不等式证明的基本方法

1、 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的1、掌握绝对值的三角不等式；2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析       定理1   若a，b为实数，则，当且仅当ab0时，等号成立。       几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与b的距离等于它们到原点距离之和。（2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab&l

2、t;0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。|ab|表示ab与原点的距离，也表示a到b之间的距离。定理2  设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。       推论1         推论2   不等式证明的基本方法  1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。比较法有差值、

3、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。    比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。    如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。    所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替

4、换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。    综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程注意综合法与分析法的联合运用。3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。4、放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，再利用传递性，达到证明的目的这种方法叫做放缩法。 【典型例题】  例1、已知函数，设a、bR，且a

5、b，求证：       思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：       证明：       证法一：                      

6、60;  当ab1时，式显然成立；当ab>1时，式   ab，式成立。故原不等式成立。证法二：当a=b时，原不等式显然成立；当ab时，                                  &

7、#160;       原不等式成立。点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。   例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：。       思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m|a|、m|b|、m1。    

8、60;  证明：                     故原不等式成立。       点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m|a|、m|b|、m1”是证明本题的关键。   例3、函数的定义域为0，1且。当0，1，时都有

9、，求证：。       证明：不妨设，以下分两种情形讨论。       若       则       ，若       则          

10、60;   综上所述       点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。   例4、已知a>0，b>0，求证：。       思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。     &

11、#160; 证明：                                    原不等式成立。点评：在上面得到式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比

12、较法证明，留给读者去完成。   例5、设x>0，y>0，且xy，求证：              思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。       证明：x>0，y>0，且xy，       

13、;       点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“”表述。本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。   例6、已知a、b、cR+，求证：。       思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、cR+的条件，运用重要不等式，采用综合法进行证明。     

14、  解析：                            即       点评：用重要不等式证明不等式，一要注意重要不等式适用的条件，二要为运用重要不等式创造条件。另外，同向不等式相加或相乘，在综合法中常用到。 

15、  例7、证明：对于任意实数x、y，有       思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。       证明：用分析法              不等式显然成立，下面证明不等式同号，即点评：上述证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是比较法，两种方法结合使用，使问题较容易解决，这一点应加

16、以注意。   例8、（1）用反证法证明以下不等式：已知，求证p+q2。（2）试证：（n2）。思路：运用放缩法进行证明。证明：（1）设p+q>2，则p>2q，         这与=2矛盾，（2），又。将上述各式两边分别相加得点评：用放缩法证明不等式过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩，重要不等式放缩等。放缩时要注意适度，否则不能同向传递。 【模拟试题】  1、设a、b是满足ab<0的实数，那么（&

17、#160;   ）       A、                   B、C、                     D、&

18、#160; 2、设ab>0，下面四个不等式|a+b|>|a|；|a+b|<|b|；|a+b|<|ab|；|a+b|>|a|b|中，正确的是（    ）       A、和            B、和            C、和 

19、0;          D、和  3、下面四个式子；中，成立的有（    ）       A、1个         B、2个          C、3个      

20、60;  D、4个  4、若a、b、cR，且，则下列不等式成立的是（    ）       A、                 B、C、               

21、D、  5、设a、b、cR，且a、b、c不全相等，则不等式成立的一个充要条件是（    ）       A、a、b、c全为正数                 B、a、b、c全为非负实数C、           

22、0;           D、  6、已知a<0，1<b<0则（    ）       A、                       B、C、

23、60;                      D、  7、设实数x、y满足，若对满足条件的x、y，x+y+c0恒成立，c的取值范围是（    ）       A、         

24、60;             B、C、                      D、  8、对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_。  9、若a>c>b>0，则的值的符号为_。  10、设a、b、cR+

25、，若，则_。  11、已知x，yR，且，则z的取值范围是_。  12、设，       求证：。  13、已知a、b是不等正数，且，       求证：。  14、已知，求证：中至少有一个不小于。  15、设a、b为正数，求证：不等式       成立的充要条件是：对于任意实数x>1，有    

26、;      【试题答案】  1、B          2、C       3、C       4、B       5、C       6、D      7、A  8、（，3）  9、负  10、9  11、  12、证明：              &#