东北大学2011-2012(1)概率论与数理统计试题及答案

1、东北大学2011-2012(1般率统计试题及参考答案3 .已知X:N(巧,。；),丫：N(坊,。；)，且PX-|PY-k21,正确的是(A)01=仃2；(B)01。2.4 .设XI,X2，Xn是来自总体N(R,。2)的简单随机样本，X,S2分别为样本均值和样本方差,不正确的是.5 .对原假设 HO和备择假设 HI,为犯第一类错误.(A)HI真，拒绝 HI；(B)HI不真，拒绝 HI；(C)HI真，接受 HI;(D)HI不真，接受 HI.二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)1 .设事件 AI,A2,A3相互独立，且 P(Ai)=1/3(i=1,2,3),则 AI,A2,A3至少发生一个的概

2、率为2 .设随机变量 X,Y,Z 相互独立，概率密度函数分别为贝 UR3X丫才尸3 .二维正态变量(X,Y)：N(-2,1,8,15,0),则Y:,X 与丫(独立，不独立，相关)-、选择题(每小题 3 分，共 15 分)1.随机事件ABUABUAB发生，意味着(A)A,B都发生；(C)A,B恰好有一个发生；f23、2.设随机变量 X:,40.6,0,x2,(A)F(x)=0.4,-2x3,0.6,x之3.0,x2,(C)F(x)=0.4,-2x3.(B)A,B至多有一个发生；(D)A,B至少有一个发生.则 X 的分布函数为.0.4,x-2,I(B)F(x)=0.6,-2x3.0,x-2,I(D

3、)F(x)=0.4,-2x3.X-1一一(A)=N(0,1);(B)(J；,.n_2(n-1)S.2(J2,，、X2,、(n-1);(C)r:t(n);(D)X X 与S相互独立.Sn11fX(x)=20，1:x：3,其他，131e2yfy(y)=20，y-0,y0,1Jz)2fZ(z)=-e2,-z,2二4 .设X,S2是二项总体 B(10,0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则 E(X-S2)=.2.25.设某次考试的成绩服从正态分布N（R,。），其中巴仃均未知.随机调出其中 36 位考生的成绩,算得平均分是 66.5,标准差为 15.为检验这次考试的平均成绩是否为 70 分，应提

4、出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为.XY102三、（12 分）设随机变量（X.Y）的分布律为00.20.30,（1）求 Z=2X-Y 的分布律；（2）求100.40.1Cov（X,Y）;（3）判断 X,Y 的独立性与相关性.四、（共 11 分）ax,0：x：二2,.1 .（6 分）设随机变量X:f（x）=小（1）求常数 a；（2）求分布函数 F（x）.0,其他.2-,x0,2 .(5 分)设随机变量X:f(x)=4n(1+x)求Y=lnX的概率密度函数.0,x0,五、（12 分）设二维随机变量（X,Y）在由直线 x=2,y=x/2 及 x 轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）f

5、X(x),fYX(yx);(2)Z=X+Y 的概率分布六、（10 分）某系统装有三个电子元件.假设：系统启动时它们同时开始工作；三个元件工作状态相互独立，且无故障工作的时间 Ti（i=1,2,3）均服从参数为九（九0）的指数分布；只要有一个元件在工作，系统就能正常工作（正常工作的时间记为 T）.（1）求参数为九的指数分布的分布函数；（2）给出 T 与 T1、T2、T3的函数关系；（3）求 T 的概率密度函数.七、（共 12 分）axa0:二x：11.（6 分）设随机变量X:f（x）=,其中a（a0）未知，为&,Xn是来自总体 X 的0,其他，简单随机样本，求a的矩估计.X023_12.

6、（6 分）已知总体 X 的分布律为/口 2口.口、，其中日（0日1）未知；总体 X 的一组PU1UU（1U）样本值中有 3 个为 0、4 个为 2、2 个为 3,求 9 的最大似然估计.八、（8 分）基于人一年内的死亡率为 0.1%,并经过市场调研，某保险公司设计了一种年险：参加保险的人，只须在一年的第一天交付保险费 10 元，一旦死亡，家属可从保险公司领取 2000 元.试问：（1）至少有多少人参加该保险才能保证保险公司亏本的概率为 0?（提示：首先设参保人数，再设随机变量，表示出保险公司“不亏本”事件，然后利用中心极限定理计算概率）（2）若一年内有 n 人投保，则保险公司一年内所获利润、平

7、均利润各是多少？（3）结合（1）、（2）的结果，简单谈谈你对保险及保险公司的看法.（本题约定：0M（x）1,x4;（x）=1,x 之 4）3_L(1-e)3,t0,FT(t)=PTMt=Pmax工,T2,T3Mt=PT1Et,T2Mt,T3Mt=F；(t)0,t0.fT(t)=3e-t(1-e-t)2,t0,0,t0.答案:、1.19/27;2.2;1_(y)23. N(1,15)或_=eF-；独立;.30二4. 1.6;5. HO邛=70,HO：W70;X-70S.n、（1）Z-2-1012P-00.20.400.4(2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1*2*0.105*0

8、.4=0(3)PX=1,丫=1=0W0.1=PX=1PY=1,所以 X,丫不独立.因为 Cov(XY)=0,Q(X)0,JD(Y)#0,所以 p(X,Y)=0,故 X 丫不相关.四、1.(1)ff(x)dx=121axdx=1,a=-0,x0,11-e，x,x0f(x)=0,x、0.F(x)=PXix=0,x,0.(2)T=maxT1,T2,T3(3)1,0；x；2,0:y；x/2,f(x,y)=o,其他.五、当0 x父2时，f(yx)=f(x，y)YXf(x)I。3dz,0z2，3z,z39=0,0 得日的最大似然估计=.7八、设有 n 人参加保险，其中有 X 人在一年内死亡，则X:B(n,0.001).根据中心极限定理可知,X:N(0.001n,0.0010.999n(1)不亏本：10n=2000X,不亏本的概率为 0,即0.005n-