第1章极限理论

1、精品文档数学分析选讲第一章极限理论§1极限初论、基本内容1.预备知识(1)函数的定义，构成函数的要素：定义域、对应法则，函数的值域，反函数,函数的四则运算与复合运算.函数的几何特性有界性有界与无界的定义.单调性单调递增与递减的概念.奇偶性奇偶函数的定义及其图象的对称性，奇偶函数的四则运算性质周期性周期函数的定义及其函数图象特征，基本周期.(3)初等函数初等函数在其定义区间上连续.(4)几个重要的非初等函数符号函数1，当xA。时日心入II_/、sgnx()=J。当x=o时，显然有x-xsgn(x).、-1当x<0时取整函数X和尾数函数(x)x为X的最大整数部分，(x)为x的非负小

2、数部分，显然有x=x+(x),且xT；x-x,0-(x)；1.Dirichlet函数：D(x) = *1,当x为有理数时0当x为有理数时精品文档Riemann函数:1当x=_p(p,q为正整数，p<q，上为既约分数)R(x)=Jqqq.0当x=0,1,无理数2 .数列与函数极限的定义(1) liman=aVs>0,三N>0,当naN时，有anacw.nJPC(2) liman=au在a的任一领域之外仅含数列an中的有限项.n，(3) |iman=°°(+吗一°°)uVM>0,3N>0,当nN时,.n有an>M(an&g

3、t;M,an<-M).(4)有界数列与子列的概念.(5) limf(x)=auV®>0,36>0,当0cx-x0时，x3X0有f(x)-a：；.(6) limj(x)=a,limf(x)=a,limf(x)=a,limf(x)=aftxx0.x9-xF：x/.r.：lim“乂)=2的定义，上述一系列定义中的极限为0°或土8的情形.x(7)无穷大、小量，高阶、同阶及等价无穷小量的概念.3 .收敛数列与函数极限的性质收敛数列有有界性、唯一性、保号性、保不等式性、迫敛性、子列等方面的性质.函数极限的性质有局部有界性、唯一性、局部保号性、局部保不等式性、迫敛性、归

4、结原则等方面的性质.无穷小量的运算性质和等价无穷小量在四则运算方面的性质.4 .数列与函数极限的存在性数列极限的单调有界定理和柯西收敛准则.函数极限的单调有界定理和柯西收敛准则、归结原则.二、难点解析与重要结果1. 一个数集无上界就是没有上界，也即任何实数都不是它的上界2 .在关于原点对称区间上有定义的函数必可表示成一个奇函数与一个偶函数的和.3 .两个周期函数周期之比为有理数时，则它们的和、差、积、商还是周期函数.4 .D（x）是以任一有理数为周期的周期函数，且无最小正周期.5 .xD（x）仅在x=0处连续，在其它点处都不连续.类似的（x-xi）（x-X2）D（x）仅在x=xi,x2处连续，

5、在其它点处都不连续.6 .R（x）在（0,1）中的任一无理数点处连续，任一有理数点处不连续.7 .R（x）在0,1上可积，且其积分值为0.q当x=2（p,q为正整数，p<q,E为既约分数）8 .Ri（x）=jqq为0,1上在任一点的任一邻|0当x=0,1,无理数域内无界的函数.9 ,定义（1）中的6具有双重属性，任意性用来保证an与a之间的距离可任意小，相对稳定性用来寻找N,N相应于君产生，但不是名的函数.在定义中N添加条件|aN-a|之以则定义没有发生变化，此时N唯一决定于匕即为名题函数，只不过在按照定义证明问题时的难度变大了.10 .定义（1）和（2）分别从定量和定性两个方面刻画了数

6、列an以a为极限的事实，在证明极限时多使用定义（1）,但有时使用定义（2）来证明会更简捷.例如，证明：若lima2n=a,lima2n书=a,则liman=a.nj.n）：n尸：11 .以空或学为极限的数列是一类特殊数列，要注意它与发散数列和无界数列之间的区别与联系.一般地，趋于无穷的数列必无界，无界数列未必趋于无穷，但无界数列必有趋于无穷的子列，无界且非无穷大数列必既有收敛子列又有趋于无穷的子列.函数的无穷大量与数列有类似的性质.12 .定义（5）中的a与定义（1）中的N的性质类似.13 .四3"的定义将场an=a反过来，在场an=a的定义中，对所有的名都能找到一个N,使得当nN时

7、有an_a|<名成立，将上面的陈述反过来即为,有这样的一个%，找不到满足要求的N,即所有的N均不满足要求，也即对所有的N都能找到n，这个n依赖于N，满足n>N，但有an-a|之加.一般地，由liman¥a可得，数列an的一个子列anj,使得瓯-a之即.n_ck14 .蝮f(x)*a的定义为3s0>0,V6>0,zx§,使得0<|xx0|<"但有f(x8)-a之.一般地，由limf(x)。a可得，存在数列xn使得ux_0xnTxo,xn=x0,但有f(x)nk-a|之玩.15 .有界数列不一定收敛，但有界数列至少有两个收敛于不同极

8、限的子列；任何数列必有单调子列.16 .由保号性的证明知若liman=a,limbn=b，且a>b,则三N,当n,maN时，有anabm;进一步地n"n_.ab有三N,当n>N时，有an>>bn.217 .迫敛性与定义之间的联系，极限的定义中在寻找N(6)时由于不一定要求最小(大)的N(6)可以对不等式进行适当的放大，且一般是双侧同时放大，而迫敛性告诉我们在放大时也可以两侧分别放大.18 .单调数列收敛的充分必要条件是它有一收敛子列.19 .归结原则的条件可减弱为：limf(x)存在的充分必要是任一严格递增趋于xM0-Xo的数列xn,其对应的函数值组成的数列f

9、(xn)均收敛.20 .由柯西收敛准则的逆否命题知，若数列an发散，则0A0,存在烝的两个子列歌和葭使得ank-am"之.若limf(x)不存在，则kkIx0会0>0，存在XnTX0,ynTX。，但f(Xn)f(丫口)|之加a,+a-+a21. 若liman=a,则lim=a.nn/：n22. 若an>0,且liman=a,则limn/a1a2an=a.n'n.n'n.n23. 设a1,a2，ak均为正实数，则nimj/aj+a2n+aj=max(a1，a2,，aj.24. Stolz公式设an严格递增，bn为任一数列，且limannF二若lim bn1

10、-bnfan 1 - an+ =o ,则 lim 9-=«fan25.设an严格递减，且 lim an =0 , lim bn = 0 n )二二n_)二二aa若 lim -1 = « + > ，贝U lim '« + 如.5an4anTan1n n,1、二o() ,(a 1,k 0) n11L诉)(0，k 0)l =o( k ) ,(l0,k . 0),.ln n ln (ln n)26.等价无穷小量的来源主要为taylor公式和函数的幕级数展开式.三、基本题型与方法1.用极限的定义证明极限(1)直接解不等式an-a<8(f(x)-a<

11、£),得最小(大)的N(6).(2)有时直接解不等式|an-a<君较困难，由于定义中没要求求最小的N,故可将an-a进行适当的放大，如an-a<h(n),然后解不等式h(n)名得N1，一般地Ni不是最小的N，但最小的N是存在的。(3)分步放大；有时直接放大有一定的困难，特别在已知一极限的基础上再证明另一极限的问题中，常需进行多次地放大。注在证明极限的过程中常用到的几个著名的不等式：(1) Bernoulli不等式：当h42时，nWN,有(1+h)n21+nh.(2) Cauchy-Schwarz不等式：寸ai,bii=1,2，n，总有n2nn一_2一2(aibi)三aib

12、i.i1i1i1平均值不等式：Vai>0,i=1,2,n,总有11.Ja1a2-anaia2an1ln(1-)n1:二一.n用极限的定义证明下列极限3-2n-2nnlim32n3n-n-322nlim-=0,an(a1).-216x21.-9证明(1)由于一2n2n2-5n3n625n3n62n3n2-n-3(536)n2(I"32n3n2-n-32_-nn32n3n2-n-314n22322323nn(nn).(n3)333若2n33即n>1,所以，当n>1时，我们有所以,所以,令h0:二32n-2nn322nn-n-321、-；0,TN=max(1,一)3-2n

13、-2nn32nn-n-32-1,则h>0,所以an(1h)n14n22322323nn(n-n)(n3)333当naN时，有c32c2nn-n-3.n(n-1)2n(n-1)(n-2)3.n1nhhhh3!21<n6n6n(n2-3n2)h3-h3(1n2(1n2-3n)2)当1n2-3na0时,2即n>6时，有0<工<-6=£,所以,na.312hnhn212寸名>Q三N=max(6,3),h3当naN时，有0c2n-n-.a2所以，lim=二0.na(3)由于16x2-9-1:16x2-9限制x-116(x-1)(x 1)16x2-9<

14、x <9 ,故16(x1)16x2-916(x 1)16x2-9：12.所以，V6A0,取6=min1,£当x-1<6时，有|J1<z.81211V16x-9故,注上述例题中的(1)给出了用定义证明有理数列极限的一般方法，其具体做法是将分子的各项系数取绝对值后相加所得和再乘以分子的最高次幕，统计分母中与最高次相符号不同的项数k,将其首项分成(k+1)份，通过限制n的范围，1一将分母缩小为首项的士.(2)给出了速度相差指数倍的两数列之比的极限证明k1的一般放大方法.(3)给出了一般地函数极限的证明方法.其做法是在表达式中分离出|x-x°|的成分，通过限制|x

15、-x°|的范围，求出剩余部分的一个有限上界将不等式放大.aa。a例2(i)已知nman=a证明nmn=a.(2)设函数f定义在(a,+叼上，f在每一个有限区间(a,b)内有界，并满足f(x)lim(f(x1)一f(x)=A.证明lim=A.x>二x>二x分析由于已知条件中仅知道lim%=a，而要证明的是已知数列经过运算后所nF二得的表达式的极限问题，一般常用还原法来解决.即令an=a,则aia2anaa一一a=a,nnaa-a故将a还原为n，从而可看出后面的表达式中各成分为待证极限的所作的贡献.证明(1)由liman=a,故寸名>0,三N1>0,当naN1时，

16、有ana<6.n,考察a1+a2+ana1+a2ana+a+aa一a+a2a+anaa=nnnn二(a1-a|-|aNa旧a小an-a)nnr一1lI.一二-,由于lim(a1-a+aN-a)=0,故二N2A0,当n>N2时，有n廿n11.、(a1-aI+|aN1-a)<6.a+a_'a取N=maxN1,N2,当nN时，有a|<2s.na1所以lim电nT二二(2)由！im(f(x+1)-f(x) =A,故VsA0；M>0,当x>M时，有f(x+1)-f(x)A<5又f在(a,M+1上有界，设在(a,M+1上有f(x)|<G,且x>

17、M,二n使彳xx_n>M,Mx_n-1-M.故当x>M时有f(x)-Af(x)f(x-1)-A+f(x-n+1)-f(x-n)-A+f(x-n)+(xn)AxnG+(M+1)Aw一名+.xxg.G+(M+1)A八二山、【三一/*/日、/口"门”*G+(M+1)A匚匕又lim-=0,所以二Mi>a，使得当xaMi时，有<8.所x-xx以，取M2=maxM,M1,当xaM2时有-f-()-A<2®.x所以，limfx=A.X-x注(1)用Stolz公式一步即得.2.证明极限的存在性一般地，要证明极限是多少时常使用极限的定义来证明，但当不知道极限是多

18、少时，主要使用单调有界定理和柯西收敛准则.11例3证明数列xn=1+-lnn收敛.2n.一111证明由于xn由-xn=-ln(n+1)+lnn=-ln(1十一)<0,n1n1n21n1一)二、一一' ln( 1)1k m k kdk所以数列xn单调递减.pJ1nnT又xn=-ln(-kakn-1n-2所以数列xn单调递减有下界，故收敛.注一般地，在证明单调性时，常考察xn书-4的符号，或者将为与1进行比xn4较，在此过程中经常用到导数方面的知识.另此数列的极限为欧拉常数C,故有111 +=c+lnn+"n,其中%为无分小量.2 n例4(1)证明数列xn=亨+学+snr收

19、敛.1-(2)证明limsin一不存在.x0x分析一般地，在遇到考察数列或函数的极限的存在性时，首先考察该数列或函数的单调性，若单调则多用单调有界定理来解决，否则再考虑使用柯西收敛准则.显然本题中的数列和函数均不单调，故选用柯西收敛准则来处理.证明(1) VEA0,Vp,由于 邻一 Xn111< + +- 2n 12n 22n 书sin(n 1)2n ,112nsin(n p)2n书 1 ,所以可取N =,当n >N时，对任意的自然数p，总有Xn.p - Xn:二；，由柯西收敛准则知数列Xn收敛.1(2)取% =2,V6 >0,取n充分大，使得x16 =2n 二2n 二一 2

20、显然有Xi<6,< 6，但是,sin-sinX1x21、sin 2nq -sin(2n )1所以lim sin 一不存在.X 0 X注在使用柯西收敛准则证题的第一步必是放大 p，在函数中通过适当地放大去掉一个点.3.求极限，在数列中通过适当地放大去掉(D(2)例5利用极限的性质求极限;利用初等变形求极限；(D求下列极限A222n -1(2)(D令an_132n-1rrr所以1an一二an22221=2an=：(3一2n，呜an13.2n-1I-1'222313-1.(2n-1)-(2n-3)2n-1=十十十-2222n32n).2n2门1所以lim(13.2n-1十十十22

21、22n2n3、八)叫仃一)(2)由于ln力e2anlna1lna2Inan,又liman=a,故limlnan=lna；n)二二n由例2知lim-n”二lnailna2lnan=limlnan=lna,所以limn)：注(1)中使用错位相减法求出表达式的缩写式，求缩写式的方法还有利用部分分式定理来拆项，利用求和公式来求和等方法.(2)中使用的是用初等变形转化为已知极限来求的，使用此方法的前提是熟练掌握一些极限表达式的极限.limqn=0,n?q<1;limVa=1,a>0;nc由lim(1+x)x=e,故若limf(x)=1,limg(x)=+=°,且limg(x)(f(

22、x)-1)=口,x_0x_ax声x_a则limf(x)g(x)=ea等.x_a(3)利用罗必达法则和泰勒公式求极限；ln2n例6求nimm.卜>。)解由于lim2lnx=lim2lnx.2=网干=0,故由归结原则知limln2nni：n注一般地，大多数关于数列的不定式极限，均可通过此方法来解决.(4)利用定积分的定义求极限；例7求11m(.二.2-sinsinnn_sin二n1n2).,二.2二sinsin一sin二(sinsinsin二)n1nn1二2二二(sin-sinsin二)一二nnn.二.2-sinsinn.n.sinn111n-n2n2-(sinsinjisin二)一n-n1

23、.二.2二.二而lim-(sin-sinsin)n1二nnnsinxdx二0二12二lim(sinsin-n二二nn一.二一.2二sin二)一二n-二sinxdx=2二0二sin一sin一所以lim(nn-nn11n-2sin二、2)二一1二n-n注此类题目的特征是n项之和与一与二同阶的无穷小量之积，要特别注意定积n分定义中点的取法与区间的分发的灵活性所导致的题目的复杂性，由于无穷乘积可通过去对数转化为无穷求和，所以有时无穷乘积的极BM也可用此法来解决.例如求lin 1 n 2 2n(5)利用迫敛性135(2n1)例6证明limn一246(2n)2n -1 2n<2n 2n 11234证

24、明由于 3 5：(2n -1) 2( 2 4 6(2n) )父4,3<423452 4 6(2n)3 5(2n 1) - 2n 1135(2n-1)<246(2n)即有0<135(2n°<1,所以，V6A0,：3N=y,当nN时,246l(2n)%2n+12/有 1 35 ：(2n -1) _ 12 4 6 ：(2n)2135:(2n-1)八:所以,lim=0.f.：246(2n)例7(1)设a1，a2，ak为k个大于0的实数，求)弋+aj.(2)设f(x)>0,在区间0,1上连续，试证limnlffn(x)dx=maxf(x).nj：.'0x;

25、0,1解(1)设a1=maxa1，a2,，aj，则a"n/aj+aj<Uka1.而lima1=a1,limVka1=a1，所以limn/a1n+akn=a1.nj：n.nj.(2)设M=maxf(x),f(x)在区间0,1上连续，故存在Xo使得M=f(x0),x-0,1KVs>0,36>o,使得当x-x0<6时有f(x)>Mt.所以f n(x)dx>(M -s)n 2d ,1nxo二0f(x)dx-n.xo,.而lim(M-£)v2=MAM-23,所以3N>0,当nN时有n一：二M n.(nxo-fn(x)dx>n/fTfn(

26、x)dx>(M酚疹>M2名，即有.xox0-J.nxo-j(X)dX-M所nimvvn(x)dx=xa,xf(x)-四、综合举例n例 8 设 xT 0 时，f (x) x ,xn = £ i 4f(2i 21 a),证明 lim xnnn立=a (a 0).分析若令f (x) = x, n 2i -1、，一 一， n 2i -1 ，一，则xn =£ 2T1a = a,故将a还原为工2T1a来处理.i 4 ni=1 n证明由于f(x) x，故Vwo,：36 a。，当<6时，有2n -1a =0,故对上述6>0Ona0当nN时有f(x) Ix2n -1a

27、n所以当nfz2i -1、 f ( a)时，且1与"有|一2i - 1-an-1 <6，即2i -1 2 an二"an所以xn2i -1f ( a) -anf(2i -1na) 一 ,二 id2i -1- a nn<zi 1f(241a)-n2i -1-a nn<zi 12i -12a ； = a ；. n故|imxn=a.注此题的解法又称为“拟合法”.再例如1h二例9设f(x)在0,1上连续，证明：lim+f-2f(x)dx=f(0).x00hx，21 1分析首先要找出一的来源，易见lim+f/三dx=一,故将一还原为2xo0h2x2221 hljm+J

28、。f42dx来考察.xQ0hx由于f (x)在0,1上连续，故V&A0JSA0，当0<X<6时有1 h,hh1hJ-rf(x)-f(0)dx=L0-,-2f(X)-f(0)dx+L-2_2f(X)-f(0)dx0 h+x0h+x魂h+xah1hf0-22If(x)-f(0)dx+1；_2If(x)-f(0)|dx0 hxhx、h< 2 0 h2x21 h”而 x2f(x)-f(0)dx 一 ；22 h2 x2f(x)-f(0)dx1h11又由于22f(x)-f(0)dx<h2f(x)-f(0)dx=hM,所以0,hxx当0<h<露时有hM<z.

29、1h二所以，Ve>0,g>0,当0ch<a时，有|2+2f(x)f(0)dx|<(万+1)E,1所以，呵-0h222h xf(x)dx = ximm 0,22h xf (0)dx = 3 f (0).例 10 设 lim an = a ,n-pi >0 ,(i =1,2,)，且 lim左=0.n '二 P1Pn证明pna1pn Ja2p1anlim 二a .(东北师大)二 P1- Pn分析令anPna1Pna2 一 一 panPnaPna - pa=a 则=P1PnP1Pn=a,故可将a写成Pna-，P1a来考察.P1Pn证明由于PnQ . Pna2 Pe

30、nP1Pn=Pna+Pn,a2+PanPna+Pn4a+P1aP1,PnP1",Pn二Pn(a1一a)+Pn,(a2a)+P1(ana)P1PnPn|a1一a|+Pna2-a卜+P1|an-a|P1Pn由"man=a，知Vw>0,a0,当n>N1时，有an-a<&,且三M>0，使得n有an-a|<M.又limp=0,故三心>0,当n>心时,有0<pf：PlPnPlPn所以,取N=Ni+N2,当nN时Pn|ai-a|+Pn|a2-a/+Pi|an-aRPn<Pn|ai-a|+PnNi|aNi-a|+Pn/aNT-a

31、|+Pi|an-a一PiPn< (M i)；.PnMPnNiiMPn科一Pi；PiPnPnaiPna2Pian.Pi .Pnn_：,lim二a.注以上三题均通过改写an-A中的A,使之与an具有相类似的形式，故这种方法又称为拟合法.例ii设实数列Xn满足lim（Xn-Xn）=0,证明lim3二殳=0.n>:n>二n证明（法一）由HmJXnXn/）=0,故VWA0JNiA0,当nAN1时，有XnXn<.令yn=|Xn-Xn，则-X。/|引丫口一Yn，所以Xn-Xn|Yn|Yn-yn-Yn工一Ynq十一十丫2由一丫丁、丫1nnn/Yn-Yn|+|Yn-I-Yn二|十十|Yn

32、i七一Yni|十|丫2|/一NYni三三£«十nnnI-YNiC,.f,YNi又由于lin=0,故二心>0,当n>N2时有<名.nnnXc-XXc-X取N=maXNi,心,当n>N时有|n口I<22所以叫n口n8（法二）令an=XnXn,bn=n，则0严格递增趋于+，且liman-an，=lim(xn-xnN)=0,故liman=limxn-Xn，=0.n,二bnbnn止n>:：bnn'二nXc例12已知数列Xn辆足lim(xn-xn/)=0,证明lim一=0.nF：n'n证明由lim(xnxn)=0，故Vwa0,：3Ni

33、>0,当naNi时，有xnxn<s.n即当n>Ni时，有一名<xnxn<z,-；：二XnXnN:二；,一"Xw2XNi1.Xn n - N - iXN iXN i< <z +< g +n nnn相加得一(nNi-1)；：二Xn-Xn1；(n-Ni-1)<两边同除n得-g+2<_n_N_i名+汕nnn:二:.即父土|.又lim,包±1=0，故引2,当nN2时有迎1nnn>:-nn一一一,，Xc取N=maxNi,N2，当n>N时有|<2S.nXh所以nim年注上面两个例题的方法具有很强的典型性，已知某

34、定距离上的函数值之差，而要考察函数值自身的性质，常使用到该方法.即据已知写出一系列不等式，将这些不等式相加得距离变大的点处的函数值之差.Stolz公式的证明就使用的是该方法也适用于函数极限的问题中，如例i3设函数f(x),xW(0,i)，满足f(x)T0(XT。+)，且f(x)-f(.=o(x),证明f(x)=o(x).证明由f(x)f(2x)=o(x)，故V"0,9"当0<x<s时有Xf(x)-f(-)2x即当0<x<6时有一x:二f(x)-f(1)二x,-壬呜)-哮)或XXX21fqn)f(2n)21.一1一一X1相加得-；x(2-五)：二f(x

35、)-f旨)x(2-*).f(x)X由f(x)t0(xt0+)，在上式中令it8得一2敏<f(x)<2ex,即<23所以lim(x)=0,即f(x)=o(x).J0.x例14设Xn =1p 2P 一npnp1,其中p为正整数，求lim xn.n解（法一）令an =1p -2p -十np,bn =np由，则bn严格递增趋于an 1 - anlim t lim(n 1)p-bnn-(n 1)p 1 p 1-II=lim 一ni.：n(n 1)pp* 十(p+ 1)np 十.一 十1np+p+1据 Stolz公式知lim x n一）二二（法二）11p1=xpdx例15设X(0,1),

36、Xn4t=Xn(1-Xn),n=1,2,"'证明Jjm0nx=1.(北师大)分析本题要想从已知条件中找出nxn很困难，此类题目一般都是通过stolz公式消去n.2证明显然XnW(0,1),Xn4A=%<Qn=1,2,即数列4单调递减有下界，故收敛，且极限为0.一,1，一,所以数列严格递增趋于十比,据stolz公式有xnn一n1n一Xn1Xn一Xn1xnxn-1limnXn=lim=lim-二lim二lim2二limn'二一1n>：1n-；Xn-Xn-1n'二Xnn'二XnXnXn1Xn=lim(1-Xn)=1n_.例16设X1=sinxA0

37、,Xn41=sinXn,n=1,2，证明ljmXn=1.-一,1证明易见数列Xn严格递减趋于0，所以数列'严格递增趋于,xn据stolz公式有.n 2 lim xn n1 3二 lim - n 12Xn 112 xnJim3 二、2. 22.2.Xn Sin Xn _ 1 t Sin txn2 一 sin2 xn 3 t t2 - sin21注上面两例的共同特征是给出的是一个无穷小量，而要考察的是该无穷小量的某一无穷大倍的极限问题，其一般方法是通过stolz公式，消去倍数，还原为已知的来考察.例17求下列极限n1_J_(1)Xn八(nk1尸一(nk-1)-k,kWXn=n1an,(a0

38、),n(n1)(n2)(nn)(3)xn-n1(4)Xn=(b"ni_2£J-1)xbnsinb2n,(b1),i4(5)xn=n2(arctana一arctanann1x121,(6)蚓:“t匕下出，tanx-sinx呵3,x-0xxt2x-edt(8)呵2'9,x-0xsin2x),-a2)ln(1ax),(a=0)n(10)lim上n,二3nn!(1)由于nk:n1+1<(n+1)，故有<n1所以n1Jn1)k：1，即lim(nkn'二kmi1尸=1.n同理lim、n一）二二k11(nk-1)k=1，所以limxn=0.n>(2)当0

39、<a<1时,显然有jjmXn=1.当1wa时，由于a<11+an<n2an=n/2a,所以limxn=a.n(3)由于lnXn,ni1=ln(1)-i=1i,oln(1x)dx=2ln2-1,(n二)所以limxn1Xni2i1bnsinb2nn2i1i1=vsinb2n(bni1-bn），可将Xn看成是函数sinx在:二bn，二bn,2i1所以limXnn；=：=lim、sinb2n(bb-bn)=jsinxdx=cosl-cosb.(5)由于Xn2/a=n(arctan-arctann）,其中匕（S，a），所n1n21aaa、以limXn=limnr()=a.j12

40、3*nn1X12121(6)limttan=dt=limtan-=1,其中(x,x1).xJ二二xt2X.2一、tanx-sinx网方3321-cosx1-cosx3cosxsinx1lim-2-二lim2二lim二-X03xcosxx03xx>06x2(8)xt2x-edt-0lim-2x10xsin2x,X21-e=lim2x02xsin2x2xcos2x=limx)0X2一2xe2.八2sin2x4xcos2x4xcos2x-4xsin2x所以 lima-(口x0 XX4 2afo(ax)2)(ax)-a2)ln(1 ax)= limoo(1) a3x.2.(9)由于ln(1+ax

41、)=ax-+o(ax),nn(10)考察级数n-nm3nn!(n1)(n1)3n1(n1)!nn1°(1-)nn3-：二1,(n1)32.极限续论一.基本内容。1 .基本概念(1)上确界：设S为一实数集，”为一实数，如果(i) Vx=S,有xE(ii) V名A0,三X0WS,使得X08.则称州为数集S的上确界,记为"=supS.(2)下确界:设S为一实数集,之为一实数，如果(iii) VxS,有x之之(iv) Vwa0,三x°wS,使得xo<+8.则称之为数集S的下确界，记为之=infS.(3)聚点：设S为一实数集，2为一实数,如果在自的任一领域中均含有S中

42、的无穷多个点，则称之为S的一个聚点.(4)数列的聚点：设(an)为一数列a为一实数，如果a的任一领域也均含(an)的无穷多项；则称a为(an)的一个聚点.数列(an)的最大(小)聚点称为(an)的上(下)极限.2 .基本结论(1)确界原理有上界的非空数集有上确界存在，有下界的非空数集有下确界存在(2)单调有界原理单调有界数列有极限存在.(3)柯西收敛准则数列(xn)收敛的充要条件是V®>0,3N>0,当nN时，VpwN,有|Xnp-Xn|<；.(4)闭区间套定理若闭区间列an,bn满足：(i) VnN,有an+bn*Uan,bn;(ii) lim(bn-an)=0.

43、x一串二则存在唯一的实数上，使得anEbn(n=1,2，.).(5)聚点定理有界无穷点集有聚点存在.(6)致密性定理有界数列必有收敛子列.(7)有限覆盖定理设H是闭区间a,b的一个开覆盖，则必可从H中选出有限个开区问它们也能覆盖a,b.二.难点解析于有用结果1、关于确界的定义(1)设S为一非零实数集，”为S的一个上界，则”=supS的充要条件是存在Xn-S,使XnT"(nT叼.(2)设S为一非零实数集，”为S的一个下界，则e=infS的充要条件是存在Xn£S,使XnT*nT%.2、确界的性质(1)设A、B两非空数集，定义A+B=x+y|xWA,ywB,则sup(AB)=su

44、pAsupB,inf(AB)=infAinfB.特别的sup(A+M)=supA+M,inf(A+m)=infA+m,其中M、m为两个实数.(2)设A、B两非空有界数集，且AEB,则infB三infA三supA<supB.(3)设A、B两非空有界数集，则sup(AuB)=maxsupA,supB;inf(AB)=mininfA,infB.(4)设f(x)与g(x)均为D上有定义的有界函数，且xD,有f(x)Mg(x),则inff(x)infg(x)<inff(x)g(x)<inff(x)supg(x).-supf(x)g(x)Msupf(x)supg(x)(5)设f(x)为D

45、上的有界函数，M=supf(x),设m=inff(x);则sup|f(x1)-f(x2)|二M-m.x1,x2-D(6)数集S有最大(小)数的充要条件是supSeS(infSS).3、关于聚点的定义(1)设S为一数集，之为一实数，则之为S的聚点的充要条件是在'的任一领域中均含有S中的一个异于之的点.(2)设S为一数集，之为一实数,则之为S的聚点的充要条件是在S中的互异点列xn,使得xnT：(nT8).(3)若"=supS皂S,则“为S的一个聚点.4、关于单调数列的极限(1)单调递增数列的极限是它的上确界；(2)单调递减数列的极限是它的下确界；(3)单调数列收敛的充要条件是它的

46、一个子列收敛.5、关于区间套定理(1)将闭区间套改成开区间套结论不真，但若改成严格开区间套，则结论仍然正确；(2)若'为区间套定理套出来的公共点，则>0,三N>0,当nN时，有an,bnU(,)；(3)将区间套定理中的条件(11)去掉，仅破坏了结论中的唯一性6、有限覆盖定理中的开覆盖不能改，如改成闭覆盖，则结论不成立.一-11例如：，一|n=1,2是0,1的一个闭覆盖.n1n7、压缩映像原理(1)设4是一个数列，如果工满足0<r<1,使得VnWN有|Xn+Xn|XnXn|,则数列4收敛.(2)设f(x)将a,b换成a,b,则三r,满足0<r<1,使得

47、寸x,ya,b有|f(x)-f(y)|，r|x-y|则三x三a,b使得f(x)=x.8、关于上、下极限a=limanu(i)V&>0,3N>0,当n>N时，有an<a+'(ii)V名>0,数列an中有无穷多项大于a-九a = liman 匕n， na=limsupak.k：,n,k设a=limnU，则存在an的子列ank,使得ankTOkTg);关于下极限有类似的结论.三、基本题型与方法1、利用定义证明问题此类问题的解决主要依赖于对一些基本概念的深刻理解.例1设“=supS且“叁S,则必可以从S中选出一个严格单调递增数列Xn,使XnT”(nT8).

48、证明：由于"=supS且”更S,故Vx-S,有XM”；(ii)V8>0,三xwS使Xe”-君.取第=1,则力WS,使狗一1cxi<刈；一一1.1取£2=min-,n-x1,则二x2wS,使“一/<x2<"即x1cx2<“且"-<x2<n；一_1取=mm一产一七/，则二xnS,使"一8n<xn<“即*口*口且n1<&<n;n如此下去，则得数列xnS使得%严格递增，且xnT”(nTg).例2设a为单调数列，证明，若1存在聚点，则必是唯一的且为%的确界.证明：不妨设%单调递增，

49、若xn无上界，则1nm乂门=收,于是，VMwR?N,当n>N时，有xnAM+1,所以M的领域U(M,1)中至多含有xn中的前N项，因此M不是xn的聚点，由M的任意性可知，xn没有聚点存在矛盾，故数列xn有上界，所以数列xn收敛，且收敛于X的上确界。即limxn=supxn,即SUp%为xn的聚点。设n?.之是Xn的聚点，即之为Xn的某一子列的极限，而由海涅定理知Xn的任一子列均收敛于SUP%,所以Xn有唯一聚点SUpd.nn例3证明limXn+limyMlim（x+Vn）ne二ns：ne;证明：设ljm_Xn=A,lim_yn=B,则Xn+yn）=C假设A+B>C,由下极限的nl：

50、nl：n_：二AB-CJE义，对寸名下0有无分多个n,使Xn+yn<c+注.取名=2,则有无分多个n,使Xn+yn<c+a=A+B-2w+a=A+B-w.又limXn=A,limy=B，因此对上述“0,只有至多有限个n,使<A-nT：n2也只有至多有限个n,使<B-2,因而只有至多有限个n使得Xn+yn<A+B-W矛盾.2、递推形式的极限此类问题的处理一般是首先通过单调有界定理成压缩映像原理证明极限存在，然后对递推公式的两边求极限，最后解方程得到极限值.若递推公式的生成函数是一次函数一般是利用递推公式直接求此表达式后求极限.例4设Xi=a,Xn书=pXn+q；试确

51、定Xn的敛散性解：由于XnXn,ulpXn,+q）（pXn,+q）=P（Xn_LXn）=P2（Xn/-Xn）=pn%2-Xi）；_nJ3Xnd一*口_2=P（X2-X）i；J/X2-Xi=p(X2-X)i,1-n4所以XnP(X2-Xi)Xi.1-P所以|P|>i时，Xn发散；|p|<1时，Xn收敛,且limxn=x2px1.n:1-p1-p当p=1时，q=0收敛，q#0时，发散.当p=-1时，q=2a收敛，q#2a时，发散.若递推公式是由有理函数给出此类问题一般是先通过考察递推形式来确定xn的范围，然后，再由xn的范围来确定函数的单调性，或通过求其发生函数的导数的界，用压缩映像原理来解决.例5设a>0,0<x1<a,xn+=xn(2xn),证明xn收敛.a1.2证明：由于xn+=-(xn-a)+a,知xn<a,a所以，xn噂=xn(2逐)>0,即有0<xn<a,n=1,2,a又由xn1=xn(2-&).0,所以，.=2-xn.2;=1.axnaa所以数列xn单调递增有上界，故收敛.一、44、,一一例6设