无穷级数整理(2023192043)

1、无穷级数整理一、数项级数一数项级数的根本性质1收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2收敛的充要条件柯西收敛原理：对任意给定的正数，总存在N使得对于任何两个 N大于的正整数 m和n总有Sm Sn.即局部和数列收敛3收敛级数具有线性性即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散4对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变5在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性二数项级数的性质及敛散性判断1正项级数的敛散性判断方法1正项级数根本定理：如果正项级数的局部和数列有上界，那么正项级数收敛2比拟判别法放缩法：假设两个正项级数Un和 Vn之间自某

2、项以后成立着关系:n 1n 1存在常数c 0，使un cvn(n 1,2,)，那么i当级数Vn收敛时，级数Un亦收敛;n 1n 1ii当级数Un发散时，级数Vn亦发散n 1n 1推论:U n 1V n 1设两个正项级数Un和Vn，且自某项以后有，那么n 1n 1UnVni当级数Vn收敛时，级数Un亦收敛;n 1n 1ii当级数 Un发散时，级数Vn亦发散n 1n 13比拟判别法的极限形 式比阶法：给定两个正项级数 Un和Vn，假设n 1n 1lim Un l 0，那么这两个级数敛散性相同注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小 nVn的内容另外，假设I 0 ,那么当级数Vn收敛时，级数 Un亦收

3、敛；假设I ,那么当级数Unn 1n 1n 1发散时，级数Vn亦发散.n 1常用度量： 等比级数：qn，当q 1时收敛，当q 1时发散；n 01 P-级数：丄，当p 1时收敛，当p 1时发散p 1时称调和级数;n 1 np1 广义P-级数：p，当p 1时收敛，当p 1时发散n 2 n In n 交错p-级数：1n 1 ，当p 1时绝对收敛，当Op 1时条件收敛n 1npu4达朗贝尔判别法的极限形式商值法：对于正项级数 un，当lim 口 r 1时n 1n Un级数 Un收敛；当lim 山 r 1时级数 Un发散；当r 1或r 1时需进一步判断. n 1n unn 15柯西判别法的极限形式根值法

4、：对于正项级数 un，设r lim n un，那么r 1 n 1n时此级数必为收敛，r 1时发散，而当r 1时需进一步判断.6柯西积分判别法：设un为正项级数，非负的连续函数f x在区间a,上单调n 1Un与积分° fXdX同敛散.n 1下降，且自某项以后成立着关系：fUn Un，那么级数2任意项级数的理论与性质1绝对收敛与条件收敛：绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然;对于级数Un，将它的所有正项保存而将负项换为n 10，组成一个正项级数Vn，其中1VnUn2Un一；将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数Wn，其中WnUnUn一，那么假设级数Un绝对收敛，那么级数n 1

5、vn和 wn都收敛；假设级数n 1n 1Un条件收敛，那么级数Vn和 Wn都发散n 1n 1n 1 绝对收敛级数的更序级数将其项重新排列后得到的级数仍绝对收敛，且其和相同 假设级数Un和 Vn都绝对收敛，它们的和分别为 U和V ,那么它们各项之积按照任何n 1n 1方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积unvn也绝对收敛，且和也为 UV n 1n 1注：cnUnVn，这里Cn5VnU2Vn 1Un 1V2 UnV1n 1n 1n 12交错级数的敛散性判断莱布尼兹判别法：假设交错级数(1)n 1un满足lim un 0，n 1n且Un单调减少即Un U

6、n 1，贝U ( 1)" 'n收敛，其和不超过第一项，且余和的符号n 1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数一幕级数1幕级数的收敛半径、收敛区间和收敛域1柯西-阿达马定理：幕级数 an(x x0)n在x xoR内绝对收敛，在 x x0Rn 0内发散，其中R为幕级数的收敛半径2丨阿贝尔第一定理：假设幕级数an(x x0)n在x 处收敛，那么它必在n 0x x0X0内绝对收敛；又假设an(x x0)n在x 处发散，那么它必在n 0x x0X0也发散推论1：假设幕级数a“xn在x (0)处收敛，那么它必在 x 内绝对收敛；又假n 0设幕级数anXn在x

7、(n 00)处发散，那么它必在 x 时发散.推论2:假设幕级数an(x X0)n在x处条件收敛，那么其收敛半径 RX0，假设又有an 0 ,那么可以确定此幕级数的收敛域3收敛域的求法：令lim an1(x) 1解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性,nan(x)2幕级数的运算性质1幕级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有:nanXn bnXnab i xn，收敛域仍取交集n 0n 0n 0 i 02幕级数的和函数S(x)在收敛域内处处连续，且假设幕级数 an(xn 0x X0 R处收敛，那么S(x)在X。 R,x。 R内连续；又假设幕级数an(x取并集.X°

8、) 在心广在xx°R处收敛，那么S(x)在x0 R, x0 R内连续.3幕级数的和函数 S(x)在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变3函数的幕级数展开以及幕级数的求和1常用的幕级数展开: ex 1 x x22!1 n x n!nx，xn 0 n!).1,x ( 1, 1).=1+x+x2+ - - +xn+ 1 xnx)，n 2n(1) x0 sin x13x 3!1 5 x 5!2n 1n x(1)-(2n1)!2n 1n x1)- (2n1)! cosx1 2x2!1 4x4!2n72n0(怙，x ( ln(1x)n(1)n1xn 1，+ ).1, 1.(1 x)x -

9、x22!(1)( n 1)xn ，x ( 1, 1).n! arcsinx(2n 1)! x2n 1(2n)! 2n 1(2 n)!2n 1n2xn o4n(n!)2(2n 1)x 1, 1. arctanx(1)nx2n12n 1八 n12n 1，x1,1.2常用的求和经验规律: 级数符号里的局部 x可以提到级数外;cn和xn合并为(cx)n ； 系数中常数的幕中假设含有n，可以与x的幕合并，如将 对anXn求导可消去an分母因式里的n,对anXn积分可消去a.分子因式里的n 1 ；n 0n 0 系数分母含n!可考虑ex的展开，含(2n)!或(2n 1)!等可考虑正余弦函数的展开； 有些和函

10、数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解二傅里叶级数1狄利克雷收敛定理本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立假设f(x)以21为周期，且在I, I上满足： 连续或只有有限个第一类间断点； 只有有限个极值点；那么f (x)诱导出的傅里叶级数在I, I上处处收敛.2.傅里叶级数S(x)与f(x)的关系：f (x)，X为连续点;S(x) f(x °)f(x °),x 为间断点;2f( 1 °)f(l °),x为边界点23.以2I为周期的函数的傅里叶展开展开：f(x)S(x)bn sinn x an cos n1Ia。1lll

11、f(x)dx1在1,1上展开：an1lln1 f (x) cosx dx ；lbn1ll f(x)sin lxdx2正弦级数与余弦级数:奇函数或在非对称区间上作奇延拓展开成正弦级数:on n a a bo 0 2- f (x)s in偶函数或在非对称区间上作偶延拓展开成余弦级数:aoanbnf(x)dxf (x)cosS dx ；l4一些在展开时常用的积分:1sin nxdx0(1)n1 1n0 cosnxdx 0；22 sin nxdx02 cosnxdx01 . n sin - n5o xsin nxdxaxe sin nxdxaxe cos n xdxsin axsin nxdx1)n10 xcos nxdx1axe (asin nxa n12aax /e (n sin nx n(1)n2nn cos nx)a cos nx)1si n(a n)x2(a n)x