浅谈数学分析中求极限的常用方法

1、浅谈数学分析中求极限的常用方法浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem in mathematical analysis 摘 要求极限问题是数学分析学习的基础，也是其极为重要的内容之一。极限问题分为函数极限和数列极限两类，其他很多重要的数学概念的学习都建立在极限基础上，比如导数，积分，级数等等。因此要学好数学分析，就要学好极限。解决极限问题看似简单，但却很抽象，往往很难求出。我们不能仅仅局限于用极限的概念求极限，我们应该掌握多种方法，并且运用各种方法结合，快速而准确的求出极限。因为极限贯穿

2、于数学分析学习的始终，许多数学概念是从极限出发而得出的。所以反过来，我们也可以通过有关于极限的数学概念而求出极限。但是这并不是非常容易的事情，因为极限问题过于抽象，所以我们应该单独的学习各种方法针对性的求极限，最后再进行整合，把多种方法相结合来求极限。由此可以看出求极限问题是十分繁琐的，针对这种情况，本文中介绍了多种基本的求极限方法和注意事项，并且通过例题的运算过程清晰明了的展现了极限问题的解决过程，使极限问题变得相对简单易懂，为数学分析的学习打下基础。关键词：数列极限；函数极限；方法- I -浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common

3、method of limit problem in mathematical analysisAbstract Limit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progress

4、ion. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use

5、 them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit

6、problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The

7、calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis. - III -目 录摘 要IAbstractII引 言11 极限相关的概念11.1 数列极限21.2 函数极限21.3 函数极限和数列极限的关系32 求极限的常用方法32.1 极限的四则运算法则32.2 两个重要极限52.3 用函数的连续性求极限72.4

8、 等价无穷小代换82.5 洛必达法则92.6 根据定积分的定义求极限102.7 利用泰勒公式求极限112.8 利用极限存在准则求极限132.9 拉格朗日中值定理求极限153 求极限的小技巧163.1 有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量163.2 换元法163.3 数列极限转化成函数极限16结 论17参 考 文 献18浅谈数学分析中求极限的常用方法引 言求数列极限和函数极限是数学分析中的基础，求极限问题贯穿在数学分析学习的始终。例如求导数、积分、级数都是建立在极限概念之上的，所以我们要培养极限思想，首先，我们应该学会计算极限问题。我国古代，数学家刘徽首创割圆术，便是首次在解决问题中运用了极限

9、思想。所谓割圆术就是不断地增加圆内接多边形的边数来求得圆周率。即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割”。极限思想从产生、发展到完善经历了很长时间的历史过程。到了19世纪时，法国数学家柯西通过总结前人的成果的基础上，才比较完整的阐述了极限的概念与理论。他在分析教程中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。极限的概念与理论为后人研究极限提供了更好的基础。本文，笔者将对常用的求极限的方法进行总结，并以例题形式加深了解。通过此

10、种方式，使读者掌握求极限的方法和技巧。 1 极限相关的概念1极限的概念对于求极限问题是基础，我们要从基本概念出发，要清晰的明确极限问题，才可以更深入的解决极限问题，所以，首先我们要了解掌握相关的概念。1.1 数列极限定义1.1设是一给定数列，是一个实常数。如果对于任意给定的，可以找到正整数，使得当时，成立，则称数列收敛于（或是数列的极限），记为，有时也记为（）。如果不存在实数，使收敛于，则称数列发散。性质：（1）极限的唯一性：收敛数列的极限必唯一。（2）数列的有界性：一个数列，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。（3）数列极限运算法则：设，则 ； ； （为常数）； （）。（4）保序性：若，且

11、，则，有。（5）夹逼定理：设有三个数列，若（），且，则。（6）单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必有极限。1.2 函数极限定义1.2设函数在点的某个去心邻域中有定义，即存在，使。如果实数A，对于任意给定的，可以找到，使得当时，成立，则称A是函数在点的极限，记为，或如果不存在具有上述性质的实数A，则称函数在点的极限不存在。性质：（1） 极限的唯一性：设A与B都是函数在点的极限，则A=B。（2） 局部保序性：若，且A>B，则存在，当时，成立。（3） 夹逼性：若存在，使得当时，成立,且，则。（4） 函数极限的四则运算：设，则（，是常数）；（）.1.3 函数极限和数列极限的关系He

12、ine定理：的充分必要条件是：对于任意满足条件，且（）的数列，相应的函数值数列成立。2 求极限的常用方法2.1 极限的四则运算法则运用极限的四则运算法则求极限是在数学分析中一种常见且简单的运算方法。要运用极限的四则运算法则进行求极限，首先，我们要确定两个数列极限或函数极限分别存在，然后，我们才可以根据运算法则的具体内容要求进行下一步计算，最终，求得数列极限或函数极限，下面，我们将根据给出的例题来进一步掌握这种方法。例2.1 求下列数列极限（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）=；（2）；（3）；（4）。以上例题对应数列极限运算法则可一一求出，需要注意的是使用数列极限运算法则时，要求是各部

13、分极限必须存在。例2.2 求下列函数极限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解析：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。根据四则运算求函数极限，可以解出以上例题。需要注意的是解题过程中要运用分子（分母）有理化法（与分子分母同除以的最高次幂相结合）。用过运用极限的四则运算法则，我们可以把一个极限问题，拆分成两个极限同时存在，并在这两个极限中做运算。这样做，可以让一些看起来复杂繁琐的求极限问题变得清晰明了，学生可以通过多次练习，学会拆分。2.2 两个重要极限殷红燕2在两个重要极限公式求特定类型的极限的方法一文中说道，“对于一般的极限，利用一些常用的极限公式以及极限的运算法则一般都很容易求得结

14、果。但对一些、等未定式的极限，在学生还未学到洛必达法则时，学生还往往不知如何入手。”那么，此时，这些特殊形式的未定式，我们便可以利用两个重要极限去求。两个重要极限分别是和。下面我们通过例题可以进一步的理解两个重要极限的作用。例2.3 求下列极限。（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）；（2）；（3）； （4）。使用的时候需要注意的是它的类型属于型，可以推广成，条件是时，其中可为有限值，也可为。例2.4 求下列极限。（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）因为，且，所以有；（2）因为，且，所以有；（3）；（4）。使用的时候需要注意的是它的类型属于型，可以推广成，条件是当时，其中可为有限

15、值，也可为。2.3 用函数的连续性求极限首先，我们应该知道连续函数的定义：设函数在点的某个邻域中有定义，并且成立，则称函数在点连续，而称是函数的连续点。其次，由此可知，连续函数在某点的极限就是函数值，从而利用函数的连续性直接求解极限3。下面我们通过例题进一步了解。例2.5 求下列函数极限（1）；（2）；（3）；（4）。解析：（1）；（2）；（3）；（4）。注意：用函数连续性求函数极限时，要注意分母不可以为零，并且分子分母要进行约分，如上述例题中（1）、（2），约分后继续计算。 2.4 等价无穷小代换等价无穷小量定义：若，称当时，与是等价无穷小量，记为 。重要的等价无穷小：，（），（）。例2.6

16、 求下列极限。（1） ；（2） 。解析：（1） ； （2）。注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减中可以整体替换，不能单独替换）。比如例题6（2），若解成，当时，则得到，显然这种解法是错误的。2.5 洛必达法则洛必达法则是由法国著名数学家洛必达在其著作阐述曲线的无穷小分析中提出来的法则，所以以他的名字来命名。洛必达法则是指：在一定条件下，分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。在夏滨4的利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨中，指出“两个无穷小量或两个无穷大量之比在给定的极限过程中，随着这些无穷小量或无穷大量类型不同，可以有完全不同的变化状态，这种类型称为未定式

17、”。我们通过例题进一步了解洛必达法则以及掌握使用中应该注意的问题。例2.7 用洛必达法则求下列函数极限。（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。解析：（1）； （2）； （3）； （4）。注意：应用洛必达法则求函数极限时，应满足型或型，其他形式通过一定的变换得到型或型也可。洛必达法则常常与等价无穷小结合来求函数极限，这样可以避免多次运用洛必达法则的繁琐，使极限更容易得出。例2.8 求的极限。解析：设，当时，注意：用洛必达法则不可以直接求数列极限，需要把数列极限转换成函数极限，并且符合运用洛必达法则的条件。由例题8我们可知，求极限可以多种方法结合，此题中就结合了重要极限，等价无穷小代换和洛必达法

18、则。2.6 根据定积分的定义求极限定积分的概念与性质：，。利用定积分求极限的步骤：（1）寻找被积函数；（2）确定被积的上下限；（3）确定函数表达式。例2.9 求的值。解析：从题目可以看出无法直接运用积分思想，所以运用（）得到注意：此种类型题，不能直接求出极限，但可以观察是否可以转换成定积分形式，然后利用定积分定义求解，从求数列极限变成求定积分问题，需要注意的是求解过程过长，需要仔细认真的计算每一步骤，防止最后计算结果出现错误。2.7 利用泰勒公式求极限泰勒公式：皮亚诺形式余项：带有皮亚诺形式余项的麦克劳林公式：麦克劳林（带有皮亚诺余项的）公式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；

19、（6） 。例2.10 （1）； （2）；解析：（1） ， （2）， 注意：求极限时，好多时候符合洛必达法则，但是使用起来会出现无限求导的情况，得不到答案，所以，此时我们因该考虑用泰勒展开式来求解，或者直接套用麦克劳林公式结合等价无穷小来进行计算。2.8 利用极限存在准则求数列极限极限存在的两个重要准则：（1） 单调有界准则；（2） 夹逼准则。 例2.11 求下列数列极限（1）；（2），其中（）。解析：（1）因为，并且，由夹逼定理可知。 （2）设，由夹逼定理可知。例2.12 利用单调有界准则证明下列数列收敛，并求极限。（1） ，（）；（2） ，且（）。解析：（1） ，故单调递减且有下界； 由单调

20、有界原理知极限存在，设极限为A，对两边求极限并结合解得。（2），所以单调递增。又因为，有上界，所以有极限。设，因为，所以。，等式两边取极限由平均值不等式：等号当且仅当，也就是时成立，所以。2.9 拉格朗日中值定理求极限拉格朗日中值定理：如果函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，那么在内至少有一点（）使得成立。例2.13 求下列极限（1） ；解析：（1）此题可用洛必达法则计算，在这里不做过多赘述。此题还可用拉格朗日中值定理进行计算，过程如下：设，有在连续，在内可导，根据拉格朗日中值定理，则存在， ，当时，则，由介值定理，则 .3 求极限的小技巧 极限的求法中，除了常见的求法之外，还

21、有一些可以应用的小技巧，使极限问题变得简单，方便。3.1 有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量无穷小量的性质：（1）有限个无穷小量代数和仍未无穷小量；（2）有限个无穷小之积仍未无穷小量；（3）有界函数与无穷小之积为无穷小量；（4）常数与无穷小量之积仍未无穷小量（5）恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量，无穷大的倒数为无穷小。根据无穷小量的性质（3），我们可以计算函数极限。例3.1 求。解析：3.2 换元法 在计算极限时，换元法是一种很重要的技巧，掌握并且灵活使用换元法会使计算过程更加简单。 例3.2 求。 解法一： 解法二： 设，当时，则 通过上面的例题的两种解法，我们可以看出，传统的解法一是通过对复合函数求导，不仅过程繁琐还容易出错。而解法二通过换元，把三角函数转化成我们熟悉的初等函数，降低了计算过程的难度。所以掌握换元法，根据题目，灵活运用，可以给解题带来方便。3.3 数列极限转化成函数极限在计算数列极限时，我们可以把数列看作是函数的一种，即数列是特殊的函数，也就是以n为自变量，正整数为定义域的函数。理解这一点，我们可以更好的处理数列极限和函数极限的关系。这也是我们所说的Heine定理的解释。下面通过例题，让我们更好的理解如何把数列极限转化成函