第1章微分方程和差分方程

1、精品文档第一章线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题.一个一维粒子，初始时刻处于点x=%.初始速度为%,受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。解：用x(t)表示粒子在任意时刻t的位置，根据牛顿第二定律F=im,有mx=F对于阻尼作用F=-反，于是，粒子的运动方程ink=-kx这是关于时间t的常微分方程，非常简单。求解得上x(t)=q+c2em结合初始条件x(0)=%,x(0)=v,则哂叫4=，c2=-jkk代入得粒子的运动轨迹k)=%+?(1-内k这就是这门课程的第二部分一一数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。1.1常系数齐次线性微

2、分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项。例如11=4%；二阶线性，X%=U50t；二阶线性，(1。、/=；一阶非线性。一、二阶常系数齐次线性微分方程求解二阶线性微分方程/+P(x)/+Q(x)y=f(x)若f(x)三0为齐次，f(x)wO为非齐次。方程y+py+q户o称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数。能否适当选取r,使户产满足二阶常系数齐次线性微分方程，为此将尸e6代入方程y+py+qy=o得(r2+pr+q)erx-0由

3、此可见，只要r满足代数方程J+pr+q=O,函数卡产就是微分方程的解。特征方程：方程J+pr+q=O叫做微分方程y+py+M)的特征方程。特征方程的两个根口、口为-p+i5/p-4q%=2特征方程的根与通解：(1)特征方程的实根口、h不相等时，函数y1=ex、丫2=/少是方程的两个线性无关的解，方程的通解为y=c1erx+c2e1；x.(2)特征方程的实根门=门时，函数弘=。、y2=xeR是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解，方程的通解为y=(cl+c2x)eIx(3)特征方程有一对共枕复根门，尸处3机函数户e(*如、户e(m版是微分方程的两个线性无关的复数形式的解。函数产产cos冰

4、、产eKsin冰是微分方程的两个线性无关的实数形式的解，方程的通解为y=eax(cicos/?x+c2sinyflx).例1求微分方程y-2y-3y=0的通解。例2求方程y,+2yz+y=0满足初始条件yUo=4、e-2的特解。例3求微分方程2y+5户0的通解。二、线性微分方程的解的叠加y*4-P(x)/+Q(x)y=0(1)定理1如果函数yi(x)和y?(x)是方程(1)的两个解，那么它们的线性叠加y=Ciyi(x)+c2y2(x)也是方程的解，其中5和口是任意常数。定理2如果函数yi(x)和y?(x)是方程的两个线性无关的特解，那么它们的线性登加y=c1yi(x)+c2y2(x)是方程的通

5、解。推论如果函数yi(x),yKx),%(x)是n阶线性齐次方程y+pl(x)y(z)+p*x)y=0的n个线性无关的解，则y=C】(X)+c?%(x)+%儿(x)是方程的通解，其中c1,C2,，。为n个任意常数。y*+P(x)/+Q(x)y=f(x)(2)定理3如果y(x)二阶非齐次线性方程(2)的一个特解，y：(x)和y?(x)是对应齐次方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性会加y=Ciyi(x)+c2y2(x)+y(x)精品文档精品文档是方程(2)的通解。定理4如果y；(x)和y；(x)分别是二阶非齐次线性方程y+P(x)y，+Q(x)y=(x),y*+P(x)y+Q(x)y=；

6、(x)的特解，那么y；(x)+y；(x)是方程/+P(x)/+Q(x)y=f(x)+(x)的特解。1.2 常系数非齐次线性微分方程二阶非齐次方程/+py+qy=f(x)一、待定系数法对于特殊类型的x),可写出特解y*(x)的待定表达式:&X)类型特解y*(x)的待定表达式a*acos+bsin/?xAcos仆+Bsiny3k+a/+ak+i八六+At*(acosc-bsm网e,c(A?os您+Bsin/k)*(即六+.+3kX+aDe，”(Aid+A/】+.+Ax+A+i)如果，士夕1,0,八是特征方程的重根，则在表达式上再乘以总例1求微分方程2yz-3y=3x+l的一个特解。y*=-x+；例

7、2求微分方程5y+6户xe*的通解。y=Cie2x+C2e3x-(x24-2x)e2x二、常数变易法一阶非齐次线性微分方程y+py=Q(x)相应齐次方程的通解是yo(x)=Coe-px设非齐次方程有一个特解y(x)=c0(x)(x)由于y(x)=c；(x)%(x)+Co(x)Y(x),代入非齐次方程，可得c；(x)%(x)=Q(x),解得Co(x)=JO(x)epxdx+Co因此，常数变易法得非齐次方程的通解为精品文档精品文档y(x)=6-(1Q(x)epxdx+C0)类似的方法考察二阶非齐次方程y+py，+qy=f(x)相应齐次方程的通解为y(x)=c1(x)+c2y2(x)设非齐次方程有一

8、个特解y(x)=Cj(x)y(x)+c2(x)y2(x)由于/(x)=c；(x)y1(x)+c；(x)y2(x)+c1(x)y1，(x)+c?(x)y；(x)卜若附加条件c；(x)yi(x)+C2(x)y(x)=0，则y(X)=C】(x)京X)+C2(x)y；(x)yXx)=c1(x)y；(x)+c2(x)j(x)，=c1(x)y1*(x)+c2(x)y；(x)+c；(x)y；(x)+c；(x)y：(x)代入非齐次方程，可得c；(x)乂(x)+c；(x)弘(x)=f(x)所以，系数ci(x),cKx)满足方程组：c；(x)y(x)+4(x)m(x)=Oc；(x)y(x)+c；(x)y；(x)=

9、f(x)例二阶线性微分方程T+济T=f(t)齐次方程的通解常数变易法设特解为其中Q和C?满足解得则T=Cjcosd+GsinrzXT(t)=Cj(t)cos6ZX+C;(t)siii6XfC/(t)cosot+Co(t)sinfiX=0一抚；(t)sin+疣;(t)cos=f(t)G(t)=一LJ。f(r)sin2xkk-2k-0代入方程，并合并同事项，得Z(k+2)(k+l)a2+62akxk=0k-0等式右边为零，因此幕级数各项系数为零，即(k+2)(k+l)a匕2+a?=0从而有如卜递推公式:a-cor(k+2)(k + l)%递推得-co2 a,= 2-1-ar a4 =4 4-3_(

10、-1)2(苏)2a,4!a。-Ctf a13-2-ar coa. =a.=5-4 3 5! 1y业a。(2k)!(2k+ 1)! 1于是，方程的解为y=Ea2kx2k + Ea2ix：k*1k-0k-0=a0 y EQ X- + 与 虫贮 X-1 = a0 cos ox + 5 sin oxh (2k)!i(2k + l)!上述解的收敛区域为|x|vsqi般的收敛区域判断补充：精品文档精品文档对于正项级数，通常用如下两个方法比值判别法设正项级数，X，若极限吧点L=/，则当01时，级数发散。根值判别法设正项级数/，若极限蚓啊=0,则当pvl时，级数收敛；当01时，级数发散。应用正项级数收敛判别法

11、，可得到如卜基级数收敛范围：比值判别法根据正项级数收敛的比值判别法，若极限lim圭亚二二二=lim归曰|恨-、卜?，则ak（x-xo）kTajP/当01时，级数发散。引入记号R，若lim咀=R存在，则当av=R 根式判别法 若极限!ii,ak（x-飞甘=limJ|x-Xo| + -), = lhn(2k + 2)(2k +1) ,藏)，5二支。(2k)!2匕(2k+l)!对于%（x）应用比值判别法，得收敛区域为|x21=Imi_匚jat-i对于(x)应用比值判别法，得收敛区域为|x?|=limd=lim型辿=lim(2k+3)(2k+2)V8。J8j(2k+1)!j例2在5=0的邻域上求解y-

12、xy=0答案：y=aoyo（x）+aiyi（x）O收敛无限大。作业:精品文档精品文档1 .求欧拉方程x?y+3xy+y=0的通解。答案：y=4*3”。x2 .用常数变易法求方程xR-xy+y=21nx的通解。答案：y=(C】+C?lnx)x+4+21nx。3 .用幕级数法求方程y+x/+y=O的通解。答案：y=aoe2+aIY/x2k+1占(2k+l)!1.4二阶常系数线性差分方程一、齐次差分方程方程：yx+2+pyx+i+qyx=f(x)(p,q是常数).若f(x)三0为齐次，f(x)wO为非齐次。对于齐次方程的通解，与微分方程类似地有：定理方程y/2+PYx+1+QYx=0的解为Yx=1，

13、其中r满足特征方程r2+pr+q=0。(1)特征方程的实根打、口不相等时，方程的通解为yx=C1rJ+C2r；(2)特征方程的实根尸门时，方程的通解为yx=(G+C2X)rX(3)特征方程有一对共胡复根尸社10札记a士豆=2铲2,.=扬+加,0=arctanS,即方程丫a的解为yx=(/eip)x=二皿，则方程的通解为yx=不仁】cos(x)+C2sin(x)。例i求y肝2+4丫万+1+3yx=0的通解解其特征方程d+41+3=0,存根-1,-3.原方程有通解yx=G(-i)x+c2(-3)x(GC是任意常数)例2求y浒2+4yx=的通解-解其特征方程”+4=0,有根-21,21.4=2,。=

14、3,则原方程布.通解2yx=2X(C1cos()+C2sin(F)，(Ge是任意常数).例3求差分方程3yz-2yx=0的通解.解其通解为yx=C(2(C为任意常数).13/二、非齐次差分方程对于非齐次方程的通解，与微分方程类似地，可以用待定系数法求解。耳X)类型特解y*(x)的待定表达式a/ap?+3+afc+i+Ax+.+AcX+At(a+22d1+ax+h金1)A?/+Ax+Al+i)如果,1是特征方程的r重根，则在表达式上再乘以必。例4求丫川+4y、=2的通解解前例已知其齐次的通解,故只需求一个特解一令Yx=b0,代入的b0=：,所以它的通解为yx=2xgcos()+C2sin(e)+

15、2,(G，J是任意常数).225例5求y+4y、=2/的通解.解令y=b2x,b22+4b2x=2x,所以b=1,所以其通解8/rvrvyx=2x(c1cos()+C2sin(亏)+5)，(G,C?是任意常数).例6求力.3y的通解.解显然其齐次方程的通解为L=C,3(C为任意常数).设其特解为丫*=2*,所以有b2i-3b-2x=2x,从而得b=L因此，原方程的通解为yx=C3x-2x.例7求yl-yx=3+2x的通解.解其齐次方程的通解为y,=c(c为任意常数).设其特解为y、=x(Ax+B),所以有(x+l)(A(x+l)+B)-x(Ax+B)=3+2x,从而得A=l,B=2因此，原方程

16、的通解为yx=x2+2x+C.三、差分方程的应用例8某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%解：设第n个月投资帐户资金为5元，每月存入资金为a元。于是，20年后关于Sn的差分方程模型为Sn+1=1.005Sn-l000并且S120=0,So=Xe解得x=90073.45o精品文档精品文档从现在到20年内，Sn满足的差分方程为Sn+i=L005Sn+a且So=0,S240=90073

17、.45o解得a=194.95o例9动态供需均衡模型（蛛网定理）设Dt表示t期的需求最,不表示t期的供给量,Pf表示商品t期价格，则传统的动态供需均衡模型为：Dt=a-bPt,（1）、=%+*.（2）Dt=S,，（3）其中a,b.arb1均为已知常数。式表示t期（现期）需求依赖于同期价格：（2）式表示t期（现期）供给依赖于1）期（前期）价格；（3）式为供需均衡条件。分一a解：若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即日=史_】=匕。静态均衡价格Pe=上9。动态供U+b需均衡模型的等价差分方程b齐次方程通解R=，非齐次方程特解耳=言=巳方程的通解为史+Pe.若初始价格P。已知时，将其代入通解可求得

18、任意常数A=Po-Pe，则通解为史=（P0_Pe）（_?）+Pe如果初始价格R=R，那么再三R。这表明没有外部干扰发生，价格将固定为常数值P即静态均衡。如果初始价格PwP那么价格史将随t的变化而变化。如果&1,则blimR=limKR-PjfT+Pe=Pet-Hb表明动态价格pt随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格pe。精品文档精品文档例10凯恩斯(KeynesJM)乘数动力学模型设工表示t期国民收入，J为t期消费，%为t期投资，%为自发(固定)投资，AI为周期固定投资增量.凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：=Ct+It,(1)Ct=a+bX-(2)L=Io+a(3)(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a(20)为基本消费水平，b为边际消费倾向(OVbVl)；(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资。在式中消去q和y得到一阶常系数非齐次线性差分方程：X-bX_】=a+Io+AI方程的一个特解*=，则方程的通解为X=Ab=a+Io+AI1-b其中A为任意常数。称系数一为凯恩斯乘数。1b例1