高数___极限存在准则两个重要极限

1、1二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、极限存在准则一、极限存在准则第六节极限存在准则两个重要极限 第一章 2azynnnnlimlim)2(1. 夹逼准则夹逼准则 (准则1),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件 (2) ,010,N当1Nn 时,ayn当2nN时,nza令,max21NNN 则当Nn 时, 有,ayan,azan由条件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn20,N一、极限存在准则一、极限存在准则若若, nnnxyz满足下列条件：满足下列条件：3注意注意: : ,.nnnnyzyz利用夹逼准则求极限关键是构造出与并且与的极限是容易

2、求的准则准则1 和和准则准则 1称为称为夹逼准则夹逼准则.准则准则I. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则4例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解22111nnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn2nnn21nn5记记住住结结果果：11nnnlim)()(lim)(012aann2lim 1234nnnnn例解：解：nnnnn4443214444nnlim而而44321nnnnnlim62.2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限121

3、nnxxxxMmxxxxnn121lim()nnxaMlim()nnxbmnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab7222222的极限存在，并求此极限。证证：设212xx12nnxxnxxxx321又221x222212xx12222,nnxx单调有界数列,必有极限设axnnlimaa2022aa12aa2limnnx例例3 求证数列21xnx（舍去）81()2aAAA故极限存在，例例4 4 设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有aA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nx

4、a)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx91sincosxxx圆扇形AOB的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 011sin. limxxx 证证: 当即xsin21x21xtan21)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1o11sincosxxx故有10当20 x时01 cosx 2sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注( )0sin( )lim1,( )f xf xf x1sinlim330 xxx如说明：说明：更

5、一般的形式更一般的形式11例例5. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim0112.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 则则,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例6. 求求例例7. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x211311lim().nnen 可可得得：注注：exxx1011)(lim）等价形式：）等价形式：（exfxfxf)()()(lim1012

6、）一般形式：）一般形式：（例例8 8xxx231)(lim6331xxx)(lim6331)(limxxx6e(2)exxx )11(lim14例例9 9.)(limxxx521求求解解10221)(limxxx原式原式10 e例例1010 xxxxcot)(lim110 xxxxxxxxxsincos)(lim12210121xxxxxxxxxsincos)(lim122101212e1511例 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e16三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 1