2019北京各区一模数学理试题分类解析-导数及其应用

1、2019 北京各区一模数学理试题分类解析- 导数及其应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！12. 2018年海淀一模理12设某商品的需求函数为Q = 100-5P ，其中 Q, P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQ 大于 1其中 EQQ '， Q ' 是 Q 的导数，那么EP= -QPEP商品价格 P 的取值范围是 .答案： (10,20) 。18. 2018 年海淀一模理18函数kx( x2x1. 求 f ( x) 的单调f ( x) e) ( k 0)k区间；是否存在实数k ，使得函数f ( x) 的极大值等于3

2、e 2 ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由 .解： f (x) 的定义域为 R .ke kx (x21) e kx (2 xe kx kx2，f '(x)x1)(2k) x 2k即 f '( x)e kx (kx2)( x1)(k0) .令 f '( x)0 ，解得： x1或x2 .k当 k2 时， f '( x)2e2 x( x1)20 ，故 f ( x) 的单调递增区间是 (- ? ,? ) .当 2k0时，f ( x) ， f'( x) 随 x 的变化情况如下：x(, 2 )2(2, 1)1(1, )kkkf'( x)00f

3、( x)极大值极小值所以，函数f ( x) 的单调递增区间是(,2和 (1,) ，单调递减区间是2.k)(,1)k当 k2 时，f ( x) ， f '( x) 随 x 的变化情况如下：x( ,1)1( 1,2)2(2, )kkkf '( x)00f ( x)极大值极小值所以，函数f ( x) 的单调递增区间是(,1)和2,，单调递减区间是()k当 k = -1 时， f ( x) 的极大值等于3e 2 . 理由如下：当 k2 时， f (x) 无极大值 .当 2k0 时， f ( x) 的极大值为f (2e2(41，)k2k)k令，即解得 k1 或舍 .e 2 (41 ) 3

4、e 2413,k4k2kk2k3当 k2 时， f ( x) 的极大值为f (1)ek.k因为 eke2 ，011，k2所以ek1 e 2.k2因为 123e2，所以 f (x) 的极大值不可能等于3e 2 .e2综上所述，当 k1 时， f ( x) 的极大值等于 3e 2 .18. 2018年西城一模理18函数eax( a，其中 a1.f ( x)a1)x当 a1 时，求曲线 yf (x) 在点 (1, f (1)处的切线方程；求 f( x) 的单调区间 .解：当 a1时，f (x) ex (1，、2)f (x) ex ( 1212 )xxx2 .(1,)由于 f (1) 3e， f (1

5、)2e ，所以曲线 yf (x) 在点 (1, f (1)处的切线方程是 2exye0 、f ( x)ax ( x 1)( a1)x 1 ， x0 、aex2当 a1时，令 f (x)0，解得 x1 、f (x) 的单调递减区间为(, 1) ；单调递增区间为(1,0) ， (0,) 、当 a1 时，令 f ( x)0 ，解得 x1 ，或x1、a1当 1 a0 时， f ( x) 的单调递减区间为(,1) ，(1；单调递增区,)a1间为 (1,0) ，1、(0,)a1当 a0 时， f (x) 为常值函数，不存在单调区间、当 a0 时， f ( x) 的单调递减区间为(1,0)，(0,1；单调递

6、增区间为a)1( ,1) ，1、(,)a118、 2018 年东城一模理 18函数122ex 3e2ln xb在 ( x0 ,0) 处的切线斜率f (x)x2为零、 求 x0 和 b 的 值 ； 求证 ： 在 定 义 域 内 f ( x) 0 恒成 立 ； ( ) 假 设 函 数a 有最小值 m ，且 m2e ，求实数 a 的取值范围 .F ( x) f ( x)x解：2 .f (x) x2e3ex由题意有 f(x0 )0 即3e2，解得 x0e 或 x03e 舍去、x0 2e0x0得 f (e)0 即 1223e2ln eb，解得1 2、2e2e0be2证明： 由知1 x22，f (x)2e

7、x3e2 ln xe( x0)22f ( x)x2e3e2(xe)( x3e)、xx( x 0)在区间 (0,e)上，有 f( x)0 ；在区间 (e,) 上，有 f ( x)0 、故 f ( x) 在 (0,e)单调递减，在 (e,) 单调递增，于是函数 f (x) 在 (0,) 上的最小值是f (e)0 、故当 x0 时，有 f ( x) 0 恒成立、解：()F ( x) f ( x)axa 3e22e (x 0) 、xx当 a3e2 时，那么xa3e22e2a 3e2，当且仅当x a 3e2时等F ( x)x2e号成立，故 F ( x) 的最小值 m2a3e22e2e ，符合题意；当 a

8、3e2 时，函数 F ( x)x2e 在区间 (0,) 上是增函数，不存在最小值，不合题意；当 a3e2 时，函数xa3e2在区间 (0,) 上是增函数，不存在最小值，不F ( x)x2e合题意、综上，实数 a 的取值范围(3e2,)、18. 2018 年丰台一模理18函数 f (x) ax2(a 2) xln x 、当 a=1 时，求曲线y=f(x)在点 (1 ， f(1)处的切线方程； 当 a>0 时，函数 f(x) 在区间 1 ， e 上的最小值为-2 ，求 a 的取值范围；假设对任意x1 , x2(0,) ， x1x2，且 f (x1)+2 x1f ( x2 )+2 x2恒成立，

9、求a 的取值范围、解：当 a1时， f (x)x23xln x ，( x)2x1、1分f3x因为 f (1)0 ， f(1)2，2分所以切线方程为y2、 3分函数 f ( x)ax2(a2) x ln x 的定义域为 (0,) 、当 a>0 时，f ( x)2ax( a2)12ax2(a 2) x 1( x0)，4分xx令 f( x)0 ，即f( x)2ax2(a 2) x 1(2 x1)(ax1)，xx0所以1 或1、5分xxa2当1，即 a1时， f (x) 在 1,e上单调递增，01a所以 f (x) 在 1,e上的最小值是f (1)2；6分当1时， f (x) 在 1,e上的最小

10、值是1)f (1)2，不合题意；1ef (aa当 1时， f (x) 在 (1,e) 上单调递减，ae所以 f (x) 在 1,e上的最小值是f (e)f (1)2，不合题意、7 分综上可得 a1、 8 分设 g (x)f ( x)2 x ，那么 g( x)axaxln x ， 9 分2只要 g( x) 在 (0,) 上单调递增即可、而a12ax2ax1， 10 分g (x) 2axxx当 a0时，g ( x)1，此时 g( x) 在 (0,) 单调递增； 11分x0当 a0时，只需 g ( x)0在 (0,) 恒成立，因为 x(0,) ，只要 2ax2ax+1 0 ，那么需要 a0 ，对于函

11、数 y2ax2ax+1 ，过定点 (0,1) ，对称轴1，只需a28a0 ，x40即 0 a8、12 分综上可得 0a 8 、 13 分18. 2018 年朝阳一模理18设函数f (x)eax, a. 当 a1时，求曲线 yf ( x)x21R在点 (0,f (0)处的切线方程； 求函数f (x) 单调区间 .解： 因为f ( x)eax所以eax (ax22x a) .2 1,f ( x)( x2 1)2x当 a1 时,f (x)ex,f ( x)ex (x22x1) ,1( x21)2x2所以 f (0)1,f (0) 1.所以曲线 yf ( x) 在点 (0,f (0) 处的切线方程为

12、xy10.4分因为f( x)eax(ax22xa)eax(ax22x，5分(x21)2( x22a)1)1当 a0 时, 由 f ( x)0 得 x0 ；由 f ( x)0 得 x 0 .所以函数 f ( x) 在区间 (,0) 单调递增 , 在区间 (0,)单调递减 .6 分2当 a0 时, 设 g( x)ax22x a ，方程 g ( x)ax22x a0 的判别式44a24(1 a)(1a), 7 分当 0a1时，此时0 .由 f (x)0 得11 a2, 或1 1 a2；xaxa由 f ( x)0 得 1 1 a2x1 1 a2.aa所以函数 f ( x) 单调递增区间是2和2, 1(

13、1(1 a)1 a ,)aa单调递减区间 (11a2,11a2).9分aa当 a1 时，此时0 . 所以 f ( x)0 ，所以函数 f ( x) 单调递增区间是 (,). 10 分当 1 a 0 时，此时0 .由 f (x) 0得1a2x11a2 ；1aa由 f ( x)0 得x11 a2 , 或x1 1 a2 .aa所以当1a 0 时 ,函数 f ( x) 单调递减区间是(,11a2和 11a2,a)(a,)单调递增区间11a2,11a2.12分()aa当 a1时,此时0 ， f ( x)0 ，所以函数f (x) 单调递减区间是 (,) .18.2018年东城11校联考理18函数：a,12

14、x 1当x1, e时，求f (x)的f ( x) x ( a 1) ln x(a R) g(x)exexxx2最小值；2当 a1 时，假设存在 x1e, e2, 使得对任意的 x22,0 , fx1g x2恒成立，求 a 的取值范围 .解： 1 f ( x) 的定义域为 (0,) ,f ' ( x)(x 1)( x a) (a R)x2当 a1时， x1,e , f 'x0. fx为增函数，f x minf11a当 1a e时， x1, a , f 'x0. f x为减函数， xa,e , f 'x0. fx 为增函数，fx minfaaa1 ln a1当 ae

15、时， x1,e , f 'x0. f x为减函数，fx minf e eaa 1e综上当 a1时， fx min1a当 1a e时， f x minaa1 ln a1当 ae时，f x minea1a 6 分e(2) 假设存在 x1e, e2 , 使得对任意的x22,0 , fx1g x2 恒成立，即 f (x1 ) min g( x2 ) min当 a1 时，由 1可知， x1 e, e2 , f x 为增函数，a ，f x1minfeea1eg ' ( x)xexxexexx 1ex, 当 x22,0 时 g ' ( x) 0, gx 为 减 函 数 ，g( x2

16、) m i ng 01,e(a1)a1,ae22eee1a( e22e ,1) 13 分e118. 2018 年石景山一模理18函数 f ( x) x2aln x . 假设函数f ( x) 的图象在2(2, f (2) 处的切线斜率为1，求实数 a 的值；求函数 f (x) 的单调区间； 假设函数2f ( x)在 1,2 上是减函数，求实数a 的取值范围 .g( x)x解： 2a2x2a 1 分2f '( x)2xxx由 f '(2)1，解得 a3.3 分 II 函数 f ( x) 的定义域为 (0,) . 1当 a0 时 ,f '(x)0 ， f(x) 的单调递增区间

17、为(0,)；5分 2当 a0 时f2( xa )( xa ) .'( x)x当 x 变化时， f '(x),f (x) 的变化情况如下：x(0,a )a(a ,)f '(x)-0+f (x)极小值由上表可知，函数f (x) 的单调递减区间是(0,a ) ；单调递增区间是(a,). 8分II 由2得22a2g (x)xx 2a ln x g '( x)x22xx由函数 g (x) 为 1,2上的单调减函数，那么 g '(x)0 在 1,2 上恒成立， 9分即22x2a在 1,2上恒成立 .x2x0即1 2在 1,2上恒成立 .11 分axx令h(x)1x2

18、，在 1,2 上12x(1，xh '( x)22 2x)0xx所以 h( x) 在 1,2为减函数 .7 ,h( x) min h(2)2所以a7.14分218. 2018 年房山一模18函数 f ( x) ln(1x)mx 、 I 当 m1时，求函数f (x) 的单调递减区间；II求函数 f ( x) 的极值； III 假设函数 f ( x) 在区间0, e2 1上恰有两个零点， 求 m的取值范围、解： I 依题意，函数f ( x) 的定义域为1,，当 m1时， f (x)ln(1x)x ，12分f ( x)11 x由 f (x)0 得11，即x0101 xx解得 x 0 或 x1，

19、又x1 ，x0f ( x) 的单调递减区间为(0,)、 4分II 1，(x1)f (x)1xm 1 m0 时， f( x)0 恒成立f (x) 在 (1,) 上单调递增，无极值. 6分 2 m0 时，由于 111m所以 f ( x) 在1上单调递增，在1上单调递减，1,11,mm从而f ( x)极大值 f ( 1、9分1)mln m 1mIII由 II问显然可知，当 m0 时， f ( x) 在区间 0, e21上为增函数，在区间 0, e2 1不可能恰有两个零点、10 分当 m0 时，由 II问知 f ( x)极大值=1，f (m1)又 f (0)0 ，0 为 f ( x) 的一个零点、11

20、 分假设 f ( x) 在0,e21恰有两个零点，只需f (e21)0011e21m即2m(e21)02 13 分e2m111m1e2注明：如有其它解法，酌情给分18、 2018年密云一模理18函数f x2 ax 、 I 当a 1时，求在处x efx(1, f 1 )的切线方程； II 求函数 f x的单调区间； III假设 fx在 (1,) 单调递增， 求 a 范围.解： I当 a1 时， fxx2ex ，f ' x(x2 )' exx2 (ex )'2xexx2ex(2 xx2 )exf ' 13e， f1e，故切线方程为ye 3e( x1) ，即 3exy

21、2e04分II f 'x( x2 )' eaxx2 (eax )'2xeaxax2 eaxx(ax2)eax 5 分1当 a0时， f ' x2x ，当 x0 时， f ' x0 ，当 x0 时， f ' x0 ，单调增区间为 (0,) ，单调减区间为 (,0) 6 分当 a0时，令 f 'x0，得 x10 或x227分a2当 a0时，2 ，0a当2 时， f ' x0，当2x0时， f ' x0 ，当 x0 时， f ' x0 ，xaa单调增区间为,2，(0,) ，单调减区间为(2,0) 9 分()aa3当 a<0 时，0<2 ，当 x>2 时，f (x)<0 ，当 0<x<2 时，f(x)>0，当 x<0 时，f (x)<0 ，aaaf(x)的单调增区间是 (0,2 ) ，单调减区间是 (- ,0)， (2,+ ) 11 分aa综上：当 a0 时，单调增区间为(0,) ，单调减区间为 (,0)当 a0时，单调增区间为2 )， (0,) ，单调减区间为2 ,0