不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

1、复习1原函数的定义。2不定积分白定义。3不定积分的性质。4不定积分的几何意义。引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：导数公式微分公式积分公式1(kx)=kd(kx)=kdxJkdx=kx+C(k?。)八/12、，2(x)=xd(1x2)=xdx1,12xdx=x+C21,13(一)个xx,1、1,d(_72dxxx.111-2dx

2、=十Cxx14(ln|x)=一xII1d(ln|x|)=dxx，1，.fdx=In|x|+CxxG5()H=xad()=x0dxa+1xot+Jx%x+C1+1()xx6(e)=ed(ex)=exdxJexdx=ex+Cxa/a*x7(,)=aInaxaxd()=adxlnaxfadx=+CIna8(sinx)=cosxd(sinx)=cosxdxJcosxdx=sinx+C9(-cosx)r=sinxd(-cosx)=sinxdxJsinxdx=-cosx+C01(tanx)=se(2xdx2d(tanx)=secxdx1122-f_2-dx=|secxdx=tanx+C,cosx11(-c

3、otx)*=csc?x2d(-cotx)=cscxdx1122_dx=fcscxdx=-cotxK；Jsinx.21(secx)*=se(xtanxd(secx)=secxtanxdxjsecxtanxdx=secx+C31(-cs(x)*=cs(xcotxd(-cso)=csacotxdxcscxcotxdx=-cscx+C41(arctanx)11d(arctanx)=21+xr1,一21+x2jx1QdxarctanxCM+x251(arcsinx)r=v1+xz.、12d(arcsinx)-1dxfdxarcsinx+C71+x2以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端

4、的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例1.求下列不定积分.（1）dx（2）Jx4xdxx2121斛：（1）J2dx=jxdx=+C=+Cx-21x34535（2）fxvxdx=x2dx=2x2+C5此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x的形式，然后应用募函数的积分公式求积分。法则1两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即f(x)_g(x)dx=f(x)dxg(x)dx法则1对于有限多个函数的和也成立的.法则2被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即fkf(x)dx=kJf(x)dx(k=0)_3x.一例2求J(2x+1-e)d

5、x解(2x31ex)d关2x3dx+dx-exdx14x=-x+xe+C。2注其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C写在末尾，以后仿此。注检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于(lx4x-exC)=2x31-ex,所以结果是正确的。2三直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。例3求

6、下列不定积分.不定积分的基本运算法则(1)J(Vx+1)(x-=)dx!=dxx1解：(1首先把被积函数(4+1x(-上x作为和式，然后再逐项积分得dx)dx=(x弋/xx1%xx+jxdx-dx-f-dx、x注：(1)求函数的不定积分时积分常数C不能丢掉，否则就会出现概念性的错误。(2)等式右端的每个不定积分都有一个积分常数，因为有限个任意常数的代数和仍是一个常数，所以只要在结果中写一个积分常数C即可。(3)检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数。若相等，积分结果是正确的，否则是错误的。=fdx-2fdx=x-2arctanx+C。x414Jsin2xdx25x251

7、x2-x2-2x2+C。2_x21-2x21dx=(1x21)dx上例的解题思路是设法化被积函数为和式,然后再逐项积分,是一种重要的解题方法,须掌握。练习32x3-3x22x42x21x2(x21)dx,31x2dx。答案124-x-3x2ln|x|-C,arctan(2)x=3-xarctanxC22解：(1)/tanxdx=J(secx-1)dx2secxdx-dx=tanx-xC1-cosx1dx=22上例的解题思路也是设法化被积函数为和式，然后再逐项积分,的恒等变换。例4求下列不定积分.(1)tan2xdx2x(2)fsindx21sin2不过它实现化和是利用三角式一，2,练习1cot

8、xdx一2xcos2dx31，.、一2(xsinx)C23sinx-cosxC2.,、，、，x/f(x)=J(1-x)dx=x-+C.小结基本积分公式，不定积分的性质，直接积分法。练习求下列不定积分.一一2一，12一(1)f(1-2sinx+-)dx(2)(2-+2-)dx,xcosxsinx(t1)223.xR.(3)f-dt,(4)f(-=-2)dt,(5)/(6+x)dx,t,.1-t21t2x-1cos2x.(6)f2-dx,(7)fcsc(cscx-cotx)dx,(8)1dx,1 -xsinxo-2ef(tan2x-1)dx,(11)fex(3x-2e=)dxo.1-x2答案1x+2cosx+2ln|x|*C,2tanx-cotx+C,123t2tln111C,42arcsirt-3arctatiC,2617c13-5xC,6x-xC,7-cotxcscxC,8-cotx-2C,一一一(3e)一.一9t_cost+C,10tanx_2x+C,112arcsinx+C。1ln3答案1cotx-xCcos2x,dxcosx-sinx2.例5设f(sinx)2一一=cosx,求f(x).解：由于f(sin2x)22=cosx=1sinx,所以f(x)=1x,故知f(x)是1-x的原函数,因此(9),t.t