高校(理工类)数学孤立奇点教学(课堂讲义)

1、5.1 孤立奇点孤立奇点一、孤立奇点的概念一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考四、小结与思考要求要求;2方方法法、知知道道奇奇点点类类型型的的判判定定.3的性态的性态、了解函数在、了解函数在 z,1分分类类情情况况、熟熟悉悉奇奇点点的的概概念念以以及及一、孤立奇点的概念一、孤立奇点的概念定义：定义：若函数若函数f(z)在在z0不解析，但在不解析，但在z0的某一个邻域的某一个邻域0| zz0|内处内处处解析，则称处解析，则称 z0为为f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。例如：例如：的的孤孤立立奇奇点点；为

2、为zezfz1)(0 的的孤孤立立奇奇点点；为为11)(1 zzfz1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点.孤立奇点的概念孤立奇点的概念.1sin1)(), 2, 1(1, 0的的奇奇点点都都是是zzfnnzz 注意：注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点。立奇点。例如例如0 z是函数是函数zzsin的孤立奇点的孤立奇点.的奇点存在，总有邻域内不论多么小的去心在)(,0, 01limzfznn孤立奇点孤立奇点 真的孤立？真的孤立？xyo这说明奇点未必是孤立的。这说明奇点未必是孤立的。.1sin10的的孤孤立立奇奇点点不不是是故故zz 若函数

3、的奇点个数有限，若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点则每一奇点都是孤立奇点. .孤立奇点孤立奇点 例例11 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性. .解解 kzz1,0),2,1( k，因为因为01lim kk即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在的奇点存在, 函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以孤立奇点孤立奇点结论：结论：若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点。若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点。否则就不是孤立奇点，而是奇点。？否则就不是孤立奇点，而

4、是奇点。？孤立奇点的类型孤立奇点的类型可可以以展展开开成成洛洛朗朗级级数数：内内在在于于是是内内解解析析在在的的孤孤立立奇奇点点，则则存存在在为为若若 |0)(.|0)(,0)(000zzzfzzzfzfz)1(.)()()(10000 nnnnnnnnnzzczzczzc.)()(100分分类类据据此此，将将孤孤立立奇奇点点进进行行的的主主要要部部分分的的性性质质完完全全体体现现在在级级数数在在点点 nnnzzczzf孤立奇点的类型孤立奇点的类型依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点0z的去心邻域的去心邻域 00zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:（1）可去奇点；（）

5、可去奇点；（2）极点；（）极点；（3）本性奇点）本性奇点1、 可去奇点可去奇点如果罗伦级数中不含如果罗伦级数中不含zz0的负幂项，那末孤立奇点的负幂项，那末孤立奇点z0叫做叫做f(z)的可去奇点。即：的可去奇点。即：f(z)在在z0的邻域内的罗伦级数实际上是一个普通的幂级数：的邻域内的罗伦级数实际上是一个普通的幂级数：c0+c1(zz0)+c2(zz0)2+cn(zz0)n+因此，这个幂级数的和因此，这个幂级数的和F(z)是在是在z0解析的函数，且当解析的函数，且当zz0时，时，F(z)=f(z)；当；当z=z0时，时，F(z0)=c0。,|0,)()(000zzzzczfnnn可去奇点可去奇

6、点 由于由于所以不论所以不论f(z)原来在原来在z0是否有定义，如果令是否有定义，如果令f(z0)=c0，那末，那末在在|zz0|内就有内就有f(z)=c0+c1(zz0)+c2(zz0)2+cn(zz0)n+从而函数从而函数f(z)在在z0就成为解析的了，由这个原因，所以就成为解析的了，由这个原因，所以z0叫做可去奇点。叫做可去奇点。可去奇点可去奇点其和函数其和函数)(zF为在为在0z解析的函数解析的函数. 000, )()(zzczzzFzf说明说明: (1),)(0的的孤孤立立奇奇点点若若是是zfz.)()()(0010 nnzzczzcczf)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz

7、 ,)(00czf (2) 无论无论在在是否有定义是否有定义, )(zf0z补充定义补充定义则函数则函数在在0z解析解析.)(zf可去奇点的判定可去奇点的判定(1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负0z)(zf在在如果如果幂项则幂项则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.(2) 判断极限：判断极限：:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.可去奇点可去奇点例如，例如，z=0是是sin z/z的可去奇点，因为这个函数的罗伦的可去奇点，因为这个函数的罗伦级数级数中不含负幂的项。如果我们约定中不含负幂的项。如果我们约定

8、sin z/z在在z=0的值为的值为1（即（即c0），），sin z/z在在z=0就成为解析的了。就成为解析的了。.1cos102的的可可去去奇奇点点和和是是zzzezz 可去奇点可去奇点例例2 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为0 z所以所以的可去奇点的可去奇点.为为zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 2、极点、极点1、定义、定义如果罗伦级数中只有有限多个如果罗伦级数中只有有限多个zz0的负幂

9、项，且其中关于的负幂项，且其中关于(zz0)-1的最高幂为的最高幂为(zz0)-m，即，即或写成：或写成：那么孤立奇点那么孤立奇点z0叫做函数叫做函数f(z)的的m级极点。级极点。001( )( ), ( )()0()mf zg zg zg zzz0在z 处解析,且极点说明极点说明 20201)()()(zzczzcczgmmma.内内是是解解析析函函数数在在 0zzb.0)(0 zg特点特点:(1)(2)的极点的极点 , 则则0z)(zf为函数为函数如果如果.)(lim0 zfzz极点极点.)1(1102的的极极点点都都是是和和 zzzz.!211!110 nzzznzzzennnz，这是因

10、为，这是因为级极点或者称为单极点级极点或者称为单极点的的是是10zezz 例如：例如：对有理分式函数对有理分式函数,)2(23)(2 zzzzf是二级极点是二级极点, 0 z2 z是一级极点是一级极点.极点极点函数函数f(z)有有m级极点时，函级极点时，函(z)也可写成：也可写成：f(z)=g(z)/(zz0)m （5.1.1）其中，其中，g(z)=c-m+c-m+1(zz0)+ c-m+2(zz0)2+其中，其中，g(z)在在|zz0|1)级零点，那末级零点，那末z0也是也是 f (z)的的m-1级零点。级零点。奇点举例奇点举例例例5-1-1 试求试求1/sin z的奇点。的奇点。解解 函数

11、函数1/sin z的奇点显然是使的奇点显然是使sin z=0的点。这些奇的点。这些奇点是点是z=k (k=0, 1, 2, )，因为从，因为从sin z=0得得eiz=e-iz或或e2iz=1。从而有。从而有2iz=2ki，所以，所以z=k。很明显它们是孤。很明显它们是孤立奇点。由于立奇点。由于(sin z)|z=k=cos z|z=k=(1)k0所以所以z=k都是都是sin z的一级零点，也就是的一级零点，也就是1/sin z的一级极的一级极点。点。零点和极点的关系零点和极点的关系注意：求函数奇点时，不能一看函数的表面形式就急注意：求函数奇点时，不能一看函数的表面形式就急于作出结论。象函数于

12、作出结论。象函数(ez1)/z2，初看似乎，初看似乎z=0是它的是它的2级级极点，其实是一级极点。因为极点，其实是一级极点。因为其中其中(z)在在z=0解析，并且解析，并且(0)0。类似地，。类似地，z=0是是sh z/z3的的2级极点而不是级极点而不是3级极点。级极点。 零点零点/极点的判定极点的判定在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的。在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的。级零点；级零点；的的是是级零点，则级零点，则级和级和的的和和分别是分别是若若nmzgzfznmzgzfz )()()1()()(00（2）当）当mn时，时，z0是是f(z)/g(z)的可去极点；的

13、可去极点；（3）当）当mn时，时，z0是是f(z)/g(z)的的nm级极点。级极点。证证0( )()( ),mf zzzz00( )()0zzz在 处解析且00( )()0zzz在 处解析且0( )()( ),ng zzzz定理：定理：零点零点/极点的判定极点的判定00( )(),( )( ),1( )( ),()( )m nn mxzzmnzf xxg zmnzzz故定理成立。说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法零点零点/极点的判定极点的判定，设设23)1(sin)1()( zezzzzf例如：例如：;1sin0;5)1(02

14、3级级零零点点的的为为分分子子级级零零点点的的为为分分母母容容易易判判断断zzezzz .4)(0级级极极点点的的为为所所以以zfz 零点零点/极点的判定极点的判定例例3 函数函数zsin1有些什么奇点有些什么奇点, 如果是极点如果是极点, 指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点,这些奇点是这些奇点是. )2,1,0( kkz是孤立奇点是孤立奇点. kzkzzzcos)(sin因因为为的一级零点，的一级零点，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一级极点的一级极点.即即零点零点/极点的判定极点的判定),(1! 3! 211zzzz 解解 0

15、221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以所以0 z不是二级极点不是二级极点, 而是一级极点而是一级极点.0 z是是3sinhzz的几级极点的几级极点?思考思考例例4 问问0 z是是21zez 的二级极点吗的二级极点吗?注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 .零点零点/极点的判定极点的判定.级数级数如果是极点，指出它的如果是极点，指出它的孤立奇点，奇点类型，孤立奇点，奇点类型，练习：考察下列函数的练习：考察下列函数的.sin)1()6(;sin)1(1)5(;sincos)4(;11sin)3(;2111)2(;1)1(22342zzzezezzez

16、zezzezzzzz 三、三、 函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态在讨论函数在讨论函数f(z)的解析性和它的奇点时，都假定的解析性和它的奇点时，都假定z为有限远为有限远点。至于函数在无穷远点的性态，则未提及。点。至于函数在无穷远点的性态，则未提及。有时在考虑解析函数的孤立奇点时，将无穷远点考虑在有时在考虑解析函数的孤立奇点时，将无穷远点考虑在内会给我们处理问题带来极大方便内会给我们处理问题带来极大方便.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态.)()0(|)(的的孤孤立立奇奇点点为为内内解解析析，则则称称的的去去心心邻邻域域在在若若zfRzRzzf 定义：定义：Rxyo函数在无穷远点的性

17、态函数在无穷远点的性态函数函数f(z)在无穷远点在无穷远点z=的（去心）邻域的（去心）邻域R|z|内解析内解析（称（称为为f(z)的孤立奇点）。的孤立奇点）。作变换作变换z=1/t，并且约定这个变换把，并且约定这个变换把z平面上的无穷远点平面上的无穷远点z=映射成映射成 t 平面上的点平面上的点 t=0，那么每一个向无穷远点，那么每一个向无穷远点收敛的序列收敛的序列zn与向零收敛的序列与向零收敛的序列tn=1/zn相对应。相对应。反过来也是这样。反过来也是这样。函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态即：即：令变换令变换:1zt 规定此变换将规定此变换将: tfzf1)(则则映射为映射为 z,

18、 0 t扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为)( nnzz)0(1 nnntzt映射为映射为 zRRt10 映射为映射为),(t 函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态同时，同时，z=1/t把把的邻域的邻域R|z|变为变为t平面上原点平面上原点O的邻域的邻域0|t|1/R，又，又f(z)=f(1/t)=(t)这样，就可以把邻域这样，就可以把邻域R|z|内对函数内对函数f(z)的研究化为在的研究化为在邻域邻域0|t|1/R内对函数内对函数(t)的研究。的研究。显然，显然，(t)在邻域在邻域0|t|1/R内是解析的，所以内是解析的，所以t=0是是(t)的孤立奇点。的孤立奇点。

19、函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 规定规定/定义：定义：如果如果t=0是是(t)的可去奇点、的可去奇点、m级极点或本性奇级极点或本性奇点，那么就说点点，那么就说点z=是是f(z)的可去奇点、级奇点或本性奇点。的可去奇点、级奇点或本性奇点。由于由于f(z)在在R|z|内解析，所以在此圆环域内可以展开成内解析，所以在此圆环域内可以展开成罗伦级数，有罗伦级数，有 （5.1.5）其中，其中，C为圆环域为圆环域R|z|内绕原点的任何内绕原点的任何一条正向简单闭曲线。一条正向简单闭曲线。函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态因此，因此，(t)在圆环域在圆环域0|t|1/R内的罗伦级数可由内的罗伦

20、级数可由(5.1.5)得得到，即到，即 （5.1.6）我们知道，如果在级数（我们知道，如果在级数（5.1.6）中）中 （1）不含负幂项；（）不含负幂项；（2）含有有限多的负幂项，且）含有有限多的负幂项，且t-m为最高负幂项；（为最高负幂项；（3）含有无穷多的负幂项。）含有无穷多的负幂项。 那么那么t=0是是(t)的的 （1）可去奇点；（）可去奇点；（2）m级极点；（级极点；（3）本性奇点。）本性奇点。函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态因此，根据前面的规定。如果在级数（因此，根据前面的规定。如果在级数（5.1.5）中：）中： （1）不含正幂项；（）不含正幂项；（2）含有有限多的正幂项，且）

21、含有有限多的正幂项，且zm为最高正幂；（为最高正幂；（3）含有无穷多的正幂项。）含有无穷多的正幂项。那么那么z=是是f(z)的的 （1）可去奇点；（）可去奇点；（2）m级极点；（级极点；（3）本性奇点。）本性奇点。这样一来，对于无穷远点来说，它的特性与其罗伦级数这样一来，对于无穷远点来说，它的特性与其罗伦级数之间的关系就跟有限远点的情形一样，不过只是把正幂之间的关系就跟有限远点的情形一样，不过只是把正幂项和负幂项的作用互相对调就是了。项和负幂项的作用互相对调就是了。 2、判别方法、判别方法1)不含正幂项不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且mz为最高正幂为最高正幂;3)含有无

22、穷多的正幂项含有无穷多的正幂项;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇点可去奇点 ;2) m 级极点级极点;3)本性奇点本性奇点 .判别法判别法1 (利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)(zf zR在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中:如果如果函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态.)(1)(0的的单单极极点点为为的的单单极极点点，所所以以为为例例如如，因因为为zzfz .sin)(1sin)(0的的本本性性奇奇点点为为的的本本性性奇奇点点，所所以以为为又又例例如如，因因为为zzfz .|)(的的类类型型内内的的展展开开式式来来判判断断奇奇点点在在或或者者讨讨论论，也也可可以以利利用用极极限限

23、类类似似于于有有限限孤孤立立奇奇点点的的 zzRzf例例10 (1)函数函数1)( zzzf在圆环域在圆环域 z1内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为:函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正幂项不含正幂项所以所以 z是是)(zf的可去奇点的可去奇点 .(2)函数函数zzzf1)( 含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项,所以所以 z是是)(zf的的 m级极点级极点.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态(3)函数函数zsin的展开式的展开式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzzn含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项

24、所以所以 z是是)(zf的本性奇点的本性奇点.课堂练习课堂练习.0,是本性奇点是本性奇点是一级极点是一级极点 zzzezzf1)( 的奇点及其的奇点及其类型类型.说出函数说出函数答案答案函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态判别法判别法2 : (利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限)(limzfn 1)存在且为有限值存在且为有限值 ; 2)无穷大无穷大; 3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 ;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇点可去奇点 ;2)m级极点级极点 ;3)本性奇点本性奇点 .函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态例例11 函数函数332)(sin)2)(1()(z

25、zzzf 在扩充复平面内在扩充复平面内有些什么类型的奇点有些什么类型的奇点? 如果是极点如果是极点, 指出它的级指出它的级.解解 函数函数)(zf除点除点2,1,0 z外外, ., 2,1,0cos)(sin处均不为零处均不为零在在因因 zzz所以这些点都是所以这些点都是z sin的一级零点的一级零点,故这些点中除故这些点中除1, -1, 2外外, 都是都是)(zf的三级极点的三级极点. z内解析内解析 .在在例例11),1)(1(12 zzz因因所以所以.2)(11级极点级极点的的是是与与zf )(lim2zfz那末那末2 z是是)(zf的可去奇点的可去奇点.为为一一级级零零点点，与与以以1

26、1 因为因为3322)(sin)2)(1(limzzzz ,33 232(1)(2)zzz当是的三级极点，例例11时时，当当 z使分母为零，使分母为零，nn1, 0 z不是不是)(zf的孤立奇点的孤立奇点.所以所以,sin)21)(1(13232 f因因为为的的极极点点，为为 11fnn时时，当当 n，0n 的的孤孤立立奇奇点点，不不是是故故 10f函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态要确定要确定t=0是否是是否是(t)的可去奇点、极点或本性奇点，可不的可去奇点、极点或本性奇点，可不必把必把(t)展开成罗伦级数来考虑，只要分别看极限展开成罗伦级数来考虑，只要分别看极限 是否存在（有限值）、为无穷大或既不存在又不为无穷大是否存在（有限值）、为无穷大或既不存在又不为无穷大就可以了。就可以了。由于由于f(z)=(t)，对于无穷远点也有同样的确定方法，即，对于无穷远点也有同样的确