[理]阶段质量检测(四)平面和量、数列的扩充与复数的引入doc

1、阶段质量检测 (四 )平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间 120 分钟，满分150 分 )第卷(选择题，共50 分)一、选择题 (本大题共12 小题 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)221.设 z 1 i(i 是虚数单位 )，则 z z ()A. 1 iB. 1 IC.1 iD.1 i解析： 2 z22 (1 i) 22(1 i) 1 i2 2i 1 i.z21 i答案： D2.有下列四个命题： (a·b)2 a2·b2 ； |a b|>|a b|； |a b|2 ( a b)2；若 a b，则 a·b |a| ·|b|.

2、其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析： (a·b)2 |a|2·|b|2·cos2 a， b |a|2·|b|2 a2·b2； |ab|与|a b|大小不确定；正确； ab，则 a b( R) ，a·b·b2 ，而 |a| |b|· | ·|b| ·|b| |b2，不正确 .答案： A3.设 P1(2， 1)，P2(0,5)，且 P 在 P1P2的延长线上，使 | p p | 2| pp|，则点 P 为()12A.( 2,11)B.(3， 3)C.( 2， 3)D.(2 ， 7)4

3、3解析： 由题意知P1P2 P2P，设 P(x， y)，则 ( 2,6) (x， y 5)，x2x2, ,y56y11点 P 的坐标为 ( 2,11).答案： A4.设 i，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且 OA 4i 2j， OB 3i 4j，则 OAB 的面积等于()A.15B.10D.5解析： 由已知： A(4,2)， B(3,4).则 OA OB 12820，|OA |2 5，|OB |5.cosAOBOA OB2025OA OB2 5 55,sinAOB5,5S OAB1OA OB sinAOB2155525.25答案： D5.在

4、 ABC 中， D 为 BC 的中点，已知AB a， AC b，则在下列向量中与AD 同向的向量是()A. a bB. a bC.a bD.|a|a |b|b|a b|a|b|a|b|解析： a b 是 a b 的单位向量， a b 与向量是 AD 同向 .|a b|答案： C6.已知向量 p (2，x 1)，q (x， 3)，且 p q，若由 x 的值构成的集合A 满足 A? x|ax 2，则实数 a 构成的集合是()2C.?2A.0B. 3D.0 ， 3解析： p q，2x 3(x 1) 0，即 x 3，A 3. 又 x|ax 2? A，x|ax 2?或 x|ax2 3 ，2a0 或 a3

5、，2实数 a 构成的集合为 0 ，3.答案： D7.设 x、 y 均是实数， i 是虚数单位，复数x yi i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数 z1 2i x yi 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的()解析： 因为x yix 2y 2x y 5 i55i，1 2ix2 y0,所以由题意得5即2 x y 5 0,5x2 y0.2 xy5 0画出不等式组表示的平面区域即可知应选A.答案：A8.(2010黄·冈模拟)已知A、 B、 C 是锐角ABC的三个内角，向量p (1sinA,1 cosA)，q (1 sinB， 1 cosB)，则p 与q 的夹角是()A.锐角B.钝角C. 直

6、角D.不确定解析： 锐角ABC 中， sinA cosB 0， sinB cosA0，故有 p·q (1 sinA)(1 sinB) (1 cosA)(1 cosB) 0，同时易知p 与 q 方向不相同，故 p 与q 的夹角是锐角.答案：A9.在 ABC中，若对任意t R，恒有 | BA t BC| AC|，则()A.A90B.B90C. C 90°Dear Sir or Madam:. A B C 60°解析： 如图，设t BCBDBAt BCDA, AD AC ,由于上式恒成立，ACBCC90.答案： C10.在 ABC 中，若 BC2AB BCCB CABC

7、 BA, 则 ABC 是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析:AB BCCB CABC BABC ( ABBA)CB CACB CA,BC2CB CABC (BCCA)BCBA0,B, ABC 为直角三角形 .2答案： B第 卷(非选择题，共100 分 )二、填空题(本大题共5 小题 .请把正确答案填在题中横线上 )11.已知复数a i i的对应点在复平面坐标系第二、四象限的角平分线上，则实数ai.a i解析： 已知复数 i 1(a1)i，i由题意知a 1 1，解得 a 2.答案： 212.已知复数z1 4 2i， z2 k i，且 z1·z 2 是实数，

8、则实数k.解析：z 2 k i，z1·z 2 (4 2i)( k i) (4k 2) (2k4)i，又 z1 ·z 2 是实数，则2k 4 0，即 k 2.答案： 213.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 °，若向量c a b，且 c a，则|a|.|b|解析： 由题意知 a·b |a|b|cos120°1|a|b|.2又c a，(a b) ·a 0，a2 a·b 0，21|a|1即 |a| a·b2|a|b|，|b|2.答案： 1214已知 | OA | 1，| OB |3， OA ·OB 0，点

9、 C 在 AOB 内，且 AOC 30°，设 OC m OA n OB (m、 nR) ，则 m _. n解析： 如图所示，建立直角坐标系则 OA (1,0)， OB (0，3)， OC m OA n OB (m， 3n)，3n3m tan30° m 3 ， n 3.答案： 315.(2009 四·川高考 )设 V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射f： V V ， a V ，记a 的象为 f( a).若映射 f：V V 满足：对所有 a、b V 及任意实数、都有 f(a b) f(a) f(b)，则 f 称为平面M 上的线性变换.现有下列命题：设 f 是平

10、面 M 上的线性变换，a、 b V，则 f(a b) f( a) f(b)；若 e 是平面 M 上的单位向量，对a V ，设 f(a) a e，则 f 是平面 M 上的线性变换；对 a V，设 f( a) a，则 f 是平面 M 上的线性变换；设 f 是平面 M 上的线性变换，a V，则对任意实数k 均有 f(ka) kf( a).其中的真命题是(写出所有真命题的编号).解析： 当 1 时， f(ab) f(a) f(b)成立 .f (a) ae，f (ab) ab e.f(a) f(b) (a e) (b e) a b ( )e.f (a b)f(a) f(b).f 不是平面M 上的线性变换

11、 .f (a) a，f(a b) ab，f(a) a， f(b) b.f(a b)f(a) f(b).f 是平面 M 上的线性变换 .f 是 M 上的线性变换， 当 k，0 时，有 f (ab) f( ka)kf(a) 0f(b) kf(a).答案： 三、解答题 (本大题共6 小题 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.a ( 1,1)， b (4,3)， c (5， 2)，(1) 求证 a 与 b 不共线，并求a 与 b 的夹角的余弦值；(2) 求 c 在 a 方向上的投影.)解： (1) a( 1,1)， b (4,3)，且 1×31×4，a 与b 不共

12、线.又 a·b 1 ×4 1 ×3 1， |a|2， |b|5，a·bcosa， b |a|b| 1 5 22 10.(2) a·c 1×5 1×( 2) 7，a·c 77c 在 a 方向上的投影为|a| 22 2.17.已知 |a| 1， |b| 2，(1)若 a 与 b 的夹角为3，求 |a b|；(2)若 a b 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角 .解： (1)|a b|2 2·2|a|2a b |b| 1 2 ×1 × 2 ×cos3 2 3 2.|a b|32.

13、(2) a b 与 a 垂直， (a b) ·a 0.|a|2a·b 0，a·b |a|2.设 a 与 b 的夹角为 .2a·b|a|12cos.|a|b|a|b|1× 22又 0 ， 4.所以向量a 与 b 的夹角为 4.18.已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m (a，b)，n (sinB，sinA)，p (b 2， a 2).(1) 若 m n，求证： ABC 为等腰三角形；(2) 若 m p，边长 c 2，角 C 3，求 ABC 的面积 .解： (1) 证明： m n， asinA bsinB，a b即

14、 a· b· ，2R2R其中 R 是 ABC 外接圆半径，a b. ABC 为等腰三角形.(2) 由题意可知m·p 0，即 a(b 2) b(a2) 0. a b ab.由余弦定理可知，4 a2 b2 ab (a b) 2 3ab，即 (ab)2 3ab 4 0. ab 4(舍去 ab 1)， S1absinC1×4×sin 3.22319.已知复数 z1 cos isin， z2 cos isin， |z1 z2|25.5(1) 求 cos( )的值；5 ，求 sin的值 .(2) 若 0 ，且 sin2213解： (1) z1 z2 (co

15、s cos) i(sin sin)，2|z1 z2| 5 5，2225(coscos) (sin sin) 5 ，4253(2) 2 0 2，30 .由 (1) 得 cos( ) 5，4512sin( )5.又 sin13，cos13.sin sin( ) sin()coscos( )sin4123533 × ×(13) .51356520.已知 A( 1,0)，B(0,2)， C( 3,1)， AB AD 5, AD210.(1) 求 D 点坐标；(2) 若 D 点在第二象限，用AB ， AD 表 AC ；(3) AE (m,2)，若 3 AB AC 与 AE 垂直，求

16、AE 坐标 .解： (1) 设 D (x， y)， AB (1,2)， AD (x1， y).由题得AB ADx 12 y5,AD 2( x1)2y210,x2y4,即1)2y210,( x x 2,或 x 2,y3y1.D 点坐标为 ( 2,3)或 (2,1).(2) D 点在第二象限， D( 2,3). AD ( 1,3).AC ( 2,1)，设 AC m AB n AD ，则 ( 2,1) m(1,2) n( 1,3)，2 m n,m 11 2m 3n. n 1. AC AB AD .(3) 3 AB AC 3(1,2) ( 2,1) (1,7) ，AE (m,2)，(3 AB AC ) ·AE 0.m 14 0.m 14. AE ( 14,2).21.已知 ABC 的面积 S 满足3 S 3，且 AB ·BC 6， AB 与 BC 的夹角为.(1) 求 的取值范围；(2) 求函数 f() sin2 2sincos 3cos2的最小值 .解： (1) 由题意