正切余切函数图像和性质

1、例1用五点法作以下函数的图象(1) y=2-si nx , x 0 , 2n 兀71117T(2) y =+ x£ -,解(1)(图 2-14)0血2JIr3 JL22 =»01D40y=2-u21222(2)(图 2-15)&0XJL3 ji2X皿2乳65ul TgJL "5"Hol ry=ct>su1a-10I描点法作图:例2 求以下函数的定义域和值域.(l)y - Igstix; (2)y - 2/cos3k .解 (1)要使lgsinx有意义，必须且只须sinx >0,解之,得 2k nV XV (2k+1) n, k Z.又

2、T 0vsinx < 1, -lgsinx <0.定义域为(2k n, (2k+1) n )(k Z)，值域为(-乂, 0.要使2敢有意义,必须且只须cos3x=0,解之得 冰兀岭<坯2k兀十？诜乙£ £2k H2k兀兀6又 T 此时 0 C cos3x 1,故2Vcos3xC 2.二定义域为弩却芈+ £(応劭值域为山2.3636例3己知函数円的定义域是® ' 求以下函数的定丈域.(l)f(cos3;分析分别把曲血 沁土整体地看威f的自变量，求出它们的取值范围，进而再利用三角函数线或函数图象，求出x的取值范围解 依题意，有to藍

3、V + .解得-|<cosx< 2利用单位圆(或三角函数图象)解得7T2兀制kJT 4 4 f kE Z由读者自己完成，其结果为Tf开DTP蠶Ek兀 +p-kTT+_Ul<JT + ? kK + Z)例4求以下函数的最大值与最小值：(2)y =耳葢-4；(3)y = 3q9£3x -4gqsz + LJl7T7T37TU解"当!；- =2kK +y ,即置-2上肌亠盲一kEZ吋，沁丁 取最大值h从而y强=17T7T兀7T当X-= 2k -,即x= 2!lc兀-(kE Z)0, an(z -)W?最小 值i, Affny>3K =3.(2)y=2cos

4、 2x+5sinx-4=-2sin 2x+5sinx-2I sinx -1 , 1,% _.当sins = -b 即if = - + 21cH(k Z)时，芋有最小'值-9兀当31 = 1,即蛊二丁 +加兀圧石时"y有最大值1.11(3) y 3cos x -4cosx + 1 = 3(cosx -TT 27T11-z6 j , c<-sz6 - 3 |(借助单调性即得)从而当 C-OSC =-即孟157兀即s =吋,例5 求以下函数的值域.CossSsinx * cos k厂盂百厂1七叱解(1)由，可 1#tl-2y)cosx = y2cosx +1.y.-CO3K

5、-1 -2y/ |cosx| < 1二 cox2x < 1BP; V ,2< 1. An3ya -4y + l>0 (1 - 2y)二尺*或y?l故函数厂戶二的值域为J00，站Ul十8)2COSH +13说明上面解法的实质是从关系式中，利用|COSX| < 1消去X,从而求2anz(l - sin3 x)厂出y的范围.p 2sLriK(l - sins) = -2(sinzs - )2 -H 1 -Hsiiui22二画数厂半竺竺的值域为宀11 十 sin x2例6 比拟以下各组数的大小.317(1)弼1 夕4"与cos 160* , (2)cos sin

6、 . -cos .2 1043X3兀(3) sin (sin ) sin(cos )8 8分析化为同名函数，进而利用增减性来比拟函数值的大小.解sin 194 ° =sin(180 ° +14° )=-sin14 °cos160° =cos(180 ° -20 ° )=-cos20 ° =-sin70 ° 0v 14°v 70°v 90 sin14 ° v sin70 °，从而-sin14 °> -sin70 °，即sin 194 

7、6; > cos160.1兀 1(2= cosCy) = cosk47 ",77=-cos-二(IT -才)=cost.39,3CQ5 = Csl.5而y=cosx在0 ,n 上是减函数,故由Ovvvvn可得vv即匚os sin -匚o£.21043 n337T(Sy.'cos-H =sin ,0<cos-7T<sitl <1 cS<5Su3兀孑兀1)内递Sin(GQS-)311(5111.cy例7求以下函数的单调区间(l)y = co s2z,(2)y = 2sin(-x)解设u=2x当 u (2k-1) n, 2k n (k Z)时

8、，cosu 递增;当 u 2k n, (2k+1) n (k Z)时，cosu 递减.y = cos2x的逸增区间为k兀-,m (k 2)iiL递减区间为g kTT十善(址07T兀(2)y = 2sifl(-兀)=-2siii(x -)同样令w;.4=的递増区间为2k叽 + , 2k7l+kE Z7T37T递减区间为20 一丁，加兀+舐 写 例8 以下函数中是奇函数的为X2 + COSKX 一 cos 瓷sinx + coszE y =D.y -lg(at!Ksin 盘-cosx'.'lgsin(-x)十 Jl + aJ L x)/1 十 sin2 X)- sin3 渲%门 +

9、 an2 x + sans=lg(H口 + V1 + sin3)'1 = 4g(anz + Jl亠 sin抵,lg(V+ sin k -atE!) =lg又当xE R时，均有anz + Vl + sin3> 0为什么彳D为奇函数，应选D.例9试判断函数谁=：严5 在以下区间上的奇偶性.l + co5x + sins% n兀 兀1曲。=,s2>e -, i(l + sinz - cosx)(l + cosx - sinx)(1+ cqsx + sin2i)(l + g強葢-1 - (cosx - si.nx)2(1 十 cos葢尸 一 sin3 x2siiixcosxsin x5a =1 + 2 亡gem + co営宝-sin 工 1 + cosk:.、 sin(-K)sinx-= fr 1 + cos