）设函数定理（复合函数的极限定理（复合函数的极限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：上页下页铃结束返回首页12例例6 6.sinlnlim2xx 求求解解故原式故原式0 xusin 令令1sinlim2因为因为xx ulnlim1u 1ln上页下页铃结束返回首页13求极限类型小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论

7、;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极多项式与分式函数代入法求极限限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.同除最大者法求极限同除最大者法求极限;d.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.e.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则上页下页铃结束返回首页14三、极限的性质-P361. 函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性2. 函数极限的唯一性函数极限的唯一性.)( 0 , 00 ,)(lim00MxfxxMAxfxx有有时，时，使得当使得当和和那么存在常数那么存在常数如果如果上页下页铃结束

8、返回首页153. 函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性).0)(0)(0 , 0),0(0 ,)(lim 00 xfxfxxAAAxfxx或或时，有时，有使得当使得当存在常数存在常数那么那么或或且且如果如果上页下页铃结束返回首页16思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 问题讨论上页下页铃结束返回首页17思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(x

9、fxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误上页下页铃结束返回首页18内容小结内容小结一、极限的运算法则一、极限的运算法则 1、极限的四则运算法则；、极限的四则运算法则； 2、复合函数的极限运算法则。、复合函数的极限运算法则。二、极限的性质二、极限的性质 1、唯一性；、唯一性； 2、局部有界性；、局部有界性； 3、局部保号性。、局部保号性。上页下页铃结束返回首页19。和和求求、设、设)1()1(,)(1 ffxxf习题演练习题演练时的极限是否存在。时的极限是否存在。并说明它们在并说明它们在时的左右极限，时的左右极限，当当、求函数、求函数00)(,)(2 xxxxxgxxxf上页下页铃结束返回首页20、求下列极限：、求下列极限：3;122lim)1(221 xxxx;112lim)2(221 xxxx;21lim)3(22xxxx ;1lim)4(42 xxxxx;)(lim)5(220hxhxh .11321211lim)6( nnn