第15讲泰劳公式

1、精品文档第15讲泰勒公式授课题目泰勒公式教学内容1.带佩亚诺余项和带拉格朗口余项的泰勒公式；2.带佩亚诺余项和带拉格朗口余项的麦克劳林公式：3.六个常见函数的麦克苏林公式；泰勒公式的应用.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地了解带佩亚诺余项和带拉格朗口余项的泰勒公式和麦克劳体公式.熟iL六外常见函数的麦克芳林公式.用泰功公式il算某口-型板星和函数0的近似值.教学重点及难点教学重点：佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，六个常见函数的麦克劳林公式：教学难点：佩亚诺余项和带拉格朗口余项的泰勒公式、麦克劳林公式.教学方法及教材处理提示(1)从函数的多项式逼近的角度，引入函数

2、的泰勒多项式概念，进而引出带佩亚诺余项本的泰勒公式、麦克劳林公式.(2)以例题的形式讲授六个常见函数的麦克劳林公式，并要求学生熟记这六个式子.可以采用老师一边讲，学生一边练的互动方式进行授课.(3)泰勒公式的应用十分广泛，本讲只应用泰勒公式来讨论极限问题和函数的近似计算问题.(4)本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗口余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明.对较好学生可要求掌握证明的方法.作业布置作业内容：教材P14i：1(2,3),2(1),3(1,2),5(1).讲授内容一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式由微分概念知：f在点X。可导，则有f(x)=f(%)+广(%乂乂一%)+。(乂一5).即在点

3、Xq附近，用一次多项式f(、)+/(XqXxXo)逼近函数f(x)时，其误差为(X、)的高阶无穷小量.然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为。(乂-5)其中11为多项式的次数.为此，我们考察任一n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+-+an(x-x0)n.(1)逐次求它在点A处的各阶导数，得到Pn(Xo)=ao,pfM=altp：(x0)=2!a2,pn(n)(x0)=n!an,a0 = PnCX31=P：(') a _ Pn()7 ，d,- "1!2!n!精品文档由此可见，多项式pn(x)的

4、各项系数由其在点孔的各阶导数值所唯一确定.对于一般函数f,设它在点'存在直到n阶的导数.由这些导数构造一个n次多项式Tn(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x<)2+-+f<°)(x-x0)n<2)1!2!n!称为函数f在点Xq处的泰勒(Taylo】)多项式,<(x)的各项系数一产(k=l,2,，n)称为泰勒系数.由k!上面对多项式系数的讨论，易知f(x)与其泰勒多项式T<x)在点5仃相同的函数值和相同的直至n阶导数值，即心)(.)=1noe)(%)上=0,1,2,11(3)下面将要证明£(乂)-缶)=。(乂-5尸)，即以(2)式所

5、示的泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为关于(x5尸的高阶无穷小量.定理6.8若函数f在点X。存在直至n阶导数，则有f(x)=Ta(x)+0(乂一)口),即f(x)=f(%)+fGXx-XoHf，)(乂一飞'+f)，)(乂一二+0(乂-尸).(4)2!n!证：设Rjx)="乂)一心9),(5)=(乂一5):现在只要证lim芈2=0.由关系式可知，xtQn(x)&(%)=&(%)=嘘()=0,并易知0a(%)=0n(%)=&=(%)=0,0(%)=。!.因为fS)(x。)存在，所以在点A的某邻域U(5)内f存在n-l阶导函数f(x),于是，当xeUX、)且

6、X15时，允许接连使用洛必达法则ii-l次，得到由3=由3=inn军舞=inn-%)%)Q(x)Qn(x)I、Q,"(x)xt天n(n1)2(x-Xq)"匕里士也2 n!f) x-%f(n)(Xo)=O.定理所证的(4)式称为函数f在点Xo处的泰勒公式，K(x)=f(x)-Tn(x)称为泰勒公式的余项，形如O(X-5广)的余项称为佩亚诺(Peano)型余项.所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.注1若f(x)在点、附近满足f(x)=pa(x)+0(x-x0)n),(5)注2满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n次逼近多项式pn(x)是唯一的.以后用得较多的是泰勒

7、公式(4)在=0时的特殊形式：f(x)=f(0)+f'(O)x+f”(0)f<n)(0)n/八X-41-X+O(X).2!11!(6)它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式.例1验证下列函数的麦克劳林公式：2(1)ex=1+x+2!n!x3x5+cj(xn);(2)siiix=x+(-1严+<(x2m)；、"3!5!V(2111-1)!、)X?xx-mCOSX=1+一+(_l)m2!4!(2m)!+。5产；(4) hl(l+x)=X-+(-1)n-1+c7(xn);23n,、/。(。一1)。(。一1)(。-11+1)n/口、(5) (1+x

8、)=1+62X+-x-+-x+o(x);2!n!(6) =l+x+x2+-+xn+<7(xn).1-x证：这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明.k万设f(x)=sinx,由于f(k)(x)=sin(x+)，因此f3)(o)=O,八"7(0)=(_1)1上=1,2,n.2代人公式(6),便得到sinx的麦克劳林公式.由于这里有=12nl(x),因此公式中的余项可以写作0(x22),也可以写作。(x2m).关于公式3)中的余项可作同样说明.(4)设f(x)=ta(l+x)f(x)=,.,f(k)(x)=(-l)k-1(k-l)!(l+x)-k,k=l,2,.,n因此1+X心)

9、(0)=(-1)1%-1)!#=1,2产”.代人公式(6),便得皿1+乂)的麦克劳林公式_x例2写出f(X)=e'T的麦克劳林公式，并求f修)(0)与f(99)(0).x2-二x2x，X2n,解：用(一+)替换公式1)中的X,便得e2=1-+-+-(-l)n+c?(x2n).222,2!2ix!根据定理6.8注2,知道上式即为所求的麦克劳林公式.由泰勒公式系数的定义，在上述f(X)的麦克劳林公式中，X%与x99的系数分别为表f叫。)=田G，表产(。)=。由此得到户吁品,产(。)=。.例3求Inx在x=2处的泰勒公式.v一7解：由于Inx=ln2+(x-2)=ln2+ln(l+),因此2

10、hix=hi2+；(x2)一2.22尸严强,例4求极限求】cosx：extOx解：本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解.考虑到极限式的分母为X。我们 用麦克劳林公式表示极限的分子(取n = 4,并利用例2)：+ 0(乂5).5-x4+o(x5)因而求得liinJ=liin=XT。X4xtox412二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用n次多项式逼近函数的泰勒公式(4)。它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当Xf5时，逼近误差是较(x-AT高阶的无穷小量.现在我们将泰勒公式构造一个定形式的余项，以便了对逼近误差进行具体的计算或估计。定理6.9(泰

11、勒定理)若函数f在a,b上存在直至II阶的连续导函数，在(a,b)内存在(n+1)阶导函数，则对任意给定的x,、£a,b,至少存在一点Jw(a,b),使得f(x)=f(%)+(XoXx-XqHf，一2)2+，了(x-%)n+；(x-Xo)n+1.2!n!(n+1)!证：作辅助函数F=f(x)-f(t)+ f<t)(x1) +n!(xt) G(t) = (x-t)n+1.所要证明的式即为F(鼻)=1或32=f(n1)(c).不妨设V<X,则F(t)与G(t)(n+1)!G&)(n+1)!(n+D在Xo，x上连续，在(Xq,x)内可导,且F'(t) = -n!

12、(x-t)n, G'(t) = -(n + lXx-t)n * 0.又因F(x) = G(x) = O,所以由柯西中值定理证得F(Xo)F&AF。 F© NR)GGQ - G&AGlx) - G7) (n + 1)!，其中 gw(Xo，x)u(a,b)它的余项为 RJx)= f(x)-Tn(x) =(+1)(4)(n + D!（X-5）同，4 = 5 + /X 'X。夕 1）,称为拉格朗日型余项.所以称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.当=0时，得到f(x)=f(0)+f'(0)x+1n)(°)X+f'°"困

13、xn+i(0<、<).也2!n!(n+1)!称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.例5把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式n! (n + 1)!x叫0<夕<1.(2) f(x) = sinx 由 f(*1)(乂) = sin(x+2m+ 1) = (-l)mCOSX,乂3 x，1CCS得到疝X=X3 + Ri +产砺尸广函屈X*g”,XE（-Jm类似于 siii x，可得 cos x= 1+ + + (-l)m+ (-1)2!4!(2in)!m+l COSfti2m+2(2m+2)! f(x) = ln(l+ x),由fe】)(x) = (-1尸小(

14、1+ x)fT,得到in、 x? x，i xnln(l + x) = x+ + + ( 1) + ( 1)23nn+l(n +1)(1 +分严(5) f(x)=(l+x)a,由 f(*D(x) = a(a l) (a nXl+x)a-nT,得到Z1 、0，a(a-1) 2a(a-l)(a-n + l) n 。("。(。一叽，n41Q+x)° =l+c?x+-x* + + -xn +-(l + 6k)a n 1 xn 1,2!n!(n + 1)!(6) f(x) = ,由 f(n-D(x)=(口+D：,= l+ x+x2+-+xn+-,0<<l,x<l.1-x(l-x严 1-xQ-困"2，三、在近似计算上的应用例6计算e的值，使其误差不超过1。-1 11 e解：由例 5 公式(1),当x=l时