涌现是复杂系统的根本特征

1、涌现是复杂系统的根本特征，那么涌现是什么呢?复杂系统 （比如生物系统和社会系统等 ）中有许多基本单元，无相互作用时每个基本单元可能具有不同的动力学行为 ; 而当基本单元之 间存在相互作用时，各种不同的斑图就可能产生.我们把这种现象称为动力学涌现 .特别地，在斑图之中， 有相互作用时每个基本单元的动力学行为可能与任一个无相互作用时的基本单 元的动力学 （在定性性质上 ）都不相同 .我们自然会问通过基本单元之问的相互作用，涌现为何会产生 ?在复杂系统的数学模型中， 基本单元之间的相互作用可用藕合项来描述.这样的锅合会导致复杂系统中基本单元之间的关联作用.基本单元之间的关联性展现出各种各样的同步现象

2、 .在本章中，我们通过完成同步探讨了具有藕合作用的动力学涌现的一种可能途径.作为一种简单情形， 我们证明了如果藕合形式是结构适应的， 那么动力学涌现就可能实现， 在生 物系统和社会系统中，基本单元之问存在合作与竞争关系的情形是普适的.在动力学演化过程中，每个基本单元不断学习其它基本单元的益处和削减自身的无用或有害的特征， 最终它 们将达到一种最佳状态一一同步态 .最佳状态的选取由各种因素 （比如环境等 ）决定，并且我们 惊奇地发现同步过程中自由参数的存在确实能适合这种状态选取的要求.这里，我们只考虑了最简单的情形 :通过两个双向祸合的不同系统的完全同步，实现复杂系统中无序与有序的 转化及其动力

3、学涌现 .更普遍的情形，比如广义同步引导的涌现及多个基本单元组成的系统 中无序与有序的转化等将在以后考虑 .涌现是复杂系统的根本特征 ;按照目前公认的看法，复杂性科学就是研究关于涌现的科学.涌现常常表现为一定的斑图形成现象 .实际上，涌现现象在复杂系统的数学模型中常常是借助 于斑图现象来确认的， 从这个意义来说， 涌现现象典型地表现为在时间和物理空问上的某种 几何模式 .自上个世纪 90 年代霍兰的两本关于涌现的著作 12，20 出版以来，涌现得到人们 广泛的重视，最近二十年，关于涌现的研究非常多.但到目前为止，还没有一个大家公认的关于涌现的定义 .目前关于涌现方面的研究，多数是基于观察或者模

4、拟的描述性工作，无法 提供更多的洞察 .事实上，我们认为，涌现概念是一个描述性意味很强的概念，这就使得人 们在确认某个现象是否具有涌现特性上可能发生难以定夺的争论 ;另外一个方面，由于缺乏 真正的理论深度，也难以获得更深刻的理解.我们认为这两个问题很重要，暗示了我们以后可能的努力方向，我们应该在这个方面进行深入的探索与研究.那么，在这个方面，我们能否给出一条新的可行的研究思路呢 ?我们认为可以利用对复杂系统已经有的认识，提出一条 理论与计算相结合的方法来研究描述复杂系统的各类动力系统中斑图涌现的新思路我们提 出个看法的具体依据如下 :事实上，从动力系统的观点看，斑图就意味着组成复杂系统的基 本

5、单元之间在时问和物理空间上存在某种特定的关联作用， 只有这样复杂系统才能表现出在 时问和空间上的某种整体的几何模式 .基本单元之问的关联作用在动力学上就表现为同步， 它是复杂系统不同部分之间相互作用的结果.不同的相互作用将导致不同的同步关系，而不同的同步关系又会表现出不同的斑图现象，也即不同的涌现现象.因而研究复杂系统斑图的第一步就是应当讨论构成复杂系统的基本单元所反映的动力系统如何通过它们之问的相互 作用达到各种同步 .显然在这种相互作用中，自适应机制应当起了重大作用.一旦复杂系统的基本单元之问的同步建立之后， 就应该按照复杂系统位于物理空问的基本单元所构成的网络 所具有的拓扑结构特点来讨论

6、如何促成斑图形成， 这中间尤其要考虑进化型的自适性特性是 如何促成涌现的实现 .具体来说要做如下两件事 :（1） 利用非线性特性中的混沌和同步理论研 究基本单元之问各种同步， 设法建立起处理相同系统和不同系统之间出现的各种同步行为的 方法，尤其重要的是利用复杂系统的自适应性来建立新的讨论广义同步的理论和方法、 （2） 一旦复杂系统的基本单元之间实现了同步，接下来就要研究如何形成物理空问的斑图.我们可以认为，一般斑图应该是构成复杂系统的所有基本单元之间形成某种同步在时间和物理空 间上的几何反映 .而这种基本单元之间同步的几何表示显然依赖于构成复杂系统的网络结构.这样就提出了两方面问题， 其一是网

7、络结构如何影响这类几何上的整体行为， 即表示复杂系统的网络的拓扑结构是如何影响到斑图的形成，这是网络动力学研究的重点之一;另一个是由于进化影响， 复杂系统的网络的结构也在不断地调整， 这种网络结构的调整必然要影响空 问斑图在几何上的变化，从而出现涌现现象，这就是进化动力学研究的基本出发点 .总之， 利用同步研究所建立的方法， 结合复杂网络的拓扑结构的各种特点， 特别重视由于自适性使 得网络不断进化的可能性， 就有可能用理论和计算相结合的办法来讨论描述复杂动力系统中 斑图的形成和涌现 .常见的同步主要分为完全同步，滞后同步，相同步和广义同步等.目前完全同步方面的结果最多， 方法也最成熟， 但如果

8、复杂系统的不同部分表现出完全同步， 那么系统就会呈现出某 种整体的均一性，变成简单系统了，似乎过于平凡.相同步是当前的研究热点，特别是在生物领域的应用， 但目前的数学处理方法还相当不成熟， 广义同步的研究也有类似的问题， 从 这两个方面开展工作可能会很困难.我们认为从滞后同步入手开展斑图的研究，可能会较为容易取得结果，也能够说明我们的思路 .我们特别选择格子动力系统作为我们的工作模型.格子动力系统，是一种经典的，成功的时空系统模型，从 80 年代以来，特别是金子邦彦发表 了那篇著名的论文 !116) 之后，已经引起了很多的关注。格子动力系统中有一些很奇妙的现 象，比如金子邦彦所发现的开关现象。

9、 目前已经有了很多类似的工作， 讨论不同的格子动力 系统上的同步 118.1191. 但很多知结果似乎都很少注意对时滞藕合的讨论 .我们知道，对于实 际系统来说，不同节点或者元素之问的影响一般是具有时滞的( 特别在经济系统和生物系统等中 )，因为信号只能用有限速度进行传播 .考虑带有时滞的藕合才更加符合实际， 更加合理 . 最近，时滞藕合在同步研究中越来越值得关注.虽然目前也有了一些关于时滞藕合的同步讨论;，但这些研究几乎都没有涉及到在时滞或者超前同步下网格动力系统中会形成怎么样的 斑图这一关键问题 *.我们尝试补充这个方面的研究 .我们先详细研究格子动力系统的一维单 向藕合开流模型滞后同步，

10、 并用分析方法讨论了同步和斑图之间的关系， 并给出了一维网格 动力系统的波形斑图的分类 .然后，同样采用开流模型，将上述结果推广到更一般的情形去， 以阐释我们对于同步是涌斑图现形成的动力学机制的观点 .在本章中， 我们先研究了具有单向时滞藕合的一维开流模型的时滞或超前同步， 用分析方法 得到了这种滞后同步的一个全局渐近稳定条件， 并用数值和分析方法讨论了这类同步和斑图 之问的关系，给出了一维网格动力系统的波形斑图的分类及定义 .然后，同样采用开流模型， 将上述结果推广到层网模型上去， 以阐释我们对于同步是斑图形成的动力学机制的观点， 事 实上，层网的定义还可以继续推广到更加一般化的情形，可以有

11、多个“中心”节点，网络中 的每个节点要求至少有一条通向某个中心节点的有向路径， 不过如果存在多条路径的话， 这 些路径必须在长度上相等 .我们将展开对这种网络的讨论 .复杂系统中涌现形成机理的讨论 通过本章的研究，我们初步论证了斑图的同步观点，数值和分析的结果都证实了这点.我们认为相对于描述斑图或者预测斑图来说， 更重要的是如何控制复杂系统的斑图， 或者按照我 们的想法设计出特定的斑图 .只有达到了这样的程度， 斑图才能真正具有可操作性 .更一般地， 对于涌现也是如此， 仅仅描述或者预测还是不够的， 真正的理解要以能够控制和设计为标准 的.我们希望斑图的同步观点能够对复杂系统给出了更加深刻的理

12、解.目前，关于复杂系统的许多研究结果指示我们， 复杂系统在结构上常常表现出特定网络特性， 比如小世界特性， 无 标度特性等等 .找们希望能够更具有一般性，将这里的方法推广到复杂网络上去.这也是我们下一步的研究课题 .当然了，我们所提出的方法是无法简单地推广到复杂网络上去，因为常 常缺乏我们方法所要求的特定拓扑结构.但复杂网络上的动力系统可能能够更好地阐明同步和斑图之间的关系，这将是我们未来的主要兴趣所在 . 关于复杂系统的涌现研究，我们可总结出如下几点 : (l) 涌现是复杂系统的根本特征，按照目 前公认的看法，复杂性科学就是研究关于涌现的科学;复杂系统的涌现现象是由混沌边缘来完成，换句话说这

13、种由无序到有序过程是由混沌边缘来完成， 而混沌控制就是产生混沌边缘的一种可能机制， 但绝不是唯一机制， 所有其他机制以及有关问题在目前看来还是未解决的 ; 最近二十年，关于涌现的研究非常多.但到目前为止，还没有一个大家公认的关于涌现的定义.目前关于涌现方面的研究，多数是基于观察或者模拟的描述性工作，无法提供更多的洞 察.这就使得人们在确认某个现象是否具有涌现特性上可能发生难以定夺的争论;另外一个方面，由于缺乏真正的理论深度，也难以获得更深刻的理解.在本文中，我们认为可以利用对复杂系统已经有的认识， 提出了一条通过复杂系统中各种同步的深入研究用理论与计算相结 合的方法来研究描述复杂系统的各类动力

14、系统中涌现的形成机制的新思路.我们从三个方面入手 :首先，考虑到同步尤其是广义同步的研究能够加深我们对复杂系统中斑图涌现形成机 理的理解 .为此，首先开展对复杂系统中两个基本单元之间广义同步的研究，这是理解斑图 的形成以及涌现的第一步，有利于今后进一步开展研究复杂系统中涌现形成的机理.受广泛作用于生物系统等复杂系统中的 S 形函数的启发，在本文中，我们先结合实际问题给出了 更符合实际情况的广义同步的定义， 再提出了两种新的强有力的实现两个不同维数的(超 )混沌系统广义同步的方法，并用数学方法给予了严格的证明.其次，考虑到更深层次理解混沌边缘与无序到有序的转化关系是关于复杂系统中斑图涌现的研究的

15、关键点之一从现有可能 出发，在本文中，我们对复杂系统中两个基本单元之间可能出现的涌现现象进行了研究.我们证明了两个非恒同混沌系统在引入了结构适应控制后可以实现同步， 这个同步的动力系统 具有实现从无序到有序转化的能力.由于用来实现同步的结构适应过程中含有自由参数，因而同步的系统能适应环境的变化，即具有了涌现的特征.。最后，考虑到复杂系统中涌现往往表现为各式各样的斑图形成， 从动力系统的复杂系统中涌 现形成机理的讨论观点看， 斑图就意味着复杂系统的物理空间不同部分之间在时问上存在某 种特定的同步关系， 这也就说明复杂系统中的各种同步关系与系统中各式各样的斑图的涌现 密切相关 .由于由完全同步产生

16、的斑图过于平凡，而相同步、广义同步等虽应用广泛，但目 前缺乏有效的数学处理方法， 因而在本文中， 我们以格子动力系统作为突破口以研究滞后同 步下网格动力系统中斑图的形成， 并首次用分析方法讨论了同步和斑图之间的关系， 阐释了 我们提出的关于斑图形成的同步观点 .由本文的工作可知， 要更深入地阐明同步是复杂系统中涌现形成机理的观点，我们还有许多工作可做 :(l) 利用非线性特性中的混沌和同步理论开展对复杂系统基本单元之间各种同步 (尤其重要的 是广义同步 )的深入研究 .考虑到复杂系统中的基本单元可以是相同和不相同的两种情况，我 们应当设法建立处理相同系统和不同系统之问出现各种同步行为的方法，从

17、涌现的表现来 看，应该把注意力集中到非完全同步的各种同步现象的处理上 .同时我们还应注意到复杂系 统的基本单元之间具有由进化性质所表现出的自适应性， 应该利用这种特点来建立新的符合 进化论思想的讨论广义同步的理论和方法.我们在这儿给出了一些结果，但显然远远不够.(2)我们还应注意到，在以往的关于同步的理论研究的多数文献中，系统之间的相互作用都 是为了研究简单而人为的假定的， 为了更好的阐述复杂系统中真实存在的各种同步行为， 我 们应该借助其它学科的帮助， 研究在真实存在的相互作用下系统的各种同步行为 .我们认为， 双向藕合的两个系统之间的广义同步可能是深入研究复杂系统中各种同步的一个突破口 .如 果这一步能达到， 进一步就要研究通过这些同步能否实现和怎样实现复杂系统中无序和有序 之间的转化以及能否通过自由参数的选取使得同步化系统能适应环境的变化，即具有了涌现的特征 .我们的工作表明复杂系统两个基本单元之间具有这种可能，更多的呢? (3)最难的是要从理论上研究复杂系统如何形成物理空问的斑图.我们可以认为斑图一般是构成复杂系统