高数常微分方程-高阶微分方程

1、1解法：解法：特点：特点：, )()(次次连续积分连续积分将将nxfyn 可得通解可得通解.)()(xfyn 一一 第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程左端只含有左端只含有 n 阶导数，右端只含有自变量阶导数，右端只含有自变量xy 1例例解解12121CxCxdxy 21321261)21(CxCxCdxCxy 3221432132241)61(CxCxCxCdxCxCxy 2代入原方程代入原方程, 得得解法：解法：特点：特点：.,)2( nyyy及及不显含未知函数不显含未知函数)()1(xPyn 令令.)(Pyn 则则P(x)的一阶方程的一阶方程),(xP求得求得, )()

2、1(xPyn 解解可得通解可得通解.0),()()1( nnyyxF二二. 0)(),(,( xPxPxF3.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解线性方程解线性方程, 得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 24)(yPy 设设,dydPPdxdydydPy 则则的一阶方程，的一阶方程，代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)(yP求得

3、其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为. ),(21CxCydy 特点：特点：. x不显含自变量不显含自变量解法：解法：),()(1CyyPdxdy 三三0),( yyyF5.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPPy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 36特点特点. 0),(,),()1()1( nnyyyxdxdxyyyx即即的导数的导数对对左端恰为某一函数左端恰为某一函数解法：解法： 类似于全微分方程

4、可降低一阶类似于全微分方程可降低一阶,),()1(Cyyyxn 再设法求解这个方程再设法求解这个方程.三、恰当导数方程7.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解将方程写成将方程写成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即积分后得通解积分后得通解.212CxCy 注意注意: :这一段技巧性较高这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程关键是配导数的方程.例例 38特点：特点：解法：解法：),(),()()(nknyyyxFttyy ttyxF 次次齐齐次次函函数数k zdxey可通过变换可通过变换).(,xz得新未知函数得新未知函数将其降阶将其降阶, zdxzey,)(2

5、zdxezzy,),()1()( zdxnnezzzy四、齐次方程, zdxke代入原方程并消去代入原方程并消去9阶方程阶方程的的得新函数得新函数)1()( nxz. 0),()1( nzzzxf.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解, zdxey设设代入原方程代入原方程,得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解为解其通解为.1212)1(xCdxxCxxeCey 原方程通解为原方程通解为例例 410小结小结解法解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子,

6、 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 例例 411另解另解原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy .2的通解的通解求方程求方程yyyxyxy 解解, zdxey设设，zxz ,xCz 解解其其通通解解为为.212xCCxdxeCey 原方程通解为原方程通解为代入原方程代入原方程,得得补充题补充题:12一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy.

7、.二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(M且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 . .练练 习习 题题13练习题答案练习题答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ； 3 3、12)arcsin(CeCyx ； 4 4、xCxCy2111 . .二、二、1 1、22xxy ； 2 2、)

8、1ln(1 axay； 3 3、4)121( xy. .三、三、121613 xxy. .14时，时，当当0)( xf线性线性齐次齐次微分方程微分方程时，时，当当0)( xf线性线性非齐次非齐次微分方程微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 第四节 高阶线性微分方程15一、解的结构一、解的结构1. 1. 齐次方程解的结构齐次方程解的结构: :定理定理 1 1 如果函数如果函数)(1xy, , ,)(xyn是方程是方程(1)(1)的的 n 个个解解, ,那末那末nnyCyCy 11也是也是(1)(1)的解的解. .（nCC,1是常数

9、）是常数） 问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？nnyCyCy 11(1) . 0)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn16定义：设定义：设nyyy,21为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数如果存在个函数如果存在n个不全为零的常数，使得个不全为零的常数，使得当当x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间I内内线性相关线性相关否则否则称称线性无关线性无关例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x17特别地特别地: 若若在在 I

10、 上上有有常常数数， )()(21xyxy则则函函数数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线线性性无无关关.定理定理 2 2： 如果： 如果)(1xy)(xyn是方程是方程(1)(1)的的 n 个线个线性无关的特解性无关的特解, , 那么那么nnyCyCy 11就是方就是方程程(1)(1)的通解的通解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 182. 2. 非齐次线性方程的解的结构非齐次线性方程的解的结构: :定理定理 3 3 设设*y是是 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程 的一个特解的一个特解, , Y是与是

11、与(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*yYy 是是 n 阶非齐次线性微分方程阶非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. . (2) ).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 19二、降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uy

12、xPyuy即即20解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 v212.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc221

13、12211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)22得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系数行列式系数行列式23,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程

14、通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy24.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐方一特解为对应齐方一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例25,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程的通解为应满足方程组应满足方程组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方

15、程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCyx26小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解27思考题思考题 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所对对应应齐齐次次

16、方方程程的的通通解解.28思考题解答思考题解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xCeCx 122231yyCyyCy 29一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通