三角形与相似

1、三角形与相似1（2015安徽,）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且AGD=BGC（1）求证：AD=BC；（2）求证：AGDEGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值（1）证明：GE是AB的垂直平分线，GA=GB，同理：GD=GC，在AGD和BGC中，AGDBGC（SAS），AD=BC；（2）证明：AGD=BGC，AGB=DGC，在AGB和DGC中，AGBDGC，又AGE=DGF，AGD=EGF，AGDEGF；（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所

2、示：则AHBH，AGDBGC，GAD=GBC，在GAM和HBM中，GAD=GBC，GMA=HMB，AGB=AHB=90°，AGE=AGB=45°，又AGDEGF，=2（2015宜昌）如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DOAB，垂足为O，点B在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB，AD（1）求证：DOBACB；（2）若AD平分CAB，求线段BD的长；（3）当ABD为等腰三角形时，求线段BD的长（1）证明：DOAB，DOB=DOA=90°，DOB=ACB=90°，又

3、B=B，DOBACB；（2）解：ACB=90°，AB=10，AD平分CAB，DCAC，DOAB，DC=DO，在RtACD和RtAOD中，RtACDRtAOD（HL），AC=AO=6，设BD=x，则DC=DO=8x，OB=ABAO=4，在RtBOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2=BD2，即（8x）2+42=x2，解得：x=5，BD的长为5；（3）解：点B与点B关于直线DO对称，B=OBD，BO=BO，BD=BD，B为锐角，OBD也为锐角，ABD为钝角，当ABD为等腰三角形时，AB=DB，DOBACB，=，设BD=5x，则AB=DB=5x，BO=BO=4x，AB+BO+BO=AB，5

4、x+4x+4x=10，解得：x=，BD=3. （2015甘南州第）已知ABC，AB=AC，将ABC沿BC方向平移得到DEF（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“”、“”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF（1）解：由AB=AC，得ABC=ACB由ABC沿BC方向平移得到DEF，得DF=AC，DFE=ACB在ABF和DBF中，ABFDBF（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：，MNBF，AMGABC，DHNDEF，=，MG=HN，MB=NF在BMH和FNG中，

5、BMHFNG（SAS），BH=FG本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质4（2015福建龙岩）如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t（1）判断MN与AC的位置关系；（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；（3）若DMN是等腰三角形，求t的值解：（1）在ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，MNAC；（2）如图1，分别取ABC三边AC，AB，BC的

6、中点E，F，G，并连接EG，FG，根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积，AC=6，BC=8，AE=3，GC=4，ACB=90°，S四边形AFGE=AEGC=3×4=12，线段MN所扫过区域的面积为12（3）据题意可知：MD=AD，DN=DC，MN=AC=3，当MD=MN=3时，DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6，t=6，当MD=DN时，AD=DC，如图2，过点D作DHAC交AC于H，则AH=AC=3，cosA=，=，解得AD=5，AD=t=5如图3，当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，则CMAD，cosA=，即=，AM=，AD=t=2AM=，综上所

7、述，当t=5或6或时，DMN为等腰三角形5. （2015，福建南平）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形如图，已知ABC中，AB=BC，C=36°，BA1平分ABC交AC于A1（1）证明：AB2=AA1AC；（2）探究：ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1AB交BC于B1，B1A2平分A1B1C交AC于A2，作A2B2AB交B2，B2A3平分A2B2C交AC于A3，作A3B3AB交BC于B3，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示An1An（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）（1）证明：AC=B

8、C，C=36°，A=ABC=72°，BA1平分ABC，ABA1=ABC=36°，C=ABA1，又A=A，ABCAA1B，=，即AB2=AA1AC；（2）解：ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=ACAA1，设AC=1，AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，A1BC=C=36°，A1B=A1C，AB=A1C，AA1=ACA1C=ACAB=1AB，AB2=1AB，设AB=x，即x2=1x，x2+x1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），AB=，又AC=1，=，ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=ACA

9、1C=ACAB=aAB=aa=a，同理可得：A1A2=A1CA1B1=ACAA1A1B1=aaA1C=aaaa=（）3a故An1An=a6. （2015，广西钦州，）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BGx轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作ACOA，交射线EF于点C连接OC、CD，设点A的横坐标为t（1）用含t的式子表示点E的坐标为_；（2）当t为何值时，OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式解：（1）点B坐标为

10、（0，8），OB=8AD=OB，EF垂直平分AD，AE=4BE=t+4点E的坐标为（t+4，8）；（2）如图所示；过点D作DHOF，垂足为HACOA，OAC=90°BAO+EAC=90°又BOA+BAO=90°，EAC=BOA又OBA=AEC，OBAAEC，即EC=点C的坐标为（t+4，8）OCD=180°，点C在OD上CFDH，即解得：，（舍去）所以当t=44时，OCD=180°（3）三角形OCF的面积=×OFFC=（t+4）（8t）=，s与t的函数关系式为s=7.（2015福建泉州）（1）如图1是某个多面体的表面展开图请你写出这个

11、多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么BMC应满足什么条件？（不必说理）（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）解：（1）根据这个多面体的表面展开图，可得这个多面体是直三棱柱，点A、M、D三个字母表示多面体的同一点BMC应满足的条件是：a、BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH；b、MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；c、BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；

12、（2）如图2，连接AB、BC、CA，DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成，矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面，且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面ABC全等的另一个底面的三角形，AC=LK，且AC=DL+FK，同理，可得，ABCDEF，即SDEF=4SABC，即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是8（2015·湖南省益阳市）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且APPBAP绕点A逆时针旋转角（0°90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2，连接PP1、PP2（1）如图1，当=90°时，求P1PP2的度数；（2）如图

13、2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：P2P1PP2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1BP，过BP2的中点F作l2BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1PPQ（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2=90°，PAP1和PBP2均为等腰直角三角形，APP1=BPP2=45°，P1PP2=180°APP1BPP2=90°；（2）证明：由旋转的性质可知PAP1和PBP2均为顶角为的等腰三角形，APP1=BPP2=90°，P1PP2=180°（APP1+BPP2）=180°2（90°）=，在P

14、P2P1和P2PA中，P1PP2=PAP2=，又PP2P1=AP2P，P2P1PP2PA（3）证明：如图，连接QBl1，l2分别为PB，P2B的中垂线，EB=BP，FB=BP2又BP=BP2，EB=FB在RtQBE和RtQBF中，RtQBERtQBF，QBE=QBF=PBP2=，由中垂线性质得：QP=QB，QPB=QBE=，由（2）知APP1=90°，P1PQ=180°APP1QPB=180°（90°）=90°，即 P1PPQ9. （2015浙江湖州）问题背景：已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，

15、由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点(1)初步尝试：如图1，若ABC是等边三角形，DHAC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DGBC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.思路二：过点E作EMAC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)(2)类比探究：如图2，若在ABC中，ABC=90°，ADH=BAC=30°

16、;，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值.(3)延伸拓展：如图3，若在ABC中，AB=AC，ADH=BAC=36°，记=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示 (直接写出结果，不必写解答过程).解：（1）（选择思路一）：过点D作DGBC，交AC于点G，如图1，易证ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得GD=AD=CE，GH=AH,再由平行线的性质可得GDF=CEF, DGF=ECF,又因GD=AD=CE,根据“ASA”可证GDFCEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF，所以GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF. （选择思路二）：过点E作EMAC，交AC

17、的延长线于点M，如图1，先证ADHCEM，由全等三角形的对应边相等可得AH=CM,DH=EM, 又因DHF=EMF=90°, DFH=EFM,所以DFHEFM,即可得HF=MF=CM+CF=AH+CF.（2）)过点D作DGBC，交AC于点G，如图2, 可证AD=GD, 由题意可知，AD=CE,所以GD=CE,再证GDFCEF，由全等三角形的对应边相等可得GF=CF,所以 GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,即可得=2.（3）过点D作DGBC，交AC于点G，如图3,可得AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以，又因DGBC，可得，所以由比例的性质可得，即,所以.试题解析：(1)证明：方法一（选择思路一），过点D作DGBC，交AC于点G，如图1，ABC是等边三角形，ADG=B=60°, A=60&#