清泉州阳光实验学校高三数学构造函数模型,求三角形的最值问题学法指导

1、清泉州阳光实验学校构造函数模型，求三角形的最值问题刘显伟构造法是一种重要的数学思想方法，利用构造法解题往往能起到很好的效果，下面举例说明如何构造 函数模型求有关三角形的最值问题。1.构造函数模型，解三角形中有关涉及角的最值问题1 sin 2 B例1在厶ABC中，三边a、b、c满足b2 ac，求y的取值范围。sin B cosB错解：因为y1 si n2BsinB cosBsinB cosBsin B cosBsinB cosB . 2 s in B ，所以435错误剖析：假设y 2 ， sin B1，那么B，所以B，这超出了4424三角形中内角的取值范围。事实上，条件b2 ac还没有利用，因此

2、应重新求 B的取值范围。2正解：由bac和正弦定理，可得222 cos B cos AC2cosB 2 cos BcosB1 1cos A C 0 o-2cosB 1cosB 10又B0,，cosB 10，所以2 cos B 10，得-cosB1o27十2所以0B -，B，可知-sinB -1 o34412 24因为 y 2 sin B ，所以 y (1,2。4说明：此题假设能从函数的观点来观察、分析问题，上述的错解就可能不会发生，事实上，此题求的是函数y f B的值域，而值域固然受对应法那么f的制约，但它也依赖于函数 f B的定义域，在这里为了求得自变量B的取值范围，应先求 cosB的取值范

3、围，为此建立关于 cosB的不等式，至此，也就能理解为什么把 2 2 cos2 B cos A C cosB变形为2 cos2 B cosB 11 cos A C的理由了2.构造函数模型，解三角形中有关涉及边的最值问题例2在厶ABC中，c . 6. 2，C 30，求a b的最大值。分析：可利用正弦定理，将 a b化为与c和A或者者B相关的等式，由此构造 a b与A或者者B的函数关系，通过求函数的最值来获解。a解：由正弦定理sin A sinB sin C，得sin A sin BsinC.A csi n, c si nA sin B-a bsin CB A B cos 2 2 ."C

4、Csin cos 2 2因为_ C，所以sin2 2 2A B C cos 。2 2最大值8A Bccosbsin2.2 cosA B2sin 45304 3 cos24,3 cos AA 150 ,4.3。7575A 7575，所以当750 即A 75丨时，ab获得说明：此题是通过建立函数模型求解的，其关键是选择角a为自变量，并把a b视作整体,利用正弦定理和比例性质，将 a b转化为与c和A相关的等式，构造a b与A的函数关系a b fA ，然后利用余弦函数的有关性质，求出f A的最大值。3. 构造函数模型，解三角形中有关涉及面积的最值问题例3三角形的两边之和为 6,这两边的夹角为120，

5、求这个三角形面积 S的最大值。错解：设厶ABC的三边长分别为a、b、c，不妨设a b 6，C 120 ，由余弦定理得2 2 2 2 2 2 cab abcos120 a b ab a b ab 36 ab。由S absin120 丄36 c2- c2 9 3 9.3，所以S的最大值为9 32 2 2 2错误剖析：当S取最大值9 3时，c 0，此时不能构成三角形，更谈不上三角形面积的最大值了， 因此应重新确定c的取值范围。正解1：由上可知ab 36 c2。由2. 2.2 a b 3,2O-,由 c a b ab a ba b 27，24从而 ab 36 c23627 9，19J39J3所以Sab

6、sin120'，可知S的最大值为244正解2：由 a b 6，可得b6 a 0 a6 o1329.3所以Sabsi n120a6 aa 3244J4当a0, 6，即 ab 3时,S获得最大值.9 3，o4说明：求线段或者者图形面积的最大或者者最小值时，通常可建立函数模型求解，在建立目的函数的过程中，一定要正确把握自变量的取值范围，上述错解就是想当然地取c 0,无视了 c的实际意义, 即无视了 c的取值范围，在正解 2中，也应检验自变量 c的值是否在定义域0, 6内4. 构造函数模型，证明不等式解题中，公求得例4在厶ABC中，a、b、c为三内角 A B、C所对的边，且 C=2A求证-3式sin 33sin4sin3 可选用分析：欲证不等式，只须证1 乞工3 b1 c a，为此，可尝试将看成某一角的三角函数,2 b的值域即可。因此，此题可将不等式的证明转化为求三角函数的值域问题证明：由正弦定理得abc由C=2A得B3A osi nA si nBsin C 'c abb可得sin 2A sin Asin3Asi n3A2cosA 111 4 cos2 A012 cosA3A1，所以cos A 1，可得 2 1 2 c