第3章微分中值定理及其应用(2)

1、精品文档第3章微分中值定理及其应用(第二讲泰勒公式、函数极值等)23一.应用麦克劳林公式，按x乘熹展开函数f(x)=(x-3x+1)解：丁f(x)是6次多项式,3!4!2U56!一，'一fx)=f0f0xx22!计算出：f(0)=1,f'0=3x2-3x12x-3x4=-9f''(0)=60,f'''0-270,f40=720,f50i=7080,f60=720故f(x)=1-9x30x2-45x330x4-9x5x6二.当x。=-1时，求函数f(x卜一的n阶泰勒公式。xc1-1c'-2解.fxx,fx=xxf''

2、x=-1-2x3,fkx=-1kk!xk1-J.,_'mr_",HIXf-1=-1,f-1-1,f-1-2!f-1=-3!,fn-1-n!Rn x =7 n 1 n 1 ! - 2 x 1 n 1精品文档f n -1"1 x 1n Q x n!=Q1)n+C(x+1)n，(士在-1和x之间)1f-12fx=-=f-1f-1x1x1x2!=-1x1x12x1n-1n1n2x1n1x一三.求函数f(x)=xe的n阶麦克劳林公式。解:f(x)=xdf'x=ex1xfx=ex2x,fkx=exkxf(x)=xe = f 0 f 0 x11,、-f 0x2-f(n)0

3、xn2!n!1n 1!f(n1) xn11c 1c 1=0 1 xx2n x e n 1 x2!n!n 1 !2131n 1:x x x e 1 n 1 坟2!n 1 !可表示为ex （0 < e < 1）2一.当 0< x（不时，证明一xcsinx。2二工 sinx f r ' xcosx - sin x证：设 f（X）=, 则 f（x） =2,xx设 g x = xcosx - sin x,'贝U g x = cosx - xsin x - cosx = - xsin x.当0<x<3时，g（x）<0,故g（x）单调减少，g（0）= 0,

4、 g（x）< g（0）即 xcosx - sinx < 0'所以f（x）< 0在（0,鼻上f（x）单调减少.Jl0 x 3 时，f xs i ix2因此;二2x s i ix.冗、当x> 4时，证明2x > x2 o解：设f，x）=xln2-2lnx,f（4）=0,2ln4fx=In2-x22=0 x 24即当x>4时，f'（x）>0,所以f（x）为单调增加fxf4=0xln2-2lnx0,即ln2x>Inx2;lnx为增函数,22x>x2三.试证方程sinx=x仅有一个实根。解：显然x=0为方程f（x）=x-sinx的一个

5、根又fx'-1-cosx-0,x-二，二,xJuJs）时,fix）单调增加，f（x）=x-sinx在）仅有一个零点.即方程sinx=x仅有一个实根五.f（x）、g（x）在1a,b上存在二阶导数且g”(x)，0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明：(1)在(a,b)内f()f()g(x)#00(2)(a,b)内至少存在一点，使得")=1篙。分析：（1）要证g（x）在（a,b）上非零，用反证法更方便，若不然，至少有一个零点c£（a,b）,则由g（X）的三个零点，可推出g（x）有2个零点，从而g”（x）有一个零点与已知矛盾“山二匚Q 要证gd） g），即证方

6、程f（x）g（x）-g（x）f（x）= 0有解，则取Fx=fxgx-gxfxdx=fxgx-fxgxdx-gxfxfxgxdx'.'=f（x）g（x）-g（x）f（x）从而可以证明结论.证明：反证法：若不然，则在（a,b）内至少有一点c，使得g（c）=0,于是由已知g（x）在以一,匕人上均满足罗尔定理条件,因此,必存在ia,c,2c,b，使得g'i=0,g''2=0,进一步知g（x）在区间上i,%】上满足罗尔定理的条件,因此，必存在一（%）=（a,b）使得g"G）=0,与已知g"（x）#0矛盾。因此在（a,b）上g（x）=0。（2）设

7、F（x）=f（x）g（x）-f（x）g（x由已知,在bb上连续可导，F（a）=F（b）=0,满足罗尔定理的条件,因此，至少存在一点ta（a,b）使得F«）=0,即:f = 0,也即f( ) f () g( ) g ()六.f'(x)A g'(x),且 f (a)= g(a),试证(1)当 x > a 时，f (x) > g(x)；(2)当 x < a 时，f (x)< g(x)分析：对于这种题显然用反证法证明：（1）设当xa时f （x）w g（x）,任意取一点三（a/-）由导数的定义知:、. f x1 -fa 小f (a) = lim 1 (1

8、)xi ax1 - ag x1 -fag a = lim (2)-ax1 - a''将(1)-(2)得.f (a )- g (a )= lim x1r afx1 - f a - g x1g ax1 - a因为当 x> a时 f (x)« g(x),，f(x尸 g(x1)且 f (a)= g(a) f x1 -fa - g x1g a - -f x1 - g x1 1 -f a - g a 1='f x1 - g x1 1 0 - 0与条件相矛盾所以假设不成立原命题成立即：当 x > a时，f (x) > g(x)(2)设当x < a时的

9、定义知：ff(x)>g(x),任意取一点X2w(-g,a)由导数fx2fa(a)=lim(3)limx2 ag x2 -fax2ax2a将(3)-(4)得:limx2afx2-fa-gx2gax2-a因为当x<a时f(x尸g(x),f(x2尸g(x2)且f(a)=g(a)所以fx2-fa-gx2gafx2-gx21-fa-ga1=1fx1-gx110-0与条件相矛盾所以假设不成立原命题成立即:当x<a时，f(x)<g(x)2一、求函数y=2-(x-1)3的极值。21彳解：y-"QT，x0一1点导数不存在，而函数有意义3x-13x(-°°,1

10、)1(1,+R)y+y最大极值点极大值：y(1)=23.2.试证明：如果函数y=axbxcxd满足条件b2-3ac<0,那末这函数没有极值。证明：y'=3ax2+2bx+c，由条件b2-3ac<0,推由a=0,c/0,y'为二次三项式，=（2b）2-4（3ac=4（b2-3ac）<0.-'_.L当a>0时，y>0,x一尸从而y（x）为单调增加.一.，.当a<0时，y<0,x=（-00,+第），从而y（x）为单调减少故无论对怎样的a,y（x）在（-8，十好）总是单调的，y（x）在（-g，+田）无极值。'x+1x40二、设f

11、（x）=Lxv>0（1）讨论f（x）在x=0处的连续性xx0,（2）x取何值时f（x）取得极值。解：（1）由连续的定义知：，imux'l）=1x0Inxlimx-01xxlnxlimx二limex-0x01.Inxx1limlimx二-一limx=0x>01x>012x>02xx2 xx = eln x lim x .01x 0x = e1.xm f（x）= xim 一 f（x而f（0）=1,所以则+f凶=则_f（x）=f（o）=ix0x,0所以f出）在x=0处连续xxlnx（2）设g（x）=x=e（x>0）要使g（x）取得极值则必须使xlnx在x>

12、0处取得极值.设h（x）=xlnx,1则h（x）=lnx+1,h（x）=一要使g（x）取得极值'x1则有h（x卜h（x）w0，而x>0所以h（x）=>0,x11因此h（x）=Inx+1w0所以lnx<-1x<-所以当x等于一ee.xx时，x取得极值，由于（x+1）=1A0即为单调增函数所以只要x1取得极值即可。所以当x等于一时f（x）取得极值。e三.利用函数的凹凸性，证明不等式xy,xlnxylny（xy）ln（x0,y0）21解：设f（t）=tlnt,f（t）=lnt+1,f（t）=;，对t匚（0,十°°1由f（t）=t>0知f仕）是

13、上凹的,所以对任意x, y （0,(x 二 y)有ff x f y 2xy即：xlnxylny(xy)ln2四.求函数x=t2,y=3t+t3的拐点。解:Vx'_2yt3+3t2Xt2tVx(yjXt±1时,线上的对应点3t2-13t-1t12t4t34t3yx=0,又当t=0时，Vx不存在但注意到t=0时曲（0,0）为边界点，因为曲线上的横坐标都大于等于0,所以点（0,0）不能是拐点，故曲线上可能是拐点的点为t=1时的点（1,4）及t=-1时的点（1,-4），经过验证二者都是拐点。五问a及b为何值时，点（1,3）为曲线y=ax3+bx2的拐点?解：y2=3ax2bx,y=6

14、ax+2b=6ax+-b3ab0得天=一看由于"°，在x0b不的领域内,3ax0的两侧变号，所以X。3a,这时对应的Vo二a-A3b-A22b33a3a27a2要使(1,3)为拐点，则3ab327a33a-2解得：,9b=一2f(x)六.设f(x)二阶可导，若limo丁=1,f(0)=0,f(x)>0,x>ux证明:f(x)之x。f x - 0 lim x >0 x证明：由导数的定义：f(x)fx-f0limlimxoxx>0x-0应用麦克劳林公式将f(x)展开得:f(x)= f 02!R2 x因为f(0)=0,f(x)>0f(0)=1,f02

15、f02所以f(x)=x-2xRe-x-2x-x(2)设f(x)、g(x)互为反函数，f(x)=-f(-x),且均在(-8，+由)上存在二阶导数，于是()。A若x>0,f(x)>0,则x<0,f(x)<0；B若x>0,f(x)>0,则XV0,f(x)>0；C若f“(x)>0,则g”(x)>0；D若f"(x)则g(x)V0;分析：依题意，f(x)为奇函数，图形关于原点对称，对称点处曲线凸凹性相反，即二阶导数异号，因此A正确，故取A,而f(x)、g(x)互为反函数的条件，函数曲线y=f(x)与y=(x)的凸性关系与其单调性相关，在不明确

16、单调性情况下，无法对C,D做判断。(5)f(x)在(1-6,1+&)内具有二阶导数，f，(x)严格单调减少，且f(D=f'(1)=1,则()。A.在(1-6,1)和(1,1+6)内均有f(x)<X；B.在(15,1)和(1,1+6)内均有f(x)>x；C.在(1-6,D内，f(x)Vx,在(1,1+6)内，f(x)>X；D.在(1一每,D内，f(x)>x,在(1,1+6)内，f(x)X。分析：由几何直观考虑，如图，在x=l处，切线为y=x,且曲线丫=f(x)上凸，从而知切线在曲线y=f(x)上方，即：x>f(x),故取A(6)设f(x)在其定义域内具有二阶导数，则在定义域内()。A.若f