第1讲变化率与导数、导数的运算

1、精品文档精品文档导数及其应川第1讲变化率与导数、导数的运算【2013年高考会这样考】1 .利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.2 .考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导.【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.科*KAOJIZIZHUDAOKUE一一2一一一一一一八一一一一一一一八一一一一八一一届”一占一一一一一一4一一一4Q1*考基自主导学的看感记j教学相长基础梳理1.函数y=f(x)从xi到X2的平均变化率函数y=f(x)从X1到X2的平均变化率为.X2X1若Ax=X2-X1,®=f

2、(X2)f(X1),则平均变化率可表示为1y.LjX2,函数y=f(X)在x=X0处的导数定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率liAxm»0§=liAxm>0f(X0+彳厂f(X0%函数y=f(x)在X=X0处的导数，记作f'(x0)或y1|x=X0,即4.Xf'(X0)=liAxm»0y.ZAX(2)几何意义函数f(x)在点处的导数f'%)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(X0,f%)处切线的斜_率.相应地,切线方程为y-f(X0)=f'(x0)(x-X0).3.函数f(x)的导函数称函数f'(x)=li

3、Am>0f(x十危尸症年f(x)的导函数，导函数有时也记作v；LX4.基本初等函数的导数公式原函数导函数若f(x)=c则f(x)=0若f(x)=xn则f'(x)=nxn_J,n为自然数若f(x)=x/x>0,产0)则f'(x)=从，科为有理数若f(x)=sinx则f'(x)=cosX若f(x)=cosX则f'(x)=sinx若f(x)=aX(a>0,且aw1)则f'(x)=axlna若f(x)=ex则，(x)=eX若f(x)=logax(a>0,且aw1)1则f(x)=xlna若f(x)=Inx1则f'(x)=x5.导数四

4、则运算法则(1)f(x)=g(x)'=f'(x)力'(x);(2)f(x)g(x)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3(3()1=f(xgxgxfXg色)(g(x)w0)6.复合函数的求导法则Vx = yuu&复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为附以极博一个区别曲线y=f(x)“在”点P(xo,yo)处的切线与“过”点P(xo,yo)的切线的区别:曲线y=f(x)在点P(xo,yo)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f'(xo),是唯一的一条切线；曲线y=f

5、(x)过点P(xo,yo)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.两种法则(1)导数的四则运算法则.复合函数的求导迭则一.三个防范1 .利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2 .要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区另L3 .正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏.双基自测4 .下列求导过程中！)=5；诉'=丘；。ogax)TTT；(ax)，=(elnax)z=(exlna)z=exlnalna=axlnaxina其中正确的个数是().A.1B.2C.3D.4答案D2.(人教B版教材

6、习题改编)函数f(x)=(x+2a)(xa)2的导数为().A.2(x2a2)B,2(x2+a2)C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)解析f(x)=(x-a)2+(x+2a)2(xa)=3(x2-a2).答案C3. (2。11湖南)曲线y=.si”x一1在点M层。处的切线的斜率为().sinx+cosx24D.1B.2解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力.cosxfsinx+cosxsinxfcosxsinx1任y'=1(sinxcosx；=年1芯，把x=4代入得导数值为答案B12.A.C.(0(2+ 0° )+ 0° )B. (-1,0)

7、U(2, +8)D. (-1,0)解析令 f' (x) = 2x2 x>2,又x>0,所以x>2.故选C.答案 C4 2 fx 2fx+1 一%S 0,利用数轴标根法可解得一1 v xv 0 或 x4. (2011江西)若f(x)=x22x4lnx,则f'(x)>0的解集为().5. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则 f(f(0) = _答案 2 0 gxfl(用数字作答).-202即 y= 3x2x -2x0,由 H八2 八3y = 3xox 2xoKAOXIANGTAHJIUDA

8、QXI鼾新考向.事例度破步考向探究导析得(xx0)2(x+2xo)=0,解得x=xo,x=-2xo.若XoW0,则交点坐标为(Xo,x0),(-2x0,8x3)；若x0=0,则交点坐标为(0,0).方法总结“利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量国;(2)求平均变化率+Z.AX求极限liAxe0Ty.LjX【训练1】利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.f(x+ Ax) f(x)f' (x) = li Axm» 0证明法一设y=f(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(x)=f(x)Ax“一x+Ax)-f(x)xTiM0f(x沙。(x)因此

9、f'(x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数.法二设y=f(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),即f(x)=f(-x)因此f'(x)=f(x)'=-f(x)'=f'(x)则f'(x)为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数.考向二导数的运算【例2】？求下列各函数的导数:(i)y=板+x5 + sin x"? ；(2)y= (x+ 1)(x + 2)(x+ 3); x2x(3)y= sin 1 2cos 4 ;片 i+ix；审题视点先把式子化为最简式再进行求导.x：+ x5+ sin x解(i)- y=-2:x3

10、 , 3 , sin x =x 2+x+Ty = x- 2 / +(x3)，+ (x 2sin x)'=3x 5+ 3x2 2x 3sin x + x 2cos x.(2)法 y = (x2+ 3x+ 2)(x+ 3) = x3 + 6x2 + 11 x+ 6, .y' = 3x2+12x+ 11.法二 y' = (x+ 1)(x+ 2)' (x+3)+(x+1)(x+ 2)(x+3)'= (x+1)' (x+2)+(x+ 1)(x+ 2)' (x+3)+(x+1) - (x+2)=(x+ 2+ x+ 1)(x+ 3)+ (x+ 1)(x

11、+ 2)=(2x+ 3)(x+ 3)+ (x+ 1)(x+ 2)= 3x2+ 12x+ 11. : y= sinx U cosx ;= 1sin x,1 ,1,一Qsin x j = 3sin x)12cos x.11_ 1+vx+1 - yx _ 2y 1 - Vx 1 + 5(1 血(1+或)1 x，yb-x)(1-xj (1-x 2.方法总结(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础.(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导.【训练2】求下列函数的导数：(1)y=xnex；(2)y=cos xsin x(3)y=exlnx;(4)y=(x+1)2(x-1)

12、.解(1)y'=nxn1ex+xnex=xn1ex(n+x).一sin2xcos2x1y-sin2xsin2X(3)y，=exlnx+exX=exX+lnx.(4);y=(x+1)2(x1)=(x+1)(x21)=x3+x2-x-1,'V,=3x2+2x1.考向三求复合函数的导数【例3】？求下列复合函数的导数.(1)y=(2x3)5；(2)y=V3Z7x；(3)y=sin2|2x+3j(4)y=ln(2x+5).审题视点正确分解函数的复合层次，逐层求导.解设u=2x3,则y=(2x-3)5,由y=u5与u=2x3复合而成，：7=f'(u)u'(x)=(u5y(2

13、x3)'=5u42=10u4=10(2x-3)4.(2)设u=3x,则y=>/3x.,1一由y=U2与u=3x受合而成.V'=，(U)u，(x)=(u2)'(3xy=2u-1(-1)_11_13-x一2u2=2<3二x=2x-6.设y=u2,u=sinv,v=2x+则 v； =yuuj Vx' = 2u cos v 2= 4sin 2x+ 3t设y= In u,Io ,工、 cos2x+ 3 厂2sin4x+235 i.u = 2x+ 5,贝U yx' = Vu' ux',_J2y=2x+5(2x+5)=2x+5解这类问题方法

14、总结”由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构,的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.【训练3】求下列函数的导数：(1)y=收+1;(2)y=sin22x；(3)y=exsin2x;(4)y=ln，1+x2.解(1)y'=A2-2x=/,2W+1W+1(2)y'=(2sin2x)(cos2x)X2=2sin4x(3)y'=(ex)sin2x+ex(cos2x)X2=ex(2cos2xsin2x).(4)y=/2f22x=2.W+x2/1+x1+xHKAOTIIZ

15、HUANXIANTUPQQ考题专项突破规范解答6如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】考常常涉及的问题.利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切线而导致错误.【解决方案】解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.【示例】？(本题满分12分)(2010山东)已知函数f(x)=lnx-ax+1a1(aCR).x当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(2)当aw2时,讨论f(x)的单调性.量速破

16、力(1)求出在点(2,f(2)处的斜率及f(2),由点斜式写出切线方程；(2)求f'(x),再对a分类讨论.解答示范(1)当a=-1时，f(x)=lnx+x+2-1,xx+x2xC(0,+8).所以f(x)=2,x(0,+00)(1分)x因此f'(2)=1,即曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为1.又f(2)=ln2+2,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-(ln2+2)=x2,即x-y+ln2=0.(3分)e、r1aAm、11,a1axX+1a(2)因为f(x)=lnxax+x1,所以f(x)=xa+x2=x2,x(0,+°0).(4

17、分)令g(x)=ax2x+1a,xC(0,+8).当a=0时，g(x)=x+1,xC(0,十00),所以当xC(0,1)时，g(x)>0,此时f'(x)V0,函数f(x)单调递减；当xC(1,+8)时，g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增；(6分)当aw0时，由f'(x)=0,即ax2x+1a=0,解得x1=1,x2=11.a1一a.当a=2时，x1=x2,g(x)>0恒成立，此时f(x)<0,函数f(x)在(0,)上单倜递减；(7分)1一1b.当0vav2时，£1>1>0.xC(0,1)时,g(x)

18、>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减;x(1,-1时，g(x)0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增;xl-1,+°0时,g(x)aa>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减；(9分)c.当a<0时，由于11<0,xC(0,1)时，g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减；axC(1,+8)时，g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增.(11分)综上所述：当aw。时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1,)上单调递增；,1一，当a=2时，函数f(x)在(0,+°°)上单倜递减；,1一，当0va<2时，函数f(x)在(0,1)上单倜递减，函数f(