新编【人教A版】高中数学选修1-1同步辅导与检测-第三章3.4生活中的优化问题举例

1、新编人教版精品教学资料第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例I高效演练知能提升A级根底稳固一、选择题1把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 ()A.|. 3 cm2B. 4 cm2C. 3 2 cm2D. 2 3 cm2解析：设一个正三角形的边长为x cm，那么另一个正三角形的边 长为(4-x)cm,那么这两个正三角形的面积之和为 S43x2+£(4 x)23=2 (x 2)2 + 4 > 2 3(cm2).答案：D2. 某公司生产一种产品，固定本钱为 20 000元，每生产一单位的产品，本钱增加100元，假设总收

2、入R与年产量x(0< x< 390)的关系是R(x) = 900 + 400x, 0< x< 390,那么当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A. 150 B. 200 C. 250 D. 300x3解析：由题意可得总利润P(x)= 900+ 300x 20 000, 0< x <390,由 P'x(= 0,得 x < xv 300 时，P'(x)> 0;当 300v x < 390 时,P'(x)v0,所以当 x = 300时，P(x)最大.答案：D3. 将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为

3、()A . 2 禾口 6B. 4 禾口 4C. 3和5D.以上都不对解析：设一个数为x，那么另一个数为8-x,其立方和y= x3 + (8x)3 = 83- 192x + 24x2 且 0W x< 8, y(磔8xy'= 0, 即卩 48x 192= 0, 解得x<xv4时，y'V;当4vx< 8时，y(>，所以当x = 4时，y 取得极小值，也是最小值.答案：B4. 做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A. 6 m B. 8 m C. 4 m D. 2 m解析：设底面边长为x m，高为h m.那么有x2h =256,所以

4、h =警所用材料的面积设为S m2,zv"，一22562 256 X 42那么有 S=4x h + x2=4x -x2 + x2= x + x2.S =256 X 4 人2562x x2 ，令 S = 0 得 x = 8,因此 h = 64 = 4(m).答案：C5. 设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其外表积最小时，底面正三角形的边长为()A.3 VB.3 2VC.3 4VD. 23 V1解析：设底面正三角形的边长为 x，侧棱长为I，那么V = ?x2 sin 60° I;所以丨=(3纟，所以S表=x2 sin 60°H3xl = ¥x2+鱼严令

5、S'表 = /3x加|丫 = 0,得 x = 4V，又当 x (0,3 4V)时，S'表 <0;x (4¥ ； x3+ 乂)时，S'表>0，所以x = 4V时，外表积最小.答案：C二、填空题6. 某商品每件的本钱为 30元，在某段时间内，假设以每件 x 元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为 时，利 润最大.解析：由题意知，利润 S(x) = (x 30)(200 x) = x2 + 230x 6 000(30<x<200)，所以 S'x) = 2x + 230,令 S'x( = 0,解得 x<x v 1

6、15 时，S'x)>0;当 115vx< 200 时，S'(x)v 0,所以当 x= 115 时，利润S(x)取得极大值，也是最大值.答案：1157. 某矩形广场面积为4万平方米，那么其周长至少为 米.40 000解析：设广场的长为x米，那么宽为米，于是其周长为y=X令y丄0,解得X= 200x=- 200舍去，这时y= 800.当 0vxv200 时，y'G;当 x>200 时，y'x = 200 时，y 取得最小值，故其周长至少为800米.答案：800&做一个无盖的圆柱形水桶，假设要使其体积是27 n且用料最省，那么圆柱的底面半径为

7、.解析：设圆柱的底面半径R,母线长为L,那么V = nR2L = 27n,27所以L = R2.要使用料最省，只需使圆柱外表积最小.S表=nR2 + 2nRL2754 冗=tR2 + 2 n r，令 S'>= 2 nR r2 = 0,得 R= 3,即当 R= 3 时，S 表 最小.答案：3三、解答题9. 某单位用木料制作如下列图的框架，框架的下部是边长分别为x, y单位：m的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积 为8 m2，问x, y分别为多少精确到时用料最少？1 x2解：依题意，有xy + 2*2 = 8,x28 -X4 8 x 所以=84o<x<4y2

8、,于是框架用料长度为l = 2x + 2y+ 2 2X = 3+ 2x+Y,31613+ 2 x2.令 1 = 0,即 2+ 2 x2 = 0,解得 xi = 8 4 2, X2= 4 2 8舍去.当 0<x<8 4 2时，1<0;当 8 4 2<x<4 2时，1 >0,所以，当x = 8 4 2时，I取得最小值.此时，x = 8 4 2，y违.828.即当x, y,用料最省.10. 现有一批货物由海上从 A地运往B地，轮船的最大航 行速度为35海里/时，A地到B地之间的航行距离约为500海里，每 小时的运输本钱由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮

9、 船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.(1) 把全程运输本钱y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2) 为了使全程运输本钱最小，轮船应以多大速度航行？解：(1)依题意得y=警x2) =48000+ 300x，且由题意知函数的 定义域为(0, 35,即 y= 48(x000+ 300x(0vx< 35).由1得y丄48罗00+ go。，令°,解得 x= 40 或 x =40舍去.因为函数的定义域为0, 35,所以函数在定义域内没有极 值点.又当0vx< 35时，所以函数y= 48：000+ 300x在0,35上单调递减，故当x = 35时，

10、函数y= 48巳000+ 300x取得最小值.故为了使全程运输本钱最小，轮船应以 35海里/时的速度航行.B级能力提升1. 某公司的盈利 y元和时间x天的函数关系是y= fx，且f' 100 1,这个数据说明在第100天时A .公司已经亏损B .公司的盈利在增加C.公司的盈利在逐渐减少D .公司有时盈利有时亏损解析：因为f' 100 1,所以函数图象在x = 100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少.答案：C2. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1万元与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2万元与仓库到车站的距离 成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，

11、y1和y2分别为2万元和 8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处.解析：依题意可设每月土地占用费 w = 丫，每月库存货物的运费y2= k2X，其中x是仓库到车站的距离，ki, k2是比例系数.k14于是由 2= io，得 ki = 20;由 8= 10k2，得 k2 = 5.因此，两项费用之和为y=弓+4x(X > 0),20 4y，=x2 + 5，令 y = 0，得 x= 5 或 x = 5(舍去).当 0v xv 5 时，;当 x>5 时，y>.因此，当x = 5时，y取得极小值，也是最小值.故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.答案：5

12、3. 某公司生产某种产品的固定本钱为 20 000元，每生产1吨该 产品需增加投入100元，总收益满足函数 R(x) =1其中x是该产品的月产量(单位:400 x 2x2 0< x< 400 J,80 000x>400，吨).(1) 将利润表示为月产量的函数f(x);(2) 当月产量为何值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少元？1pX2 + 300x 20 000 0w xW 400，解: (1)f(x) =260 000- 100x x > 400.当 0Wxw400时，f '(x)= x + 300,当 0W xv 300 时，f(x)>0, f(x)是增函数;当 x> 300 时，f '(x)v 0, f(x)