高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (6)

1、1第六节第六节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念三、旋转曲面三、旋转曲面二、柱面二、柱面四、二次曲面四、二次曲面2水桶的表面、水桶的表面、曲面方程的定义曲面方程的定义曲面的实例曲面的实例(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程;(2) 满足方程的三元数组满足方程的三元数组(x,y,z)所对应的点都所对应的点都如果曲面如果曲面S0),( zyxF有下述关系有下述关系:那么那么,0),( zyxF方程方程就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念台灯的罩子面等台灯的罩子

2、面等.与三元方程与三元方程xyzOS0),( zyxF在曲面在曲面S上上;3解解RMM |0 202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx 所求方程为所求方程为球心在原点的球心在原点的球面方程球面方程2222Rzyx 的的、半径为、半径为建立球心在点建立球心在点RzyxM),(0000.球球面面方方程程例例1特殊特殊),(zyxM设设是球面上任一点是球面上任一点,R21221221221)()()(zzyyxxMM 4 研究空间曲面有研究空间曲面有(2)已知曲面已知曲面,(1)已知方程已知方程,两个基本问题两个基本问题(讨论旋转曲面讨论旋转曲面)(讨论柱面讨论柱

3、面, 二次曲面二次曲面)求方程求方程;研究图形研究图形.5定义定义二、柱面二、柱面空间中一直线空间中一直线L沿着一条定曲线沿着一条定曲线C平行平行这条定曲线这条定曲线C 称为柱面的称为柱面的动直线动直线L称为柱面的称为柱面的准线准线,母线母线.所产生的轨迹称为所产生的轨迹称为移动时移动时柱面柱面. .LC准线准线母线母线6因此因此,该方程的图形是以该方程的图形是以xOy面上以圆为准面上以圆为准线线, 例例2 讨论方程讨论方程222Ryx 在在xOy面面上上, 222Ryx 解解现在现在空间直角坐标系空间直角坐标系中讨论问题中讨论问题.母线平行于母线平行于z轴的轴的柱面柱面.表一个表一个圆圆C.

4、过点过点作平行作平行z轴的直线轴的直线L,)0 ,(1yxM设点设点 在圆在圆C上上, 对任意对任意z,点点的坐标也满足方程的坐标也满足方程沿曲线沿曲线C, 平行于平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标的坐标都满足此方程都满足此方程, ,在在空间空间, ,222Ryx 就是就是圆柱面方程圆柱面方程. .此曲面称为此曲面称为圆柱面圆柱面. .),(zyxMxyzOC 1M M 的图形的图形.)0 ,(1yxML,222Ryx 7xyzOxyzOxy 平面平面表示母线平行于表示母线平行于zxy 表示母线平行于表示母线平行于z轴轴.xy 22xy抛物柱面抛物柱面柱

5、面举例柱面举例 其准线是其准线是xOy面面上的抛物线上的抛物线轴的柱面轴的柱面, 的柱面的柱面,其准线是其准线是xOy面上面上的直线的直线22xy22xy8从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆椭圆柱面柱面12222 byax双曲双曲柱面柱面 pzx22 抛物抛物柱面柱面 , 0),(, yxFzyx的方程的方程而缺而缺只含只含直角坐标系中表示母线平行于直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面轴的柱面,在空间在空间为为xOy面上的曲线面上的曲线C.其准线其准线母线平行于母线平行于x轴轴母线平行于母线平行于z轴轴母线平行于母线平行于y

6、轴轴9三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.此曲线称此曲线称称为称为旋转曲面旋转曲面. .旋转一周所成的曲面旋转一周所成的曲面, ,母线母线. . 为方便为方便,平面取作坐标面平面取作坐标面, 旋转轴取旋转轴取作坐标轴作坐标轴. 常把曲线所在常把曲线所在以一条以一条平面曲线平面曲线母线母线轴轴10d),(zyxM设设zz 1)1(22yxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将,1zz 0),(11 zyf), 0(111zyM0),(22 zyxf得方程得方程轴的距离轴的距离到到点点zM)2(|1

7、y 221yxy 代入代入0),(11 zyfxyzO), 0(111zyM ),(zyxM0),(: zyfC110),( yf22zx 旋转曲面方程旋转曲面方程.旋转一周的旋转一周的即为即为0),( zyfyOz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线同理同理,0),( zyfyOz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线旋转曲面方程旋转曲面方程为为旋转一周的旋转一周的0),(22 zyxf绕绕z轴轴绕绕y轴轴12 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之总之,位于坐标面上的曲线位于坐标面上的曲线C,绕其上的绕其上的一个一个 坐标轴转动坐标轴转动,所成的旋转曲面方程

8、可以所成的旋转曲面方程可以这样得到这样得到 :而用另两个变量的平方和的平方根而用另两个变量的平方和的平方根(加正、加正、负号负号)替代曲线方程中另一个变量即可替代曲线方程中另一个变量即可.13 解解 cotyz 圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz 所得旋转曲面称为所得旋转曲面称为圆锥面圆锥面.两直线的交点称为两直线的交点称为圆锥面的圆锥面的顶点顶点,例例3 两直线的夹角两直线的夹角圆锥面的圆锥面的半顶角半顶角.)20( 称为称为试建立顶点在坐标原点试建立顶点在坐标原点O,旋旋半顶角为半顶角为 的的 圆锥面的方程圆锥面的方程.转轴为转轴为z轴轴,yOz面上直线方程为面上直线方程为),(zyx

9、M ), 0(111zyM 直线直线L绕另一条与绕另一条与L相交的直线旋转一周相交的直线旋转一周yxzOxyzO14圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz 即即 圆锥面方程圆锥面方程)cot()(2222 ayxaz即即,1时时 a1cot 4 222yxz (用得较多用得较多) cotzy 绕绕y轴轴旋转所得曲面方程及图形旋转所得曲面方程及图形.)(cot2222zxy )(222zxa )cot( a cot y即即yOz面上直线方程为面上直线方程为22zx Ozxy 15 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程.122

10、cz旋转双曲面旋转双曲面例例4双曲线双曲线(1)12222 czax分别绕分别绕x轴和轴和z轴轴;绕绕x轴轴旋转旋转绕绕z轴轴旋转旋转2c22zy 22ax1 22yx 2a16绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面(2)12222 czayyOz坐标面上的椭圆坐标面上的椭圆绕绕y轴和轴和z轴轴;(3)pzyyOz22 坐标面上的抛物线坐标面上的抛物线绕绕z轴轴.17 选择题选择题 B方程方程222)(yxaz (A) xOz平面平面上曲线上曲线 绕绕y轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面; 22)(

11、xaz (B) xOz平面平面上直线上直线 绕绕z轴旋转所得曲面；轴旋转所得曲面；xaz (C) yOz平面平面上直线上直线 绕绕y轴旋转所得曲面；轴旋转所得曲面；yaz (D) yOz平面平面上曲线上曲线 绕绕x轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面.22)(yaz 表示表示( ).18四、二次曲面四、二次曲面 1. 二次曲面的定义二次曲面的定义 相应地平面被称为相应地平面被称为三元二次方程三元二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为球面、球面、二次曲面二次曲面.如如: :双曲柱面等双曲柱面等)某些柱面某些柱面(圆柱面、抛物柱面、圆柱面、抛物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.19现只研

12、究几种常见的二次曲面的标准方程现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.1222222 czbyaxzqypx 22221222222 czbyaxzqypx 22221222222 czbyax或或称为称为二次曲面二次曲面的标准方程的标准方程.1222222 czbyax20 研究的方法是采用研究的方法是采用截痕法截痕法. 以下用以下用截痕法截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面讨论上面几种特殊的二次曲面.从而了解曲面从而了解曲面即用坐标面和即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线考察其交线(即截痕即截痕)的形状的形状,然后加以综合然后加以综合,的全貌的全貌.

13、212. 椭球面椭球面1222222 czbyax)0, 0, 0( cba由方程可知由方程可知, 1, 1, 1222222 czbyax即即,|,|,|czbyax 这说明椭球面包含在由平面这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内围成的长方体内.czbyax ,22先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：先考虑椭球面与三个坐标面的截痕： 012222yczax 012222zbyax去截这个曲面去截这个曲面,所得截痕的方程是所得截痕的方程是)|0(11czzz 012222xczby1222222 czbyax这些截痕都是这些截痕都是椭圆椭圆.再用平行于再用平行于xOy面的平面面的平面 122122

14、221zzczbyax这些截痕也都是这些截痕也都是椭圆椭圆.23椭圆截面的大小椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化随平面位置的变化而变化.与平面与平面 ,1xx 1yy 椭圆椭圆.同理同理,的截痕也是的截痕也是1222222 czbyax1x1yzxyOxyzO24椭球面的几种特殊情况椭球面的几种特殊情况:)1(1222222 czayax旋转旋转椭球面椭球面12222 czax由椭圆由椭圆旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面1zz )| (1cz ba 1222222 czbyax绕绕z轴旋转而成轴旋转而成.的交线为的交线

15、为圆圆.25cba )2(1222222 azayax球面球面2222azyx 12122222)(zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为xyzO263. 抛物面抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：用平面用平面)0( zxOy设设0, 0 qp原点叫做椭圆抛物面的原点叫做椭圆抛物面的去截这曲面去截这曲面,顶点顶点.(1)截痕为截痕为原点原点.用平面用平面1zz 11212122zzqzypzx)0(1 z去截这曲面去截这曲面,截痕为截痕为椭圆椭圆.,01时时当当z截痕退缩为原点截痕退缩为原点;,01时时当

16、当 z截痕不存在截痕不存在.27用坐标面用坐标面)0( yxOz 022ypzx截痕为截痕为抛物线抛物线.zqypx 2222(2)去截这曲面去截这曲面,用平面用平面1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211去截这曲面去截这曲面, 截痕为截痕为抛物线抛物线.28用坐标面用坐标面)0( xyOz1xx 同理当同理当0, 0 qpzqypx 2222(3)时可类似讨论时可类似讨论.去截这曲面去截这曲面,及平面及平面截痕为截痕为抛物线抛物线.0, 0 qp0, 0 qp椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：zxyOOzxyxyzO29,时时

17、当当qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p(由由 面上的抛物线面上的抛物线xOzpzx22 11222zzpzyx用平面用平面1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz特殊地特殊地方程变为方程变为zqypx 2222而成的而成的)去截这曲面去截这曲面,截痕为截痕为圆圆.绕绕z轴旋转轴旋转30zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面双曲抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下： 有两个异号的平方项有两个异号的平方项,另一变量另一变量方程方程 z = xy表示表示什么曲面？什么曲面？马

18、鞍面马鞍面特点是特点是:是一次项是一次项, 无常数项无常数项.(马鞍面马鞍面)xyzO314. 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax特点是特点是: 平方项有一个取负号平方项有一个取负号,另两个取正号另两个取正号. 炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面单叶双曲面的形状的形状.OxyzxyzO32类似地类似地,1222222 czbyax1222222 czbyax亦表示亦表示想一想想一想单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax单叶双曲面单叶双曲面.方程方程以上两方程的图形是与以上两方程的图形是与此图形此图形 一样吗一样吗?Oxyz33双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyax1222222 czbyax 或或 特点是特点是:平方项有一个取平方项有一个取正号正号,另两个取负号另两个取负号.它分成上、下两个曲面它分成上、下两个曲面.xyzO注注34 类似地类似地,1222222 czbyax或或1222222 czbyax亦表示亦表示1222222 czbyax1222222 czbyax双叶双曲面双叶双曲面 或或方程方程双叶双曲面双叶双曲面.xyzO35方程方程表示表示( )(A) 双曲柱面双曲柱面;(D) 锥锥面面.(C)双叶双曲面双叶双曲面;(B)旋转