电路的复域分析法

1、第十章电路的复域分析法第九章电路的复域分析法§ 9.1引言对于这一过程，在第七章中曾讨论过以下两个问题：(1 )可否省掉第一步，即不列微分方程而直接写出含待求相量的微分方程；(2)可否将电阻电路的分析法引入到正弦稳态电路的相量分析法中。为此，我们讨论了电路定律的相量形式，即基尔霍夫定律和元件约 束关系(VCR )的相量形式，发现基尔霍夫定律的相量形式和其时域形式的表述是相同 的；另外，在讨 VCR的相量形式时，还发现无源元件( R、L、C )上的电压相量和电 流相量是成正比的。对比线性电阻电路的特点后， 我们得到的结论是不仅可以省掉第一步， 直接写出含待求相量的复系数方程，而且还可引

2、入电阻电路的分析法及相关的电路定理。 这就是正弦稳态电路相量分析法的推导过程。显然，和推导相量法的过程类似，这就需要先讨论以下两个问题(1) 基尔霍夫定律的复域形式(2) 元件约束关系(VCR)的复域形式§ 9.2电路定律的复域形式9.2.1基尔霍夫定律的复域形式1. KCL的复域形式KCL的时域形式为' i(t)=0上式两端同取拉氏变换' i(t)=O根据拉氏变换的线性定理'i(t)八 i(t)八T(s)所以，KCL的复域形式为' I (s) =0上式用语言表述为：在电路的任何一个节点上，流入该节点的电流的象函数之和等于流出该节点的电流的象函数之和。

3、2. KVL的复域形式和上面推导KCL的复域形式类似，不难推出KVL的复域形式为'、U(s) =0上式用语言表述为：对于电路的任一回路，沿回路绕行一周，各支路电压象函数的代 数和为零。922 VCR的复域形式RiR(t)°_II-'UR(t) 一1.电阻元件,R .Ir(s)°F I°-Ur(s)-(b)图9-3 电阻元件的 VCR如图9-3（a）所示，电阻元件的电压电流关系为UR（t） =RiR（t）对上式两端同取拉氏变换后可得其复域形式为Ur(s)二 RIr(s)可见，电阻元件的端电压的象函数和端电流的象函数也是成正比关系的。2.电容元件Ic(

4、s)1Zc(S)=scIc(s)第十章电路的复域分析法第十章电路的复域分析法ic(t"Uc(s)Uc(s)+C “Uc(t)uc (0J（b） 电容元件的VCR 如图9-4（a）所示，电容元件的电压电流关系为plic（t） 乂二口,） dt上式两端同取拉氏变换，经整理后可得其复域形式为图9-4lc(s)二sCUc(s)-Cuc(OJUc(O )或写成Uc(OJ特别的，对于零初始状态的电容（uc（0=0 ）而言，有(C)(9-1)(9-2)1Uc（S）"c（S）sC若要引入电阻电路的分析方法，就必须使所有无源元件的端电压和端电流成正比，以对于非零初始状态的电容，可考虑用一个零

5、初始状态的电容和一个电压源相串联的戴维南电路（图9-4b ）或一个零初始状态的电容和一个电流源相并联的诺顿电路（图9-4C）来等效。这一电压（电流）源就称为附加电压（电流）源。由式（9-2 ）可知图9-4（ b）第十章电路的复域分析法中的附加电压源的电压应为Uc(0J ;由式(9-1 )可知图9-4 ( c)中附加电流源的电流S应为 Cue (0 _)。经等效变换后，由于图 9-4 (b)和(c)中的电容均为零初始状态的电容，所以其端电压的象函数和端电流的象函数就成正比了。在后面建立电路的复域模型时，凡是非零初始状态的电容均应使用图9-4(b)或图9-4(c)所示的等效电路替代，以确保无源元件

6、的端电压和端电流成正比这一条件，从而便于引入电阻电路的分析方法。3. 电感元件(a)(b)图9-5 电感元件的VCR+9第十章电路的复域分析法第十章电路的复域分析法如图9-5(a)所示，电感元件的电压电流关系为LdiL(t)dt上式两端同取拉氏变换后可得其复域形式为(9-3 )(9-4 )Ul(s)= sLIl(s)-LL(0或Il(s) Ul(s)sLs特别的，对于零初始状态的电感(iL(0J = 0)而言，有Ul(s) =sLIl(s)可见，零初始状态的电感元件的端电压象函数和端电流象函数也是成正比的。和处理非零初始状态电容的方法类似，对于非零初始电感，由于其端电压和端电流不成正比，所 以

7、可使用图9-5(b)所示的戴维宁电路或图9-5(c)所示的诺顿电路来等效替代。其附加电源的方向和大小已标示在图中。在后面建立电路复域模型的过程中，所有非零初始状态的电感也应使用图9-5( b)或图9-5 ( c)所示的电路来等效替代。9.2.3复阻抗的概念和正弦稳态电路中阻抗的定义类似，在复域中，我们定义：一个零状态无源二端元件的端电压象函数和其端电流象函数的比值就称为该元件的复阻抗，用Z(s)表示；Z(s)的倒数称为元件的复导纳，用Y(s)表示，即Y(s)=根据上面的定义可知，R、L、C元件的复阻抗分别为Zr(s)二学竽 R1 R(S) zc(sruc(s)lc(s) sC Zl(s) =

8、Ul(s) =sLIl(s)注意，复阻抗是没有单位的，所以复阻抗也称为运算阻抗，复域分析法也称为运算法。在定义了复阻抗的概念后，电阻元件和零状态的电容、电感元件的VCR就可统一表示为U(s)二Z(s)l(s)§ 9.3电路的复域分析法根据复域分析法的基本思想，可见用复域分析法分析电路时主要有以下几个步骤：（1） 根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算电容电压和电感电流在t =0_时刻的 值，以便确定电路复域模型中的附加电源。（2）画出电路的复域模型。（3）用在电阻电路中谈到的电路分析方法（支路、节点、回路等分析法）建立电路 的复域方程，求出待求响应的象函数。（4）根据拉普拉斯变换表和部

9、分分式展开法，将已求得的象函数进行拉氏反变换， 从而得到待求的时域响应。由于用复域分析法时可以不用求解 t = 0 .时刻的初始条件，所以对于此类电容电压或 电感电流要发生跳变的电路，使用复域分析法分析就更方便了。§ 9.4网络函数9.4.1讨论网络函数的目的本节将要介绍的网络函数和下一小节要介绍的频率特性，分别称为电路的复域数学模型和频域数学模型，这两种数学模型，加上时域数学模型（包括微分方程和第十一章谈到的状态空间方程），是系统分析中最常用的三种数学模型。在本节中，仅以电路为例介绍 其定义及其在电路分析中的一些简单应用。942网络函数的定义对于一个电路而言， 我们通常将电路中的激

10、励源的信号称为电路的输入信号，简称输入，用e（t）表示；将电路中的响应称为输出信号，简称输入，用r（t）表示。我们定义：零初始条件下，电路的输出信号和输入信号的象函数之比就称为该电路的网络函数，用H（s）表示，即H(s)R(s)E(s)第十章电路的复域分析法电路中可以有多个输入（激励）和多个输出（响应），所以在讨论网络函数时应具体指明取哪个信号作为输入，哪个信号作为输出。同时应注意，网络函数仅为s的函数，其中不能含有任何电压和电流的象函数。所以求网络函数时， 关键是要找到一个只含输入信号和输出信号的复域方程，即电路的输入一输出方程。实际中的电路要复杂的多，为了求其网络函数，有时可能需要设较多的

11、中间变量，这 些中间变量都必须被消去后才能得到输入-输出方程，进而求得网络函数。943网络函数的类型根据输入（激励）和输出（响应）位置的不同，网络函数可分为策动点函数和转移函 数两大类，前者指同一个端口处的两个量（电压、电流）之比，后者指不同端口处的两个 量之比。这两大类又可以细化为六种类型的网络函数。下面结合图9-13来加以说明。十U(s)N)(a)N(b)(c)（d）（e）（f）图9-13网络函数第十章电路的复域分析法第十章电路的复域分析法按定义应称为策动点函数。（1）图（a）中，丄包 是同一端口处的响应和激励之比,U（s）因其比值具有导纳的单位，所以又称为策动点导纳（函数）（2）图（b）

12、中，V® 也是同一端口处的响应和激励之比，属于策动点函数。因其I（s）比值具有阻抗的单位，所以又称为策动点阻抗（函数）。Ii(s)图（C）中， 氏 是不同端口处的响应和激励之比，按定义应称为转移函数。因其比值具有阻抗的单位，所以又称为转移阻抗(函数)(4) 图(d)中，-I(s)是不同端口处的响应和激励之比，属于转移函数。因其比值Ui(s)具有导纳的单位，所以又称为转移导纳(函数)。(5) 图(e)中，l(s)称为电流转移函数。Ii(s)(6) 图(f)中， 氏廻称为电压转移函数。Ui(s)在今后的分析中，人们往往只对电路的输入一输出关系感兴趣，所以在已知网络函数后，一个二端口网络可

13、以用下面的框图来抽象表示。输入信号E(s)网络函数H (s) 输出信号R(s)图9-14用网络函数表示的二端口网络框图图中的箭头称为信号线；方框称为环节，代表网络函数为H (s)的电路。E(s)9.4.4网络函数的性质网络函数主要有以下两点性质。(1) 网络函数只取决于电路本身的结构和参数，和输入信号的形式是无关的。通过 例9-6和例9-7可以看出，在求网络函数时，并没有明确指出激励信号是直流、正弦亦或其他形式的信号，这说明一个电路的网络函数和输入信号的形式是无关的。当输入信号的形式发生变化时，输出信号的形式亦会发生变化，但输出信号和输入信号的比值，即网络 函数是不变的。(2) 在保持电路的结

14、构和参数不变的情况下，无论如何选择输入和输出信号，其网 络函数的分母是不变的。这是网络函数的最重要的性质，下面举例加以证明。可见，网络函数的分母体现了电路的固有特征，所以也称为特征多项式。网络函数的 极点，也相应的称为特征根。从后面的分析中可以看出，网络函数的极点，即特征根，对 电路的主要性能起着决定性的作用。§ 9.5频率特性9.5.1频率特性的定义对于一个稳定的电路而言，当其输入信号为正弦信号时，由相量法的知识可知其输出响应必为同频率的正弦量。在此我们定义：正弦稳态情况下，电路输出信号的相量 R和输入信号的相量 E的比值就称为该网络的频率特性，用H(jJ加以表示，即可见，输出信号

15、的相量和输入信号的相量的比值是角频率-的函数，这就是H（j ）被称为频率特性的原因。电路的频率特性也称为电路的频域数学模型，利用频率特性对电路进行分析的方法也称为频域分析法，因为频率特性是基于相量法的基础得到的，所以相量法也常称为电路的频域分析法。9.5.2频率特性和网络函数的关系我们以图9-19所示电路为例来说明频率特性和网络函数的关系。对于图9-19所示电路，以Uj（s）为输入信号，Uo（s）为输出信号时，不难求得其网络函数为比较式（9-9 ）和（9-10）H（s）。忙1Ui（s） sRC + 1不难看出频率特性和网络函数的关系为（9-10）H j) = H(s)（9-11）虽然上述关系是通过一个具体的例子导出的，但可以严格证明，式（9-11 ）对于任何电路都是成立的。证明在本书中从略。通过式（9-11 ）可以看出，从数学意义上来说，电路的频率特性是其网络函数中的复变量S = j 在虚轴上取值（、：=0）时的特殊情况。这也是为什么将频率特性放在本章中讨论的原因。9.5.3幅频特性和相频特性从例9-9可以看出，频率特性是以为变量的复数。设输入信号的相量第十章电路的复域分析法第十章电路的复域分析法输出信号的相量为 R二R. : R，则RHj)*R(1e)第十章电路的复域分析法第十章电路的复域分析法根据复数相等的条件，有RH j) *I NHj)=®R-&