2019考研数学基础阶高数之不定积分

1、2019 考研数学基础阶高数之不定积分跨考教育成建军“不定积分” 是考研数学微积分的基本运算。 不定积分是导数的逆运算， 同时也是后续定积分及多元积分的基础。 不定积分是微积分的重要基石， 很多考生微积分学不好， 感觉积分很难算。 在考研数学中直接考察不定积分的运算很少， 但其它的考点如果不定积分不会算往往导致结果得不到。 比如一个二重积分运算题， 首先化成累次积分， 其次累次积分计算往往是定积分运算， 而定积分要想算出需要不定积分计算能够熟练运用。 不定积分计算作为微积分的三大支柱之一，如果不会，基本上微积分是学不会的。因此， 2019 的考生在基础阶复习时一定要搞定不定积分计算。为帮助 2

2、019 同学掌握基本不定积分计算的方法，确保基础阶掌握不定积分计算，跨考教研室的成建军老师给各位梳理出一个严密的不定积分计算流程。有理积分不定积分计算流程：分部积分可化有理积分第一换元A 、有理积分P xP x bmx mbm 1xm 1b0dx :Q x an xnan 1 xn 1a0Q x1、 m n 除法降次S xQ xP xP x dxS xR x dxS x dxR x dxQ xQ xQ xR xx21x41dx2x21 dxdxx41x示例 1、 x2x212114x212x3xdxx21x23x11x222、分母分解处理R x dxQ x(1)R x dxAxBdxQ xx2

3、pxqAx Bx2dxpx q1x2pxq dx p 24q 01x2pxq dx p 24q 0A2xpp2BA2x2pxqdx2BA2xpApdxAdx2x 2pxq2x2pxqA d x2px qAp2 Bx21dx2x2px q2Apx qA ln x2px qAp2 Bx21dx22Apxqp11x22dxarctanCp2pp2p2xqqq24441dx1dx1Cx2pxq2pxpx22 p 24q0x21dx1dxpxqp2pqpp2x4xq2241xpp 2q24lnCp2pp 22xqq244(2) Q x 次数2( Q x 含 n重根 (n2) ) Q x 含无实根的二次式

4、R xAxBQ xx2pxq左右同乘 x ，令 x确定 A Q x 含单根的一次式R xCQ xxx0左右同乘 xx0 ，令 xx0 确定 C Q x 含二重根的二次式R xD1D 2Q xxx0xx02左右同乘 x2，令 xx0 确定 D2x0顺序剩下待定系数采用特殊值法。(3) Q x 含 n重根 (n3)示例 2、x2dxx1 3x1x2ABCDx 1 3 x 1x 1x 1 2x 1 3x 1左右同乘x1 3 ，令 x1确定 C1，左右同乘 x1 ，令 x1确定 D1，分解式28x2AB1111。最后，令x0,2有 A1, B33x 122x 138。x 1 x 1x 18 x 14x

5、21311dx8428dx3x 1 x 123x 1 x 1x 1x 1B、第一类换元法 (凑微分 )设 f (u) 有一个原函数F (u) ， u( x) 可导，则有f( x)' ( x) dx 令 u(x) f u du F (u) C F( x)CC、可化有理积分三角函数可化有理积分指数函数根式处理第二类换元法设 x(t) 是单调，可导的函数，且' (t )0 ，设 f (t )' (t) 具有原函数 G(t ) ，则f ( x)dx 令 x(t )f (t)' (t)dtG(t)G1 (x)C .1、三角函数万能公式x1 2txttan22sin x c

6、os x2tsin xtsin x122t 221 t 2cosx2 xsin2 x1t 2cos21t 2cos x1221 t 22、指数函数 t ax3、根式处理naxb直接令 tnnaxb有理积分cxd根式形式x求出不含根号a2x2: xa sin t或 acost三角换元x2a2: xa sect或 a csct三角函数a2x2: x a tant或 a cottD、分部积分公式uv dxudv uvvdu uvvu dx原则：1、好凑微分的做v ，求导简化的做u ；2、先 v 后 u ；3arc , ln,xxa三角或 ax ；f t dt、常做 u 的优先级：a4、常用凑微分： adxd axb ， xdx1 d x2，xa dxa1d xa 1 ，1 dxd ln x ，21xex